锐角三角函数全章复习教师版附详细答案和知识点巩固

1、锐角三角函数全章复习 【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；3通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】一、锐角三角函

2、数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在RtABC中，C=900，如果锐角A确定： (1)sinA=，这个比叫做A的正弦. (2)cosA=，这个比叫做A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“”， 但不能写成sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成sinBAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表

3、示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样，cosA、tanA也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是0A90，函数值的取值范围是0sinA1，0cosA1，tanA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 若A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函数关系：

4、sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函数值A304560sinAcosAtanA1二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即三、解直角三角形的应用1.解这类问题的一般过程(1)弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(

5、4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：注：1解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤RtABC两边两直角边(a，b)由求A，B=90A，斜边，一直角边(如c，a)由求A，B=90A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如A，b)B=90A，锐角、对边(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如c，A)B=90A， 【典型例题】类型一、锐角三角函数1(1)如图所示，P是角的边上一点，且点P的坐标为(-3，4)，则sin( ) A B C D2 例1（1）图 例1（2）图(2)在正方形网格中，AOB

6、如图所示放置，则cosAOB的值为( ) A. B. C. D.2【答案】(1)C； (2)A；【解析】(1)由图象知OA3，PA4，在RtPAO中 所以选C(2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形RtOCD，且OC1，CD2，则OD因此所以选A2在RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值是( ) A扩大2倍 B缩小2倍 C扩大4倍 D不变【答案】 D；【解析】根据知sinA的值与A的大小有关，与的比值有关当各边长度都扩大为原来的2倍时，其的比值不变故选D.举一反三：1、已知，如图，D是中BC边的中点，求 2、已知，如图，中，求cosA及tanA3、如图所示，已知

7、ABC是O的内接三角形，ABc，ACb，BCa，请你证明 【答案】 1、过D作DEAB交AC于E，则ADE=BAD=90，由，得设AD=2k,AB =3k,D是中BC边的中点，DE =在RtADE中， 2、易证点B、C、D、E四点共圆，ADEABC，cosA= tanA= 3、 证明：O是ABC的外接圆，设圆的半径为R，连结AO并延长交O于点D，连结CD，则BDAD是O的直径，ACD90即ADC为直角三角形，同理可证：，类型二、 特殊角三角函数值的计算3先化简，再求代数式的值，其中 【答案】 原式而 原式4已知a3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于( ) A6 B7 C8 D9【答案】

8、A；【解析】根据题意知 解得 所以a3，b4，c5，即，其构成的三角形为直角三角形，且C90，所以举一反三：计算：1、tan230cos230sin245tan45 2、 60【答案】1、原式= = = 2、原式=类型三、 解直角三角形5如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DEAB，垂足为E，则下列结论正确的个（ ）DE3 cm；BE1 cm；菱形的面积为15 cm2；BDcm A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C；【解析】由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm在RtADE中， AD5 cm，sin A， DEADsinA(cm) (cm) BEABAE541(cm)菱形的面积

9、为ABDE5315(cm2)在RtDEB中，(cm)综上所述正确故选C 举一反三：如图所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一点，若，则AD的长为( ) A2 B C D1【答案】 A；【解析】 作DEAB于点E因为ABC为等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又设DEx，则AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合6如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED45 (1)试判断CD与O的关系，并说明理由 (2)若O的半径为3 cm，AE

10、5 cm求ADE的正弦值【答案】 (1)CD与O相切 理由：如图所示，连接OD， 则AOD2AED24590 四边形ABCD是平行四边形， ABDC， CDOAOD90， ODCD，CD与O相切(2)如图所示，连接BE，则ADEABEAB是O的直径，AEB90，AB236(cm)在RtABE中，sinADEsinABE7如图所示，直角ABC中，C90，AB，sin B，点P为边BC上一动点，PDAB，PD交AC于点D，连接AP， (1)求AC，BC的长；(2)设PC的长为x，ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值【答案】 (1)在RtABC中，由，AC2，由勾股定理得BC4(2)

11、PDAB，ABCDPC，PCx，则，当x2时，y有最大值，最大值是1举一反三：1、如图，C、D是半圆O上两点，求和 【答案】如图，连结BC，则ACB=90，易证ECDEBA，cosCEB= tanCEB=类型五、三角函数与实际问题8如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)【答案】过点P作PCAB垂足为C，则APC30，BPC45，AP80，在RtAPC中，PCPAcosAPC，在RtPCB中，当轮船位于灯塔P南偏东45方向时，轮船与灯塔P的

12、距离是海里9为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆CE的长为20cm，点A、C、E在同一条直线上，且CAB75，如图所示 (1)求车架档AD的长； (2)求车座点E到车架档AB的距离 (结果精确到1cm，参考数据：sin750.959，cos750.2588，tan753.7321)【答案】(1)在RtACD中，车架档AD的长为75cm(2)过点E作EFAB于F，sinEAF， EFAEsinEAF(45+20)sin7563cm， 车座点E到车档架AB的距离是63cm【点评】考查解直角三

