课本上的习题下册横线以上的

1、第十二章 数项级数§1 级数的收敛性 1.证明下列级数的收敛性,并求其和数:(1)(2) (3) (4) (5) 2.证明:若级数发散,则也发散.3.设级数与都发散,试问一定发散吗?又若与都是非负数,则能得出什么结论?4.证明:若数列收敛于,则级数5.证明:若数列有则(1)级数发散;(2)当时,级数6.应用第4,5题的结果求下列级数的和:(1) (2) (3) 7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1) (2) (3) (4) §2 正项级数 1.应用比较原则判别下列级数的敛散性: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2.用比式判别法或

2、根式判别法鉴定下列级数的敛散性: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (其中且).3.设和为正项级数,且存在正数对一切有证明:若级数收敛,则级数也收敛;若发散,则也发散.4.设正数级数收敛,证明亦收敛;试问反之是否成立?5.设且有界,证明收敛.6.设级数收敛,证明也收敛.7.设正项级数收敛,证明级数也收敛.8.利用级数收敛的必要条件,证明下列等式:(1) (2) 9.用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1) (2) §3 一般项级数1.下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2.应用阿贝耳判别法或狄

3、利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1) (2) (3) 3.设且证明级数是收敛的. 总练习题 1.证明:若正项级数收敛,且数列单调,则2.若级数与都收敛,且成立不等式证明级数也收敛.若,都发散,试问一定发散吗?3.若且级数绝对收敛,证明级数也收敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?4.(1)设为正项级数,且能否判定收敛?(2)对于级数有,能否判定不绝对收敛,但可能条件收敛?(3)设为收敛的正项级数,能否存在一个正数,使得5.证明:若级数收敛, 绝对收敛,则级数也收敛.6.设证明级数是收敛的.7.证明:若级数与收敛,则级数和也收敛,且第十三章 函数列与函数项级数§1 一致收敛性1

4、.讨论下列函数在所示区间上是否一致收敛,并说明理由:(1) (2) (3) (4) (5) 2.证明:设若对每一个正整数有则在上一致收敛于.3.判别下列函数项级数在所示区间上的一致连续性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 4.设函数项级数在上一致连续于,函数在上有界.证明级数在上一致连续于5.若区间上,对任何正整数,证明当在上一致收敛时,级数在上也一致收敛.6.设是上单调函数,证明:若和都绝对收敛,则在上绝对且一致收敛.7.在上定义函数列 ,证明级数在上一致收敛,但它不存在优级数.§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质1.讨论下列各函数列在所定义的区间上:(a) 与的一

5、致收敛性;(b) 是否有定理13.9,13.10,13.11的条件与结论.(1) (2) (3) 2.证明:若函数列在是满足定理13.11的条件,则在上一致收敛.3.证明定理13.12和13.14.4.设计算积分 5.设计算积分6.设计算7.证明:函数设在上连续,且有连续的导函数.8.证明:定义在上的函数项级数满足定理13.13条件,且总练习题1.试问为何值时,下列函数列一致收敛:(1) (2) 2.证明(1)若且在上有界,则至多除有限项外在上是一致有界;(2) 且对每个正整数在上有界,则在上一致有界.3.设为上连续函数,证明:(1) 在上收敛;(2) 在上一致收敛的充要条件是4.若把定理13

6、.10中一致收敛函数数列的每一项在上连续改为在上可积,试证在上的极限函数在上也可积.5.设级数收敛,证明6.设可微函数列在上收敛,在上一致有界,证明:在上一致收敛.第十四章 幂级数§1 幂级数1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 2.应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域):(1) (2) (3) 3.证明:设在内收敛,若也收敛,则(注意:这里不管在是否收敛).应用这个结果证明: 4.证明:(1) 满足方程(2) 满足方程5.证明:设为幂级数(2)在上的和函数,若为奇函数,则级数(2)仅出现

