高中文科数学基础知识汇总

1、高中文科数学基础知识一、集合与简易逻辑1元素与集合的关系：。2集合的元素具有：确定性、无序性、互异性。如若，则。3集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的属性，如若A=椭圆，B=直线，则，又若，则可能有0个或1个或2个元素，再如，,表示函数的定义域，表示函数的值域，表示函数图象上的点集。注意：若，则。4常见数集：R表示实数集；N表示自然数集；表示正整数集；Q表示有理数集；Z表示整数集。5空集是任何集合的子集，记作：，空集是任何非空集合的真子集；记作：，任何一个集合是它本身的子集，记作：。6包含关系：（为全集）。注意：当或时，要注意考虑与的

2、情况。7要证明集合A=B，则须证明：。8集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个。9判断命题的真假要以真值表（与非：真假相对；：一真必真；：一假必假）为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。10命题的否定：条件不变，否定结论。否命题：条件与结论均否定。其中常见的否定词有：词语是一定都是大于小于且任意至多1个唯一词语的否定不是不一定不都是小于或等于大于或等于或存在至少两个不唯一11.若，那么我们说，是的充分条件，是的必要条件。（或的必要条件是，的充分条件是。）12.判断命题充要条件的三种方法

3、：（1）定义法：。（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法。二、函数1. 以为自变量的函数是集合A到集合B的一种对应，其中A和B都是非空的数集，对于A中的每一个，B中都有唯一确定的和它对应。自变量取值的集合A就是函数的定义域，和对应的的值就是函数值，函数值的集合C就是函数的值域()。 注：集合中有个元素，集合B中有个元素，则到的映射有个，而到 的映射有个。2. 求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余切

4、及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要掌握：配方法，观察法，换元法（整体换元、三角换元），单调性法，反函数法，判别式法，三角函数的有界性，基本不等式法，利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合的形式。3. 若有反函数，则是的反函数。反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域。函数和它的反函数的图象关于对称。（若,则即若点在的图象上，则点必在反函数的图象上）注意：是的反函数吗？（不是，和互为反函数。）与它的反函数的交点必在直线上吗？（若为增函数则一定，否则无法判断）如函数与的交点为，交点不在直线上。4. 设那么上是增函数；上是减函数。设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数

5、；如果，则为减函数。5. 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件。（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）。例如：是奇函数，是非奇非偶。（定义域不关于原点对称）。奇函数特有性质：若的定义域，则一定有（不在函数的定义域内，则无此性质）。注意：奇函数关于原点对称，偶函数关于轴对称；奇函数关于原点对称的区间单调性相同，偶函数关于原点对称的区间单调性相反，简称：奇同偶反。6. 函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称。(2)函数的图象关于点对称。(3)函数满足，则的图象关于直线对称。(4)若函数对定义域中任意均有，则函数的图象关于点

6、成中心对称图形。7. 两个函数图象的对称性（1）函数与函数的图象关于直线轴对称。（2）函数与函数的图象关于直线轴对称。（3）函数与函数的图象关于原点对称。（4）函数和的图象关于直线对称。（5）函数和的图象关于直线对称。（6）函数与函数的图象关于直线对称。注意对比：函数满足，则的图象关于直线对称。（7）函数与函数的图象关于直线对称。8. 曲线图象的对称问题：（1）曲线关于直线对称曲线为：。（2）曲线关于直线对称曲线为：。（3）曲线关于直线对称曲线为：。（4）曲线关于点对称曲线为：。9. 若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象。即：函数的图象

7、按平移后的图象的表达式是：；曲线按平移后的曲线的关系式是：。10.分数指数幂（，且）。（，且）。11.指数式与对数式的关系是：12.对数的换底公式:。推论，。13.指数运算性质：； ；对数运算性质：； ； ，。 。14.指数函数和对数函数指数函数对数函数图象XYO11YXO性质(1)定义域：R(2)值域：(3)过定点：即当时,.(4)当时，在R上是:单调递增函数；当时，在R上是：单调递减函数。(1)定义域：(2)值域：R(3)过定点：即当1时，0(4)当时，在(0，+)上是：单调递增函数；当时，在(O，+)上是：单调递减函数。15.二次函数的解析式的三种形式一般式：顶点式：两根式（也称零点式）