13、角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义. 巩固练习（一）一、选择题1如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sin等于（ ） 图（2） 图（1） A B C2如图2，在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）A. B C D3在RtABC中，C=90，sinA=，则sinB等于（ ） A B C D4在RtABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA的值是（ ） A5如图，在RtABC中，C=90，AB=10，sinB=，BC的长是（ ） A26.已知sin a + cos a=m，sin acos a=n，则m，n的关系是（ ） Am=n Bm=2n+1 Cm2=2n+

14、1 Dm2=1-2n7.在直角三角形ABC中，A为锐角，且cosA=，那么（ ） A0A30 B30A45 C45A60 D60ABC，CDAB于D，DEAC于E，EFAB于F，若CD=4，AB=10，则EF：AF等于（ ）A B C12.已知：RtABC中，C=90，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ） A3 B6 C9 D1213.下列各式中不正确的是（ ） Asin260+cos260=1 Bsin30+cos30=1 Csin35=cos55 Dtan45sin4514.计算2sin30-2cos60+tan45的结果是（ ） A2 B C D115.已知A为锐角，且cosA，那

15、么（ ） A0A60 B60A90 C0A30 D30A60时，cosa的值（ ） A小于 B大于 C大于 D大于118.已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是,则CAB等于（ ） A30 B60 C45 D以上都不对二、解答题19已知ABC等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值20.已知sin，cos是方程4x2-2（1+）x+=0的两根，求sin2+cos2的值答案：1、 选择题1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.B 16.B 17.A

16、18.B2、 解答题19如图，设ABC为等腰三角形，AB=AC=20，BC=30，过A作ADBC于D，则D为BC中点 BD=15，在RtABD中，AD=5tanB=20.sin+cos=（1+），cossin=， sin2+cos2=（sin+cos）2-2sincos =（1+） 2- =1巩固练习（二）一、选择题1如图所示，在RtABC中，则AC等于（ ）A3 B4 C D62已知为锐角，则的值（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm13如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ACAB，ADCD，cosDCA，BC10，则AB的值是( )A3 B6 C8 D9 第1题图 第3题图 第4题图4如图

17、所示，在菱形ABCD中，DEAB， tanDBE的值是( ) A. B.2 C. D. 5如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF2，BC5，CD3，则tan C等于( )A B C D 第5题图 第7题图6已知RtABC中，C90，则cosA的值为（ ） A B C D7如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( ) A5cos米 B米 C米 D米8等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）A30 B50 C60或120 D30或150二、填空题9计算：_10如图所示，已知

18、RtABC中，斜边BC上的高AD4，则AC_11如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与C重合，连接，则tan的值为_ 第10题图 第11题图 第12题图12如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC3米，则梯子长AB_米13.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的 处，那么tanBAD等于_ 第13题图 第15题图14一次函数经过(tan 45，tan 60)和(-cos 60，-6tan30)，则此一次函数的解析式为_15如图所示，在ABC中，ACB90，CD是AB边的中线，AC6，CD5

19、，则sinA等于_16已知是方程的一个根，是三角形的一个内角，那么cos的值为_三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45求路况显示牌BC的高度 18如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC8，B60，BC12，连接AC(1)求tanACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长19如图所示，点E、C在BF上，BEFC，ABCDEF45，AD90 (1)求证：ABDE；(2)若AC交DE于M，且AB，M

20、E，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角ECG的度数 20. 如图所示，AB是O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与O相切于点D，弦DFAB于点E，线段CD10，连接BD (1)求证：CDE2B； (2)若BD:AB:2，求O的半径及DF的长 【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】由知 2.【答案】D；【解析】在RtABC中，设所对的边为a，斜边为c，邻边为b则， ，而， m1.3.【答案】B；【解析】因为ADDC，所以DACDCA，又 ADBC， DACACB，所以DCAACB在RtACB中，ACBCcosBCA，则4.【答案】B；【解析】DEAB，在

21、RtADE中，cosA设AD5k，则AE3k，DE4k，又ADAB，BE2k，tanDBE5.【答案】B；【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD2EF224，又BC5，CD3， CD2+BD2BC2 BDC是直角三角形且BDC90， 6.【答案】C；【解析】， B60，A906030，7【答案】B；【解析】由上图知，在RtABC中，8【答案】D；【解析】有两种情况：当A为锐角时，如图(1)，sin A，A30；当A为钝角时，如图(2)，sin(180BAC)，180BAC30，BAC150二、填空题9【答案】； 【解析】原式10【答案】5；【解析】在RtABC中，ADBC，所以C

22、ADB，又 AD4，AC511【答案】；【解析】过作于点D，在Rt中，设，则，BC=2x,BD=3x. 12【答案】4 ； 【解析】由，知，AB4米13【答案】； 【解析】由题意知在RtABD中，14【答案】；【解析】tan 451, tan60，-cos60，-6tan30设ykx+b经过点、，则用待定系数法可求出，15【答案】；【解析】CD是RtABC斜边上的中线，AB2CD2510，BC，16【答案】 ； 【解析】由方程解的意义，知，故，从而，则三、解答题17.【答案与解析】 在RADB中，BDA45，AB3， DA3在RtADC中，CDA60，CAAD，BCCABA()m 答：路况显示