7、奇次幂的项,若为偶函数,则(2)仅出现偶次幂的项.§2 函数的幂级数展开 1.设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数,对一切,有证明:对内任一点与有 2.利用已知函数的幂级数展开式,求下列函数在处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 3.求下列函数在处的泰勒展开式:(1) (2)*§3 复变量的指数函数欧拉公式1.证明:棣莫弗(de Moivre)公式2.应用欧拉公式与棣莫弗公式证明:(1) (2) 总练习题 1.证明:当时2.求下列函数的幂级数展开式:(1) (2) (3) 3.确定下列幂

8、级数的收敛域,并求其和函数:(1) (2) (3) (4) 4.应用幂级数性质求下列级数的和:(1) (2) 5.设函数定义在上,证明它在上满足下述方程:6.利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限:(1) (2) 第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数1.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数:(1)(2)(3)2.设是以为周期的可积函数,证明对任何实数,有3.把函数展开成傅里叶级数,并由它推出(1)(2)(3)4.设函数满足条件: 问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性.5.设函数满足条件: 问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性.6.试证函数系和 都是上的正交函数系,但它们合起来的(5

9、)式不是上的正交函数系.7.求下列函数的傅里叶级数展开式:(1) (2) (3) (4) (5) 8.求函数的傅里叶级数展开式,并应用它推出§2 以为周期的函数的展开式1.求下列周期函数的傅里叶级数展开式:(1) (周期); (2) (周期1);(3) (周期); (4) (周期2).2.求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性.3.将函数在上展开成余弦级数.4.将函数在上展开成正弦级数.5.把函数在上展开成余弦级数.6.把函数在上展开成余弦级数,并推出§3 收敛定理的证明1.设以为周期且有二阶连续的导函数,证明的傅里叶级数在上一致收敛于.2. 设为上可积函数.证明:若的傅里叶级数

10、在上一致收敛于,则成立帕塞瓦尔(Parseval)等式:这里,为的傅立叶系数 . 3.由于帕塞瓦尔等式对于在上满足收敛定理条件的函数也成立(证咯).请应用这个结果证明下列各式:(1) (提示:应用§1习题3的展开式导出);(2) (提示:应用§1习题1(1)(i)的展开式导出);(3) (提示:应用§1习题1(2)(i)的展开式导出).4.证明:若,均为上可积函数,且它们的傅里叶级数在上分别一致收敛于和,则其中为的傅里叶系数,为的傅里叶系数.5.证明:若及其导函数均在上可积, 且成立帕塞尔等式,则总练习题1.试求三角多项式的傅里叶级数展开式.2.设为上可积函数,为

11、的傅里叶系数.试证明:当时,积分取最小值,且最小值为上述是第1题中的三角多项式,为它的傅里叶系数.3. 设为以为周期,且具有二阶连续可微的函数,若级数绝对收敛,则4.设周期为的可积函数与满足以下关系式:(1) (2) 试问的傅里叶系数与的傅里叶系数有什么关系?5.设定义在上的连续函数列满足关系对于在上的可积函数,定义证明: 收敛,且有不等式 第十六章 多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数1.判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域?并分别指出它们的聚点与界点: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 或 (7) 或 (8) 均为整数 (9) 2.试问集合与集合

12、是否相同?3.证明:当且仅当存在各点互不相同的点列时,是的聚点.4.证明:闭域必为闭集.举例说明反之不真.5.证明:点列收敛于的充要条件是和6.求下列各函数的函数值:(1)求(2)求(3)求7.设证明:若则8.求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) §2 二元函数的极限1.试求下列极限(包括非正常极限):(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)2.讨论下列函数在点的重极限与累次极限:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 3.证明:若存在且等于;在的某邻域内,

13、存在有则4.试应用定义证明5.叙述并证明:二元函数极限的惟一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.§3 二元函数的连续性1.讨论下列函数的连续性:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2.叙述并证明二元连续函数的局部保号性.3.设试讨论它在点处的连续性.4.设定义在闭矩形域若对在上处处连续,对在(且关于)为一致连续.证明在上处处连续.5.证明:若是有界闭域, 为上连续函数,且不是常数函数,则不仅有界(定理16.8)而且是闭区间.总练习题1.设是有界闭集,为的直径.证明:存在使得2.设试分别讨论时极限是否存在?为什么?3.设且在附近有证明4.设为定义在上的连

