等差数列知识点总结53078

1、第一讲数列定义及其性质一、基本概念：1、通项公式：an ；2、前 n 项和： Sn3、关系： anSnSn 1 (n2)二、性质：1、单调性：增数列：anan 1 ；减数列： anan 1 ；常数列： anan 12、最值：最大值：减数列an 最小值：增数列最大值： + L (0)Sn若 S7最大，则 a7若 S7或 S8最大，则最小值 : 与上面相反0, a80a70, a8 =0, a90,3、前 n 项积 Tn 有最大值：三、几种常见数列：1、 -1,7,-13,19 L2、 7,77,777, L13 53、，L2 4 8164、 11，4L924685、，,L随堂训练：1、已知数列

2、an 通项公式是 an2n，那么这个数列是（）3n1A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2、已知数列 an 满足 a10 ，an 11）an，那么这个数列是（2A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列3、已知数列 an 通项公式是 ann2kn 2 ，若对任意 nN * ，都有 an 1an 成立，则实数 k 的取值范围是（）4、已知数列 an 通项公式是 ann10 ,Tn 是数列 an 的前 n 项积，即 Tna1a2a3 L an ，2n1当 Tn 取到最大值是， n 的值为（）5、设数列 an 的前 n 项和 Snn2 ，则 a8 的值是（）等差数列专题一、等差数列知识

3、点回顾与技巧点拨1等差数列的定义一般地， 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示那么这个数2等差数列的通项公式若等差数列 a n的首项是a1，公差是 d，则其通项公式为an a1 (n 1)d (n m)d p.3等差中项如果三个数x，A，y 组成等差数列，那么A 叫做 x 和 y 的等差中项，如果A 是 x 和 y 的等差x y中项，则A2.4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an am (nm)d(n， mN* )(2)若 an为等差数列，且m n p q，则 am an ap aq(m，n

4、， p， q N* )(3)若 an是等差数列， 公差为 d，则 a k，akm，ak2m ，(k，m N* )是公差为md 的等差数列(4)数列 Sm， S2m Sm，S3m S2m ， 也是等差数列(5)S2 n1 (2n 1)an.nd(6)若 n 为偶数，则S 偶 S 奇 2 ；若 n 为奇数，则S 奇 S 偶 a 中 (中间项 )5等差数列的前n 项和公式若已知首项a1 和末项 an，则 Sn n?a1 an?，或等差数列 an的首项是 a1 ，公差是 d，则其前 2n?n 1?n 项和公式为Sn na1d .26等差数列的前 n 项和公式与函数的关系nd 2dnn22n a12 A

5、n Bn(A， B 为常数 )S n，数列 a 是等差数列的充要条件是S7最值问题在等差数列 a n中， a 10， d 0，则 Sn 存在最大值，若a10， d 0，则 Sn 存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：Sn a1 a2 a3 an ，Sn anan 1 a1，得： Snn?a1an?2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为， a 2d， ad， a， a d， a 2d， .(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为 ，a 3d， a d， ad，a 3d， ，其余各项再依据等差数列的

6、定义进行对称设元四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于 n2的任意自然数，验证 a an 1为同一常数；n(2)等差中项法：验证2an 1 an an2 (n3， n N* )都成立；(3)通项公式法：验证an pn q；n2 Bn.(4)前 n 项和公式法：验证 S An注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列基础训练：（公式的运用，定义的把握）1已知等差数列an中， a3=9， a9=3，则公差d 的值为（）AB 1CD12已知数列 an的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A 以 7 为首项，公差为2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为C 以 5 为首

7、项，公差为2 的等差数列D 不是等差数列3在等差数列 an中， a1=13， a3=12，若 an=2，则 n 等于（）5 的等差数列A 23B 24C 25D264两个数1 与 5 的等差中项是（）A 1B 3C 2D5（ 2005?黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）A a1+a8 a4+a5B a1+a8=a4+a5C a1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考点 1:等差数列的通项与前n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例 1】已知an 为等差数列，a158,a6020 ，则 a75对应练习 ：1、已知an

8、 为等差数列，amp, anq （ m, n, k 互不相等），求 ak .2、已知 5 个数成等差数列，它们的和为5 ，平方和为 165 ，求这 5 个数 .题型 2：已知前 n 项和 Sn 及其某项，求项数.【解题思路】利用等差数列的通项公式ana1 ( n 1)d 求出 a1 及 d ，代入 Sn 可求项数 n ；利用等差数列的前 4 项和及后4 项和求出 a1 an ，代入 Sn 可求项数 n .【例 2】已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， a4 9, a96, Sn 63 ，求 n对应练习：3、若一个等差数列的前4 项和为36，后4 项和为124，且所有项的和为780，求这个

9、数列的项数n .4、已知 Sn 为等差数列 an的前 n 项和， a1 1, a47, Sn100 ，则 n.题型 3：求等差数列的前n 项和【解题思路】 （1）利用 Sn 求出 an ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例 3】已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， Sn12 nn2.（1 ） a1a2a3 ；求a1 a2 a3a10；求 a1 a2 a3an .练习：对应练习： 5、已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， S10100, S10010 ，求 S110 .考点 2 ：证明数列是等差数列【名师指引】 判断或证

10、明数列是等差数列的方法有：1、定义法： an 1and （ nN ， d 是常数）an是等差数列；2、中项法： 2an1anan 2 ( nN )an 是等差数列；3、通项公式法： anknb （ k, b 是常数）an是等差数列；4、项和公式法：n2（A, B是常数，A0）an 是等差数列 .SAnBn【例 4】已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， bnSn (nN ) .求证：数列bn 是等差数列 .n对应练习： 6、设 Sn 为数列 an的前 n 项和， Sn pnan (nN ) ， a1 a2 .（1 ） 常数 p 的值； （2）证：数列 an 是等差数列 .考点 3 :等差

11、数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例 5】 1、已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， a6100 ，则 S11；2、知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， Snm, Smn(nm) ，则 Sm n.对应练习： 7、含 2n1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A. 2n 1B. n 1C. n 1D . n 1nnn2n8.设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 an 、 an的前 n 项和，Sn7n2a5.Tnn3，则b5考点 4： 等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用 an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出 Tn 后，判断

12、Tn 的单调性 .【例 6】已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和， Sn1 n211 n ；数列 bn满足： b311 ，22bn 22bn 1bn ，其前 9 项和为 153. 数列 an 、 bn 的通项公式；设 Tn 为数列cn的前 n 项和， cn6，求使不等式(2an11)( 2bn 1)TnknN 都成立的最大正整数k 的值 .对57课后练习：1.(2010 广雅中学 )设数列an 是等差数列，且a28 ， a155 ， Sn 是数列an 的前 n 项和，则A S10 S11B S10S11C S9S10D S9 S102.在等差数列an 中， a5120 ，则 a2a4 a6a8.3.数列an 中， an2n49 ，当数列an 的前 n 项和 Sn 取得最小值时，n.4.已知等差数列an共有 10