23、牌BC的高度是()m18.【答案与解析】 (1)如图所示，作AEBC于E，则BEABcos B8cos 60AEABsin B8sin 60ECBCBE1248在RtACE中，tanACB(2)作DFBC于F，则AEDF， ADEF， 四边形AEFD是矩形ADEF ABDC， BDCF又AEBDFC90，ABEDCF(AAS)FCBE4，EFBCBEFC4AD4MN(AD+BC)(4+12)819.【答案与解析】 (1)证明：BEFC，BCEF 又ABCDEF，AD， ABCDEFABDE (2)解：DEFB45，DEABCMEA90ACAB，MCMECGCE2在RtCAG中，ACG30ECG

24、ACBACB45301520.【答案与解析】(1)连接OD，直线CD与O相切于点D，ODCD，CD090，CDE+ODE90又DFAB，DEODEC90，EOD+ODE90CDEEOD又EOD2B；CDE2B(2)连接ADAB是O的直径，ADB90BD:AB:2，在RtADB中，B30，AOD2B60又CDO90，C30，在RtCDO中，CD10， OD10tan 30即O的半径为在RtCDE中，CD10，C30，DECDsin 305 弦DF直径AB于点E， DEEFDF， DF2DE10巩固练习（三）一、选择题1. 计算tan 60+2sin 452cos 30的结果是( ) A2 B C

25、 D12如图所示，ABC中，AC5，则ABC的面积是( )A B12 C14 D213如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到，则tan的值为( )A B C D 第2题图 第3题图 第4题图4如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得BAD30，在C点测得BCD60，又测得AC50米，那么小岛B到公路的距离为( ) A25米 B米 C米 D米5如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( ) A10 cm B20 c

26、m C30 cm D35 cm6如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( ) A15 B20 C30 D45 第5题图 第6题图 第7题图7如图所示，在高为2 m，坡角为30的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )A4 m B6 m Cm D8因为，所以；因为，所以，由此猜想，推理知：一般地，当为锐角时有sin(180+)-sin，由此可知：sin240( ) A B C D二、填空题9如图，若AC、BD的延长线交于点E，则= ；= 10如图，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，则AD的长为 ；CD的长为 . 第9题图 第10题图 第11题图11如图所示，已知直线，相邻两条平行直线间

27、的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则_12如果方程的两个根分别是RtABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为_ _13. 已知，则锐角的取值范围是_ _14. 在ABC中，AB8，ABC30，AC5，则BC_ _15. 如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点,则OBC 的余弦值为 . 第15题图 第16题图16. 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)CDE的正切值为 .三、解答

28、题17如图所示，以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，BOE60，cos C，BC (1)求A的度数；(2)求证：BC是O的切线；(3)求MD的长度 18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60方向上 (1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：1.732) (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25，则原计划完成这项工程需要多少天? 19如图所

29、示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点 (1)求证：ACCDPCBC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S 20. 如图所示，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy (1)求点D到BC的距离DH的长； (2)求y关于x的函数关系式(

30、不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点P，使PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】tan 60+2sin 452cos 30 2.【答案】A；【解析】过A作ADBC于D，因为，所以B45，所以ADBD，因为，所以， BDAD3，所以，所以BCBD+DC7，. 3.【答案】B；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得BB，然后将B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，B的对边为1，邻边为3，tan BtanB4.【答案】B；【解析】依题意知BCAC50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的

31、垂线，即是BE的长，在RtBCE中，BEBCsin 6050(米)，因此选B5.【答案】D；【解析】如图，ABD是等腰直角三角形，过A点作ACBD于C，则ABC45，ACBC，则所求深度为552035(cm)6.【答案】C；【解析】， 7【答案】D；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)，则地毯的总长至少为m8【答案】C；【解析】sin 240sin(180+60)-sin 60二、填空题9【答案】cosCEB=；tanCEB=【解析】如图，连结BC，则ACB=90，易证ECDEBA， cosCEB= tanCEB= 第9题答案图 第10题答案图10【答案】5+10；10+

32、5.【解析】过B点分别作BEAD，BFCD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF. 在RtAEB中，A=30，AB=10， AE=ABcos30=10=5， BE=ABsin30=10=5. 又在RtBFC中，C=30，BC=20， BF=BC=20=10， CF=BCcos30=20=10. AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11【答案】；【解析】设AB边与直线的交点为E， ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E为AB的中点，在RtAED中，ADE，AD2AE设AEk，则AD2k， 12【答案】或； 【解析】由得x11，x23当1，3为直角边时，则tan A；当3为斜边时，则另一直角边为 13【答案】030； 【解析】由题意知，故，即sinsin 30，由正弦函数是增函数知03014【答案】或；【解析】因ABC的形状不是唯一的，当ABC是锐角三角形时，如图所示，作AHBC于H，在RtABH中AH