14、续函数,是任一实数,证明是开集, 是闭集.5.设在有界开集上一致连续.证明: (1)可将连续延拓到的边界; (2)在上有界.6.设与在平面中的点集上一致连续; 与把点集映射为平面中的点集,在上一致连续.证明复合函数在上一致连续.7.设在区间内连续可导,函数定义在区域内.证明:对任何有 第十七章 多元函数微分学§1 可微性 1.求下列函数的偏导数: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2.设求3.设考察函数在原点的偏导数.4.证明函数在点连续但偏导数不存在.5.考察函数在点处的可微性.6.证明函数在点连续且偏导数存在,但在此点不可微.7.证

15、明函数在点连续且偏导数存在,但偏导数在不连续,而在原点可微.8.求下列函数在给定点的全微分:(1) 在点,;(2) 在点,.9.求下列函数的全微分:(1) (2) 10.求曲面在点处的切平面方程和法线方程.11.求曲面在点处的切平面和法线方程.12.求曲面上求一点,使这点的切平面平行于平面并写出这切平面方程和法线方程.13计算近似值:(1) (2) 14.设圆台上下底的半径分别为高若分别增加求此圆台体积变化的近似值.§2 复合函数微分法1.求下列复合函数的偏导数或导数:(1)设求(2)设求(3)设求(4)设求(5)设求(6)设求2.设其中为可微函数,验证3.设其中为可微函数,证明:4

16、.设可微,证明:在坐标旋转变换 之下,是一个形式不变量.即若则必有(其中旋转角是常数).5.设是可微函数,试求:与§3 方向导数与梯度1.求函数在点处沿方向(其方向角分别为)的方向导数.2.求函数在点处沿到点的方向上的方向的导数.3.求函数在点及点处的梯度以及它们的模.4.设函数其中求的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式.5.设函数求它在点的梯度.6.证明: (1)(为常数); (2)(为常数); (3) (4)7.设试求: (1) (2)§4 泰勒公式与极值问题1.求下列函数的高阶偏导数:(1) 所有二阶偏导数;(2) 所有二阶偏导数;(3) (4) (5) 所有二阶偏导

17、数;(6) 所有二阶偏导数; (7) 2.设证明:3. 设证明:4.设为常数,证明:5.证明定理17.8的推论.6.通过对施用中值定理,证明对某有7.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1)在点(到二阶为止);(2)在点(到三阶为止);(3)在点;(4)在点8.求下列函数的极值点:(1)(2)(3)9.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值:(1)(2)(3)10.在已知周长为的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.11.在平面上求一点,使它到三直线及的距离平方和最小.12.已知平面上个点的坐标分别是试求一点,使它与这个个点距离的平方和最小.总练习题1.设证明2.求函数在原点的偏导数与,并考察在

18、的可微性.3.设证明:(1) (2)4.设函数具有连续的阶偏导数,试证函数的阶导数5.设求6.设求7.设函数在上有试求关于的函数式.8.设在点可微,且在给定了个向量,相邻两个向量之间的夹角为证明9.设为次齐次函数,而且次可微.证明10.对于函数试证第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数1.方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或?2.方程在点的某邻域内能否出某一个变量为另外两个变量的函数?3.求下列方程所确定的隐函数的导数:(1) 求(2) 求(3) 求(4) 求(5) 求(6) 求4.设其中为由方程所确定的隐函数,求及5.设其中是由方程所确定的隐函数,求及§2 隐函数组1.

