高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲

1、专题 椭圆 双曲线 抛物线 一、椭圆定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹顶点（a, 0）, （0, b）（0, a）, （b, 0）焦点长轴2a2a短轴2b2b焦距2c 通经长离心率e= 0e1.对称性:对称轴为x=0, y=0;对称中心为O（0,0） 实轴长2a虚轴长2b渐近线y=x;y=x1从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b.2共渐进线双曲线系：与共渐进线的双曲线方程是=（ 0）双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.3双曲线方程中化1为0，因式分解可得渐进线方程4等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，. 5直线与双曲线仅有一个交点的位置关系：区域：无切线，2条与

2、渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.三、抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率通经2p焦半径1抛物线中p的几何意义是焦点到准线的距离，恒正；焦点坐标、准线方程与相关，是一次项的四分之一2注意抛物线焦点弦的特点：

3、如中 例题精讲例1若直线经过抛物线的焦点，则实数 例2. 已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .例3 . 已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 。例4 （08北京19）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值答案解：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为

4、，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值例5 （08全国2 21）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值答案（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，2分如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或6分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为9分，当时，上式取等号所以的最大值为12分例 6 （本

5、小题满分14分） 椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为 （I）求椭圆的方程； （II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率解：（I）由已知 3分又，解得所以椭圆C的方程为 5分 （II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设联立，消去y得，6分，令，解得 7分设E、F两点的坐标分别为， （i）当EOF为直角时，则，8分因为EOF为直角，所以，即，9分所以，所以，解得 11分 （ii）当OEF或OFE为直角时，不妨设OEF为直角，此时，所以，即12分又将代入，消去x1得解得或（舍去），13分将代入，得 所以，14分经检验，所求k值均符合题意

6、，综上，k的值为和例 7 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程；设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；【解析】 由题意知，所以即又因为，所以，故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由得 设点，则直线的方程为令，得将，代入整理，得由得，代入整理，得所以直线与轴相交于定点例 8 （12年东城期末）已知椭圆的左、右焦点分别为， 点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点（）解：（）由已知可得 ，所求椭圆方程为

7、5分（）若直线的斜率存在，设方程为，依题意设，由 得 7分则 由已知，所以，即 10分所以，整理得 故直线的方程为，即（）所以直线过定点（）12分若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知，得此时方程为，显然过点（）综上，直线过定点（）13分例9 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值。解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（）由题意知由 得所以圆P的半径为 ,解得 所以点P的坐标是（0，）（）由（）知，圆P的方程

8、。因为点在圆P上。所以设，则当，即，且，取最大值2.例10.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程；设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；在的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围【解析】 由题意知，所以即又因为，所以，故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由得 设点，则直线的方程为令，得将，代入整理，得由得，代入整理，得所以直线与轴相交于定点当过点直线的斜率存在时，设直线方程为，且，在椭圆上由得易知所以，则因为，所以所以当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得，此时所以的取值范围是例

9、11 已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。（1） 求椭圆C的方程；（2） 求线段MN长度的最小值；（3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：的面积为。试确定点T的个数。解（1）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为 3分 (2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在，且 故可设直线AS的方程为，从而 由得 设，则，得 从而，即 又,故直线BS的方程为 由得，所以，故 又，所以 当且仅当时，即时等号成立 所以时，线段MN的长度取最小值 .9分（3）由（2）知，

10、当线段MN的长度取最小值时，此时AS的方程为，, 所以,要使的面积为， 只需点T到直线AS的距离等于， 所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上 设，则由，解得 当时，由得 由于，故直线与椭圆C有两个不同交点 时，由得由于，故直线与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2. 针对训练1、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） 或 或2、椭圆的左右焦点分别为点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（ ）倍 倍 倍 倍3、椭圆上有一点其两焦点为若则的面积是（ ） 4、若双曲线和椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是则这个双曲线的方程是（ ） 5、双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，

11、则双曲线的离心率是（ ） 6、椭圆与双曲线有相同的焦点，则的取值范围是（ ） 7、过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，若则这样的直线存在（ ）条 条 条 条8、焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）或 或或 或9、已知抛物线上一点到准线的距离为，则到顶点的距离等于（ ） 10、已知抛物线的焦点定点为抛物线上一动点，则的最小值是（ ） 11、抛物线上一点到直线的距离最短，则这一点的坐标为（ ） 12、以抛物线的焦半径为直径的圆与轴的位置关系为（ ）A. 相交 B. 相离 C.相切 D.不确定13若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A圆B椭圆C双曲线D抛物线14、已知点P在

12、抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）A. （，1） B. （，1）C. （1，2） D. （1，2）15. 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点, 到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）（A） (B) (C) (D)16. 设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）A4B5C8D10 17. 若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px 的准线上，则p的值为 ( )(A)2 (B)3(C)4 (D)4 二、填空题。18、椭圆上一点的横坐标为3，到两焦点距离分

13、别为6.5和3.5，则 ， 。19、若方程表示椭圆，则实数的取值范围是 。20、分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是 。21、与双曲线有共同的渐近线且过点的双曲线方程为 。22、双曲线上的点到左焦点距离为6，则这样的点有 个。23、过点的抛物线的标准方程为 。24、边长为1的等边三角形为原点，垂直于轴，则以为顶点且过的抛物线方程是 。25. 已知双曲线的离心率是。则 26已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 答案：例题精讲: 例1. -1. 例2. 例3. 8 1. D 2. D 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C

14、 10.C 11.B 12.C 13.D 14.A 15.A 16.D 17. C 18、 ； 19、且 ；20、 ；21、； 22、3； 23、或； 24、； 25. 4 26. 高考链接1（10北京文）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。2（05北京文）抛物线y2=4x的准线方程是 ；焦点坐标是 3（07北京文）椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）4（08北京文）“双黄线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）即不充分也不必要条件5（

15、11北京文）已知双曲线（0）的一条渐近线的方程为，则= .7（11北京文）（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.8（本小题满分13分）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点0在该椭圆上（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程答案 1 () 2 x=1；(1, 0) 3 4 A 5 2 6 解（共14分）解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（）由题意知由 得所以圆P的半径为解得 所以点P的坐标是（0，）（）由（）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以设，则当，即，且，取最大值2.7 解：（）由已知得解得又所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则 因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程为解得所