8、：16.几个函数的周期(约定)：（1），则的周期。（2）或，或,或,则的周期。（3） ，则的周期。（4）若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。（5）若)奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。（6）若的图象关于直线,对称，则函数是周期为的周期函数。（7）若的图象关于对称，同时关于点对称，（），则函数是周期为。（8）若的图象关于对称，同时关于点对称，（），则函数是周期为。17.设函数,记，则有：（1）若的定义域为,则，且。（2）若的值域为,则，且。注意：对函数的定义域或值域为的问题，要注意考虑的情况。18.平均增长率的问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则

9、对于时间的总产值，有。19.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。21. 解恒成立问题常用方法：分离参数法；数形结合法；交换主元法。你能清楚何时用何种方法吗？常见题型：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则。若在上有解，则；若在上无解，则。（注：为常数。）在上恒成立，是对于任意的，必须大于吗？应该怎样解？（不是。通常移项，使即可；若的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在上的图像始终在的上方即可。）三、数列1.

10、 通项与前项和的关系，后检验能否合成一个关系式。2. 由求最大项；由求最小项。3. 两个基本变换：4. 证明数列是等差数列的方法：定义法：或中项法：5. 等差数列的通项公式：，变形6. 三数成等差数列，可设为：；四数成等差数列，可设为：7. 前n项和公式：8. 在等差数列中,有关的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当,d0时，满足的项数m使得取最小值。9. 等差数列的性质：若，则，特别，则。也成等差数列，且公差为：。设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是（为常数）其公差是。若都是等差数列，前项和分别为，且，则，；（注：，其中为非0常数。）注意：形如的类型，数列从第二项起成等差数列。即通项为

11、：。10.证明数列是等比数列的方法：定义法：或；中项法：。11.等比数列的通项公式：，变形。12.三数成等比数列，可设为：，；四数成等比数列，可设为：，。13.前n项和公式：当时，当时，14.等比数列的性质：若，则，特别，则；也成等比数列，且公比为：。15.若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和，用错位相减法求和。16.常用的求和方法有:倒序相加求和；错位相减求和；分组求和；裂项求和。17.常用裂项公式：； ； 18.由数列的递推公式求通项的类型： （1） （2） （3）（） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11）前项和与之间的等式关系求通项类型：如 ；。这

12、种类型通常利用关系()来进行转换，后由已知类型求解通项。 有些类型要注意考虑用数学归纳法。如：。19.常用的求和公式：四、三角函数1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。2. 弧度制:；弧长公式:,其中为圆心角的弧度数；扇形的面积公式:；1弧度=，弧度。3. 公式:公式组二：公式组三： 公式组四：公式组五： 公式组六：其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限。其中奇是指的系数为奇数，偶是指的系数为偶数，变是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。看符号时是指对原三角函数进行判断，并且要将视为锐角。如：，。4. 两角和与差的三角函数：； ； ； (平方正弦公式)；。=(辅

13、助角所在象限由点的象限决定,)，常见：，；。5. 二倍角公式： 变形： 6. 一种类型：正余弦的齐次式转化为正切值求解，如；等。7. 掌握角的演变：，等。8. 三角形中的三角变换(1)角的变换：因为在中，所以；。；。（2）在非直角中，。(3) 在中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是；是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列。9. 常用结论：(1)若，则 (2) 在上是减函数 角度01010-10不存在010.三角函数图象的五点作图法：如正弦：；，余弦：；这五点是函数图象在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。注意：你会用五点作图法画的草图吗？哪五点？你会根据图象求参数、 的值吗？

14、11.三角函数图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RR值域R周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心（）即正弦值为0的点（）即余弦值为0的点（）对称轴（）（）无单调性区间：，（）是增区间；区间：，（）是减区间；区间：，（）是增区间；区间：，（）是减区间；区间：（）是增区间12.三角函数的周期问题：函数、，（且A,为常数，且A、h0）的周期。函数，（）(A, 为常数，且A0)的周期。函数、的周期。不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数；为周期函数（）；的周期为，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：。13.函数图象的变换：振幅变换： 横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）为原来的A倍 周期

15、变换： 纵坐标不变，横坐标伸长（或缩短）为原来的倍 相位变换： 向左（或向右）平移个单位 平移变换： 向上（或向下）平移个单位 （其中为正数）14反三角函数反正弦函数是奇函数，故，（一定要注明定义域，若，没有与一一对应，故无反函数）注：，。反余弦函数非奇非偶，但有，。注：，；是偶函数，非奇非偶，而和为奇函数。反正切函数：，定义域，值域（），是奇函数，。注：，五、平面向量1. 基本概念:向量,向量长度,零向量,单位向量(其中),与非零向量方向相同的单位向量为:(若反向,则为)2. 平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的非零向量。规定与任一向量平行。注意：平行向量只与方向有关，而与起点、终点无