19、试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组?2.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:(1) 求(2) 求(3) 求3.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:(1) 求(2) 求4.设函数是由方程组(为参量)所定义的函数,求当时的5.设以为新的自变量变换下列方程: (1) 设 (2) 设6.设函数由方程组所确定,求和§3 几何应用 1.求平面曲线上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.2.求下列曲线在所示点处的切线与法平面:(1)在点(2)在点3.求下列曲面在所示点处的切平面与法线:(1) 在点(2) 在点4.证明对任意常数球面与锥面是正交的.5.求曲面的切平面

20、,使它平行于平面6.求曲线上求出一点,使曲线在此点的切线平行于平面§4 条件极值1.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极植:(1) 若(2) 若(其中); (3) 若2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体;(2)求体积一定而表面积最小的长方体.3.求空间一点到平面的最短距离.总练习题1.方程在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数2.设函数在区间内连续,函数在区间内连续,而且问在怎样条件下,方程能确定函数并研究例子3.设试求4.已知都是可微的,证明: V15.设求6.试求下列方程所确定的函数偏导数(1) (2) 7.据理说明:在点近旁是否存在连续可微的和,满足且8.设()满足

21、方程组这里所有的函数假定有连续的导数. (1)说出一个能在该点邻域内确定为的的函数的充分条件. (2)在的情形下，上述条件相当于什么？9.求由下列方程所确定的隐函数的极值: (1)(2) 10设和一组函数那么由方程可以确定函数试用表示11.试证明:二次型在单位球面上的最大值和最小值恰好是矩阵的最大特征值和最小特征值.12.设为正整数,用条件极值方法证明:提示:参照§4例3的思想方法,给出合适的约束条件.13.求出椭球在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.14.设是曲面的非奇异点,在可微,且为次齐次函数.证明:此曲面在处的切平面方程为第十九章 含参量积分§1

22、含参量正常积分1.设(这个函数在时不连续),试证由含参量积分所确定的函数在上连续,并作函数的图象.2.求下列极限(1) (2) 3.设求4.应用对参量的微分法,求下列积分:(1) (2) 5.应用积分号下的积分法,求下列积分:(1) (2) 6.试求累次积分:与并指它们为什么与定理19.6的结果不符.§2 含参量反常积分1.证明下列各题:(1) 在上一致收敛;(2) 在上一致收敛;(3) (i)在上一致收敛;(ii)在上不一致收敛; (4) 在上一致收敛; (5) 在上一致收敛;2.从等式出发,计算积分3.证明函数在上连续.(提示:证明中可利用公式)4.求下列积分:(1)(提示:可利

23、用公式);(2);(3)§3 欧拉积分1.计算2.计算3.证明下列各式:(1)(2)(3)(4)4.证明公式总练习题1.在区间内用线性函数近似代替试求使得积分最小值.2.设其中与为上的连续函数,证明3.求函数的不连续点,并作函数的图象.4.证明:若在时一致收敛于,且对任何一致地成立,则5.设为二阶可微函数, 为可微函数.证明函数满足弦振方程及初值条件6.证明:(1) (2) 第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分:(1) 其中是以为顶点的三角形;(2) 其中是以原点为中心, 为半径的右半圆周;(3) 其中为椭圆在第一象限中的部分;(4) 其中为单位

24、圆周(5) 其中为螺旋线的一段; (6) 其中曲线的一段; (7) 其中是与相交的圆周.2.求曲线的质量,设其线密度为3.求摆线的重心,设其质量分布是均匀的.§2 第二型曲线积分1.计算第二型曲线积分: (1) 其中为本节例2中的三种情况; (2) 其中为摆线沿增加方向一段; (3) 其中为圆周.依逆时针方向; (4) 其中为与轴所围的闭曲线,依顺时针方向. (5) 其中:从到的直线段.2.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比.若质点由沿椭圆移动到,求力所作的功.3.设一质点受力作用,力的方向指向原点,大小与质点到平面的距离成反比.若质点沿直线从到,求力所

25、作的功.总练习题1.计算下列曲线积分:(1) ,其中是由和所围的闭曲线;(2) ,其中为双纽线(3) ,其中为圆锥螺线(4) ,为以半径,圆心在原点的右半圆周从最上面一到最下面一点;(5) 是抛物线从到的一段;(6) 是维维安尼曲线2.设为连续函数,试就如下曲线:(1):连续的直线段;(2):连续三点的三角形(逆时针方向),计算下列曲线积分:3.设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数,且在上恒大于零.(1)试证明(2)试问在相同条件下,第二型曲线积分 是否成立?为什么?第二十一章 重积分§1 二重积分概念1.把重积分作为积分的极限,计算这个积分值,其中并用直线网分割这个正方形为许多小

26、正方形,每个小正方形取其右顶点作为其节点.2.证明:若函数为有界闭区域上可积,则在上有界.3.证明二重积分中值定理(性质7).4.若为有界闭区域上的非负连续函数,且在上不恒为零,则5.若在有界闭区域上连续,且在内任一子区域上有则在上 §2 直角坐标系下二重积分的计算 1.设在区域上连续,试将二重积分化为不同顺序的累次积分: (1)由不等式所确定的区域; (2)由不等式所确定的区域; (3)由不等式与所确定的区域; (4)2.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) (2)(3) (4)3.计算下列二重积分:(1),其中由抛物线与直线所围成的区域;(2),其中(3),其中为图21-9中阴

27、影部分; (4),其中.4.求由坐标平面设及所围的角柱体的体积.§3 格林公式曲线积分与路的无关性1应用格林公式计算下列曲线积:(1),其中是以为顶点的三角形,方向取正向;(2),其中为常数,为由到经过圆上半部的路线.2.应用格林公式计算下列曲线所围成的平面面积:(1)星形线:(2)双纽线:3.证明:若为平面上封闭曲线,为任意方向向量,则其中为曲线的外法线方向.4.求积分值,其中为包围有界区域的封闭曲线, 为的外法线方向.5.验证下列积分与路线无关,并求它们的值:(1);(2);(3),沿在右半平面的路线;(4),沿不通过原点的路线;(5),其中为连续函数.6.求下列全微分的原函数:

28、(1);(2);(3).7.为了使曲线积分与积分路线无关,可微函数应满足怎样的条件? §4 二重积分的变量变换1.对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:(1)当为由不等式所确定的区域;(2);(3).2.用极坐标计算下列二重积分:(1),其中;(2),其中;(3),其中为圆域:;(4),其中为圆域:.3.在下列积分中引入新变量后,试将它化为累次积分;(1),若;(2),其中,若;(3),其中,若4.试作适当变换,计算下列积分:(1);(2)5.求由下列曲面所围成立体的体积:(1)是由和所围的立体;(2)是由曲面和所围成的立体.6.求由下列曲线所围成的平面图形面积:(1)

29、(2)(3).§5 三重积分1.计算下列积分:(1),其中;(2),其中;(3),其中是由与三个坐标面所围成的区域;(4),其中是由及所围成的区域.2.试改变下列累次积分的顺序:(1)(2)3.计算下列三重积分与累次积分:(1),其中由和所确定;(2)4.利用适当的坐标变换,计算下列各由面所围成的体积:(1) (2)5.设球体上各点密度等于该点到原点的距离,求这球体的质量.§6 重积分的应用1.求曲面包含在圆柱内那部分的面积.2.求锥面被柱面所截部分的曲面面积.3.求下列均匀密度的平面薄板重心:(1)半椭圆(2)高为,底分别为和的等腰梯形.4.求下列均匀密度物体的重心:(1

30、)(2)由坐标面及平面所围成的四面体.5.求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量:(1)半径为的圆关于其切线的转动惯量;(2)边长为和,且夹角为的平行四边形,关于底边的转动惯量.6.计算下列引力:(1)均匀薄片对于轴上一点处的单位质量的引力;(2)均匀柱体对于点处的单位质量的引力;(3)均匀密度的正圆锥体(高,底半径)对于在它的顶点处单位质量为的质点的引力.*§7 重积分1.计算五重积分 其中2.计算四重积分其中3.求维角锥,的体积.4.把上的重积分化为单重积分,其中为连续函数. *§8 反常二重积分1.试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性: (1)(2),为全平面;(3)2.