16、关。3相等向量：方向相同且模相等，如，4向量运算(1)加法运算：加法法则如图：三角形法则与平行四边形法则坐标运算：，则特别：，等。(2)减法运算减法法则(如图)：三角形法则坐标运算：，则特别：，又若A、B两点的坐标分别为(，)，(，)，则。(3)实数与向量的积：定义：，其中，当0时，与同向，当0时， 与反向，当，坐标运算：若，则。(4)平面向量的数量积：定义：(为向量的夹角（有时也记）且0)，规定：运算律：，不满足结合律：（只有特殊的时候才相等）坐标运算：若，则变形：（用于求向量的夹角）5重要定理、公式向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得即；坐标形式：若，则；平面向量基本定理：

17、若是不共线的非零向量，对任一向量，存在唯一实数，使得：；应用：若，则且；两个非零向量垂直的充要条件：；坐标形式：若，则；线段的定比分点公式：设，是线段的分点,是实数，且，则中点坐标公式：。6如果点，按向量，平移到，则或7在上的投影：（注意：这一结论常用在立几中求“点到面的距离；或异面直线间的距离等距离”问题上。）8常见结论：点共线，且；三角形中“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心；（2）为的重心；（3）为的垂心；三角形的重心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为、,则ABC的重心的坐标是；在中，。8三角形的面积公式：（1）（分别表示边上的高）；（2）。9.

18、 正弦定理，变形，其中为三角形外接圆的半径。10.余弦定理：;；，变形：；。11已知时三角形解的个数的判定：其中A为锐角时：时，无解；时，一解（直角）；时，两解（一锐角，一钝角）；时，一解（一锐角）。AbaChA为直角或钝角时：时，无解；时，一解（锐角）。另附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线的交点；外心：三角形三边垂直平分线的交点；内心：三角形三个内角的平分线的交点；垂心：三角形三边上的高的交点；旁心：三角形一内角的平分线与两条外角平分线的交点。12三角形四心：重心、内心、垂心、外心问题若，则动点P过三角形的重心；若，则动点P过三角形的内心；若，则动点P过三角形的垂心；若，则动点P过

19、三角形的外心。13判断三角形的形状：ABC的内角A、B、C所对的边分别为，设最大边为则有下列结论：ABC为直角ABC为钝角ABC为锐角 六、不等式1不等式的性质：； ； ； ； (6)。注意一个等式的性质:。2比较大小：（1）作差比较的步聚：作差变形（因式分解）定号。（2）作商比较的步骤：作商变形定值（与1比大小）此法要注意：要比较的两个数都为正数。3几个重要不等式：（1）基本不等式：（当时，）（当时取等号）使用均值不等式求最值时要注意：一正二定三相等。（2）基本不等式应用的一种类型：若，求的最小值。先把处理成后用均值求最小值即可，注意写明等号成立的条件。（3）绝对值不等式：。（注意等号成立的

20、条件）4证明不等式的常用方法：（1）比较法；（2）综合法：执因索果；（3）分析法：执果索因；（4）反证法：当命题以否定的形式出现时，考虑用此法。注：除以上方法外，还有放缩法、构造函数法、数学归纳法（与自然数有关的不等式）、判别式法。5不等式的解法：（1）一元一次不等式：（2）一元二次不等式：设是一元二次方程的两个实根，且根的判别式=的解集的解集注：1.最好把一元二次方程、一元二次函数的图象、一元二次不等式结合起来思考；2.当时，则应先把最高次项的系数化为正，再用以上结论。（3）简单的一元高次不等式的解法：一元高次不等式，用数轴标根法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是：将的最高次项的系数化为正

21、数；将分解为若干个一次因式或二次不可分因式之积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方一次通过每一点画曲线（奇次根依次穿过，偶次根穿而不过）。根据曲线呈现出的值的符号变化规律，写出不等式的解集。（4）分式不等式的解法：思想方法：转化为整式不等式求解。；（5）无理不等式：；（6）指数不等式与对数不等式当时, 当时, （7）绝对值不等式： （注意原不等式的取值范围）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用划区间法（也称零点讨论法）（8）含参不等式需要掌握三种类型：二次项系数含参；根含参；判别式含参。解决含参不等式的方法：分类讨论法步骤：首先确定含参的类型：是一种还是两种混合；其次找出分界点：如二

22、次项系数等于0的参数值、根相等的参数值、判别式等于0的参数值；第三将分界点标在数轴上，最后，对参数进行分类，讨论原不等式的解。注意每个分界点都要单独作为一类。同时应注意题目条件对参数有无限制。七、直线和圆的方程1直线的倾斜角范围是：，斜率的定义式是:其中，当倾斜角为时，斜率不存在。2经过两点的直线的斜率公式为：3直线的方向向量：当斜率存在时，直线的一个方向向量为：；当斜率不存在时，直线的一个方向向量为：（0，1）；若知道一条直线的方向向量为，则直线的斜率4. 直线方程的五种形式：点斜式： 斜截式：截距式： 两点式：一般式：，（A，B不全为0）（直线的方向向量：（，法向量（）注意：各种形式的使用

23、条件。5. 两直线的位置关系：设直线：=+，直线：=+，则/ 若两直线的位置关系可由系数来确定：/ 又若直线，（不重合）的方向向量分别为，则：/；6到角与夹角：直线的斜率存在，分别为、,且则到的角，有关系式:；与的夹角，有关系式：。7. 距离：（1）点到直线的距离：；（2）两条平行线与的距离是注意：在（2）中应用公式求距离时，要求的系数都相同。8. 对称问题：关于点、线的对称问题利用中点与直线的斜率关系进行解题。9. 直线系：直线方程平行直线系垂直直线系相交直线系（是指过直线与交点的直线系方程，其中，直线系方程中不包含直线） 10简单的线性规划：（1）在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示在直

24、线的某一侧的平面区域。常用的判断方法是将一个特殊点如（0，0）或（0，1）的坐标代入不等式，若成立则表示该点所在一侧的平面区域；若不成立，则表示该点所在区域另一侧的平面区域。（2）求解线性规划问题的步骤是：列约束条件；作可行域，写目标函数；确定目标函数的最优解。注意：作图时，留意直线的横纵截距与直线间的斜率大小关系。11圆的方程：（1）圆的标准方程：（2）圆的一般方程：(0)（3）圆的参数方程：（4）圆的直径式方程：(圆的直径的端点是、)12.点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距

25、离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。注意：其中直线与圆的位置关系也可以用代数法。联立方程得到一个一元二次方程，利用判别式进行确定根的个数，也就可以得到直线与圆是相交、相切还是相离了。13.若两圆的方程为：与，若两圆相交，则两圆方程的差得到公共弦所在的直线方程；若两圆相切，则两圆方程的差得到一条公切线所在的直线方程。14.求曲线方程的一般步骤简记:建系、找关系式、关系式坐标化、化简、证明，这几个步骤中，在具体求解时常常省略证明，但要注明、的取值范围。八、圆锥曲线1椭圆方程：（1）椭圆方程的第一定义： ：点P的轨迹为椭圆。 ：不存在

26、这样的点P。：点P的轨迹是以为端点的线段。（2）椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在轴上：。ii.中心在原点，焦点在轴上：；一般方程：；椭圆的标准方程：的参数方程为 （若，则应限定为：）。（3）椭圆的性质：顶点：、或、；轴： 轴、轴为对称轴；长轴长，短轴长；焦点：、或、；焦距：；准线：或；离心率：；焦半径：i.设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出；ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出：。注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。（4）共离心率的椭圆系方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是，我们称此方程为共离心率的椭

27、圆系方程。（5）若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）。2双曲线方程：（1）双曲线的第一定义：点P的轨迹为双曲线（若无绝对值，只表示一支）。 ：不存在这样的点P。：点P的轨迹是以为端点的两条射线。（2）双曲线标准方程：。一般方程：。（3）i.焦点在轴上：顶点：、；焦点：、；准线方程；渐近线方程：或。ii.焦点在轴上：顶点：、；焦点：、；准线方程：；渐近线方程：或；参数方程：或。轴：为对称轴，实轴长为,虚轴长为，焦距。离心率。准线距（两准线的距离）；通径长为：。参数关系：。焦半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）。右支上的点： 构成满

28、足左支上的点： 构成满足焦点在轴上：（4）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。（5）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：即。（6）共渐近线的双曲线系方程：；渐近线方程为即；如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为。例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得（7）直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4

29、条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线。小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条。（8）若P在双曲线，则点P到焦点的距离分别为、，则P到两准线的距离比为，简证：=。常用结论：1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于；2焦点三角形有结论：的面积为。3抛物线方程：设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率焦半径注：顶点；通径为，这是过焦点的所有弦中最短的弦；（或）的参数方程为（或）（为参数）。4圆锥曲线的统一定义：平面内到定