31、计算积分3.判别下列积分的收敛性:(1) (2)*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明总练习题1.求下列函数在所指定区域内的平均值:(1)(2)2.计算下列积分:(1) (2) 3.应用格林公式计算曲线积分其中为上半圆周从到的一段.4.求其中为连续函数.5.求,设(1)(2)其中为可微函数;(3)其中为可微函数.6.设求7.证明其中8.试写出单位正方体为积分区域时,柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.9.设函数和在上可积,则10.设在上连续,且恒取正值,试求11.求由椭圆所界的面积,其中12.设求由平面所界平行六面体的体积.13.设有一质量分布不均匀的半圆弧其线密度为(

32、为常数),求它对原点处质量为的质点的引力.14.求螺旋线对轴的转动惯量,设曲线的密度为1.15.求摆线的重心,设其质量分布是均匀的.16.设是具有二阶连续偏导数的函数,证明: (1) (2)其中为光滑曲线所围成的平面区域,而是沿曲线的外法线的方向导数.17.求指数,使得曲线积分与路线无关,并求第二十二章 曲面积分§1 第一型曲面积分 1.计算下列第一型曲面积分: (1)其中是上半球面(2)其中为立体边界曲面;(3)其中为柱面被平面所截取的部分;(4)其中为平面在第一卦限中的部分.2.求均匀曲面的重心.3.求密度为的均匀球面对于轴的转动惯量.4.计算其中为圆锥表面的一部分: 这里为常数

33、().§2 第二型曲面积分1.计算下列第二型曲面积分:(1)其中为由六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向;(2)其中是以原点为中心,边长为2的立方体表面并取外侧为正方向;(3)其中是由平面和所围成的四面体表面并取外侧为正向;(4)其中是球面的上半部分并取外侧为正向;(5)其中是球面并取外侧为正向.2.设某流体的流速为,求单位时间内从球面的内部流过球面的流量.§3 高斯公式与斯托克斯公式1.应用高斯公式计算下列曲面积分;(1)其中是单位球面的外侧;(2)其中是立方体表面的外侧;(3)其中是锥面与平面所围空间区域()的表面,方向取外侧;(4)其中是单位球面的外侧;(5)其中是

34、上半球面的外侧.2.应用高斯公式计算三重积分其中是由与所确定的空间区域.3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:(1)其中为与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧;(2)其中为所交的椭圆的正向;(3)其中为以为顶点的三角形沿的.4.求下列全微分的原函数:(1)(2)5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值:(1)(2)其中在球面上.*§4 场论初步1.若计算2.求在点处的梯度,并求梯度为零之点.3.证明本节第二段关于梯度的一些基本性质15.4.计算下列向量场的散度与旋度:(1) (2)(3)5.证明本节第三段关于散度的一些基本性质13.6.证明本节第四段关于旋度的一些

35、基本性质13(可应用算符推演).7.证明:场是有势场并求其势函数.8.若流体流速求单位时间内穿过球面的流量.9.设流速(为常数),求环流量:(1)沿圆周(2)沿圆周总练习题1.设(1)计算其中为螺旋线;(2)设求;(3)问在什么条件下为有势场?并求势函数.2.证明:若为包围区域的曲面的外侧,则(1)(2)其中在区域及其界面上有二阶连续偏导数,为沿曲面外法线方向的方向导数.3.设为光滑闭曲面,为所围的区域.函数在与上具有二阶连续偏导数,函数偏导连续.证明:(1)(2)4.设为一封闭曲面,.证明当原点在曲面的外、上、内时,分别有5.计算其中是柱面在和的部分.曲面侧的法向与轴正向成锐角.6.证明公式:这里在时为连续函数.*第二十三章 流形上微积分学初阶§1 维欧氏空间与向量函数1.设证明2.设,点到集合的距离定义为证明:(1)若是闭集,则(2)若是连同其全体聚点所组成的集合(称为的闭包),则3.设是的任意子集.证明:(1)(2)(3)若是一一映射