30、点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹（定点不能落在定直线上）当时，轨迹为椭圆； 当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线； 当时，轨迹为圆（，当时）。5. 一些常用结论:(1)弦长公式：。(2)（）焦点弦长：椭圆：；抛物线：；（）通径（最短弦）：椭圆、双曲线：；抛物线：。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于0且不相等时表示椭圆，时表示双曲线）。椭圆中的结论： 内接矩形最大面积：； P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则； 椭圆焦点三角形：若点是内心，交于点，则； 当点与椭圆短轴顶点重合时最大。双曲线焦点三角形：P是双曲线 ()的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则的内切圆

31、的圆心横坐标为。（6）抛物线中的结论：抛物线的焦点弦AB性质：；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；。抛物线内接直角三角形OAB（）的性质：；恒过定点；中点轨迹方程：；，则轨迹方程为：；。抛物线，对称轴上一定点，则：当时，顶点到点A距离最小，最小值为；当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。6直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，得到一元二次方程求解。注意以下问题： 联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？ 直线斜率不存在时考虑了吗？ 判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点、；作差得；解决

32、问题。7求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用各种曲线的定义（如圆锥曲线的定义、圆的定义、线段垂直平分线的定义与角平分线的定义等）； （2）直接法（列等式）； （3）代入法（相关点法或转移法）；（4）待定系数法； （5）参数法；（6）交轨法。8求点的轨迹与求点的轨迹方程的区别： 求点的轨迹方程：只需求出相应的方程，给出、的取值范围即可。 求点的轨迹：不仅要求出相应的方程，给出、的取值范围，并且要指明方程表示什么样的曲线。9几道典型题：（1）双曲线上的点到一焦点的距离为12，则到另一焦点的距离为 6或18 ；若到一焦点的距离为4，则到另一焦点的距离为10；若到一焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为

33、13。（提示：焦半径要与做比较）（2）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线共有_条；若，则共有_条；若，则共有_条；若，则共有_条。（提示：与及通径比较）（3）已知、，在双曲线上求一点，使最小。（4）已知椭圆，为右焦点，定点， 为椭圆上一点，求的坐标，使最小；求的最大值，最小值。（5）已知、，在抛物线上求一点，使最小。九、立体几何1. 平面的基本性质公理1:如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。符号语言表述为:。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点。这些公共点的集合是一条直线。符号语言表述为:。公理3:经过不在一条直线上的

34、三点确定一个平面。推论:一条直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线都可分别确定一个平面。2平行(1)直线平行关系的传递性:平行于同一条直线的两条直线平行(公理4)。符号语言表述为: 图形语言表述为:；定理:如果一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。符号语言表述为: 图形语言表述为:推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。(2)直线和平面平行的判定定理和性质定理判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。符号语言表述为: 图形语言表述为:性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的

35、平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。符号语言表述为: 图形语言表述为:(3)平面与平面平行的判定定理和性质定理判定定理:如果一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，那么这两个平面平行。符号语言表述为: 图形语言表述为:推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线,那么这两个平面平行。符号语言表述为: 图形语言表述为:性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号语言表述为: 图形语言表述为:符号语言表述为: 图形语言表述为:3. 夹角、距离与垂直(1)两条异面直线的夹角:过空间任一点作两条直线分别和两条异面直线平行，这两条直线所成的锐角或直

36、角就是两条异面直线的夹角。夹角为直角时，称两条直线互相垂直。（其中）两直线异面的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。符号语言表述为: 图形语言表述为:直线与是异面直线(2)直线和平面垂直的判定定理和性质定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。符号语言表述为: 图形语言表述为:此外还有：，性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行，垂直于同一条直线的的两个平面平行。符号语言表述为: 图形语言表述为: (3)三垂线定理及其逆定理三垂线定理（先垂射影后垂斜线）:在平面内一条直线,如果和平面的一条斜线的射影垂直,那么它也

37、和这条斜线垂直。符号语言表述为: 图形语言表述为:三垂线定理的逆定理（先垂斜线后垂射影）:在平面内一条直线,如果和平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。符号语言表述为: 图形语言表述为:(4)直线和平面所成的角是直线和其在平面内的射影的夹角。（其中）(5)以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（）。其中(6)垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短。(7)最小角原理：斜线和平

38、面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。(8)平面和平面垂直的判定定理和性质定理两个平面垂直的定义：两个平面所成的二面角是时,称两个平面互相垂直。两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么两个平面互相垂直。符号语言表述为: 图形语言表述为:两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。符号语言表述为: 图形语言表述为:推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面。符号语言表述为: 图形语言表述为:(8)距离:本章主要介绍了点到平面，直线和平面，平面和平面，两条异面直

39、线的距离。求距离主要运用向量的数量积运算、正弦定理和余弦定理(勾股定理)。另附：求角：（步骤-：找或作角；：证；：计算）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。向量法，转化为两直线方向向量的夹角。直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；三垂线法：由一个半平面内一点作（或找）另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再

40、求解；面积射影定理 (平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为)；向量法，转化为两个半平面法向量的夹角。注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；求距离：（步骤-.找或作垂线段；.求距离）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算，或转化为点到面的距离，进行求解。点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解。点到平面的距离。垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；等体积法；向量法：。球面距离：（步骤）（）求线段AB的长；（）求球心角AOB的弧度数（AB所在大圆的圆心角的弧度数）；（）求劣弧的长。4. 直观图的一

41、种画法：斜二测画法在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴交于点，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，使，它们确定的平面表示水平平面；已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半。5. 棱柱、棱锥与多面体(1)棱柱:按侧棱和底面分类:斜棱柱(侧棱与底面不垂直)和直棱柱(侧棱与底面垂直) 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。 特殊的四棱柱分类：四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体。直四棱柱平行六面体=直平行六面体。 （2）棱锥：两个基本性质：有一个面是多边形，其余各面是有一

42、个公共点的三角形。正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。（3）表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积： 体积：锥体：表面积： 体积：（4）正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体6. 球（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有以下性质：球心和截面圆心的的连线垂直于截面；球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有下面的关系：（2）纬度为的纬线圈所在的小圆半径为：（为地球的半径）。（3）两点的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。（4）球的表面积公式：；球的体积公式：。7. 常用结论：（1）从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，

43、若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A（2）三余弦公式：（其中为平面内一条直线与平面外一条直线所成的角，为直线与平面所成的角，为直线在平面的射影与直线所成的角。）（3）正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：高：；球心把高分成3：1；内切球半径：；外接球半径：；（4）最小角定理的应用已知两异面直线所成的角为，过定点的直线与所成的角都是，当或时，这样的直线有1条；当时，这样的直线有2条；当时，这样的直线有3条；当时，这样的直线有4条。（注：如果没说直线过定点，若存在1条，则存在无数条。）变形题：已知平面与所成的二面角为，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是

44、，则这样的直线有且仅有：4条。（5）三棱锥中，为点在面上的射影：若，则为的外心。若到三边的距离相等，则为的内心。 若与底面所成的线面角相等，则为的外心。若三侧面与底面所成的二面角相等，则为的内心。若两两垂直，则为的垂心。（6）球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长；(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长； 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长；正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。（7）求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）8空间向量相关知识点： （1）共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（

45、唯一）。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使。（3）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；（4）证明平行方面的公式：线线平行、线面平行、面面平行 线线平行：或， 线面平行： 或，其中为平面的法向量 面面平行：，其中分别为平面的法向量（5）垂直：线线垂直、线面垂直、面面垂直 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直：，其中分别为平面的法向量（6）角：线线角、线面角、面面角（角记为） 线线角：（） 线面角：（为直线AB的方向向量，为平面的法向量）（） 面面角：分别为平面的法向量，

46、二面角的平面角 先计算，最后依据题目判断二面角的平面角为锐角还是钝角，若为锐角，则，；若为钝角，则， 距离：点B到面的距离，其中为平面的法向量，则有：此外若，则。其它距离问题均可转化为点与面的距离进行求解。十、排列、组合和二项式定理1分类计数原理（加法原理）。2. 分步计数原理（乘法原理）。3排列数公式 = (，N*，且)。 当时：，规定。4组合数公式 =(，且)。规定：5组合数的两个性质(1) = ;(2) +=6排列与组合的共同点，就是“都要从个不同元素中，任取个元素”，而不同点就是排列“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不论怎样的顺序并成一组。”因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。7排列数与组合数的关系是： 。8含有可重元素的排列问题：对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素，其中限重复数为，且, 则S的排列个数等于。例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数。9几个常用组合数公式： 10. 常用的证明组合等式的方法:i. 裂项求和法。 如：（利用）ii. 导数法。 iii. 数学归纳法。 iv. 倒序求和法。v. 递推法（即用递推）。如：。vi. 构造二项式法。 如： 。证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边。11.排列、组合的综合问题：I. 排列