论文积分中值定理的推广及应用

1、海 南 大 学毕 业 论 文（设计）题 目：积分中值定理的推广及应用 学 号： 姓 名： 年 级： 学 院：信息科学技术学院 系 别：数学系 专 业：信息与计算科学 指导教师： 完成日期： 年 月 日 摘 要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用。我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在此基础上，我们还讨论了在几何形体上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。在积分中

2、值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间讨论函数的积分中值定理情形转换为在开区间上讨论函数上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。不仅如此，我们还将几何形体上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。有关点的渐进性，我们对第一积分中值定理的点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。关键

3、词：积分中值定理；推广； 应用；渐进性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point” of integr

4、al median point, the application of integral mean-value theorem.We have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem, the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theorems process. On this basis, we also have discussed the Riema

5、nn first integral mean-value theorem on the geometry. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has a significant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integral mean-value theorem of funct

6、ion in the initial closed interval in the case of discussing it in the open interval, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometry to the situation of the first and second ty

7、pe curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.About the Progressive of point, we have discussed the point of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the second integral mean value theorem has been demons

8、trated one of these situations. And the other process of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integral value ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integral value, prove the

9、 monotonic of function and Abel test and Dirichlet testKey words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目 录1 引言12 积分中值定理的证明22.1 定积分中值定理22.2 积分第一中值定理32.3 积分第二中值定理32.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理63 积分中值定理的推广93.1 定积分中值定理的推广93.2 定积分第一中值定理的推广93.3 定积分第二中值定理的推广113.4 第一曲线积分中值定理123.5 第二曲线积分中值定理123.6 第

10、一曲面积分中值定理133.7 第二曲面积分中值定理144 第一积分中值定理中值点的渐进性165 第二积分中值定理中值点的渐进性206 积分中值定理的应用236.1 估计积分值236.2 求含定积分的极限246.3 确定积分号246.4 比较积分大小256.5 证明函数的单调性256.6 证明定理257 结论29谢辞30参考文献311引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。其中，微积分的创立，也极大地推动了数学的发展。积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其

11、应用清晰论述一下。通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形。还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题。此外，在20世

12、纪，国内外定在有关积分中值定理的“中间点”渐进性质研究就已经有很显著的成就。数学家们不但将较为简单的情况下（一个区间上）的情形论述第一、第二积分中值定理的渐进性质论述透彻，而且还加以推广，包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性，第一曲线型积分渐近性，甚至还将积分线由有限改为无穷的情形，他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化。本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积

13、分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。2 积分中值定理的证明2.1 定积分中值定理定理1（定积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式成立。证明： 因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在a,b上有最大值M和最小值m,即，我们对不等式进行积可得 有积分性质可知 由于，对不等式同时除以可得。此式表明介于函数的最大值和最小值之间。由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有，成立，将上式两端乘以即可得到，命题

14、得证。备注1：很显然，积分中值定理中公式 （在与之间）不论或都是成立的。2.2 积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在上是可积的，则在上至少存在一点，使得成立。证明：由于在上不变号，我们不妨假设，并且记在上的最大值和最小值为和，即，将不等式两边同乘以可知，此时对于任意的都有成立。对上式在上进行积分，可得。此时在之间必存在数值，使得，即有成立。由于在区间上是连续的，则在上必定存在一点，使成立。此时即可得到，命题得证。2.3 积分第二中值定理 定理3（积分第二中值定理）：如果函数在闭区间上可积，而在区间上单调，则在上至少存在一点，使下式成立 （2-2

15、）特别地，如果在区间上单调上升且 ，那么存在，使下式成立 （2-3）如果在区间上单调下降且，那么存在，使下式成立 （2-4）证明：由题设条件知在区间上都是可积的，由积分性质可知也是可积的。我们先证明（2-3）式，即在非负、且在区间上单调上升的情形下加以证明。 对于（2-4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2-2）式。在区间上取一系列分点使，记，其中为在上的幅度，即，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下等份，并且记，。则，因为在上可积，且区间是有限的，所以在上有界，此时我们不妨假设。估计如下： 由于可积，所以当时，有，从而有，从而可知我们记，由于函数在闭区间上可

16、积，那么函数是上的连续函数，并且有最大值和最小值和，记为，很显然，从而 因为是非负的，并且在区间上单调上升，即有、成立，所以有下式成立。即有成立。从而可以得到，其中满足。由于函数连续，则在之间存在一点，使成立，从而有公式（2-3）成立，即成立，（2-3）式得证。对于单调下降且的情形即公式（2-4）的证明过程是类似的，证明略。对于是一般单调上升情形，我们作辅助函数，其中为单调上升且，此时公式（2-3）对于是成立的，即存在使成立，这就证明了公式（2-2）。对于是一般单调下降的情形，此时应用公式（2-4），同样可得到（2-2）式，此命题得证。2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理定理4（第一中值定理

17、）：若在上黎曼可积，则存在常数使得成立，这里的介于在上的上确界和下确界之间。证明：假设，由命题可知，由积分性质，对不等式在上进行黎曼积分可得，即有，其中为几何形体的度量。此时即可得到是介于和之间，从而有成立，其中为位于之间的一个数，命题得证。定理5（二重积分的中值定理）：假设函数在闭区域上连续，其中是的面积，则在上至少存在一点使得成立。证明：由于函数在闭区域上连续，假设在闭区域上的最大值和最小值分别为，即。对不等式在区域上进行二重积分可得，即。其中为闭区域的面积，我们不妨记。由上式还可得到。由于，将不等式除以可得。由于函数在闭区域上连续，则在上至少存在一点使得 成立。将上式两边同乘以即可得到，

18、从而命题得证。定理6（三重积分的中值定理）：设函数在空间闭区域上连续，其中是的体积，则在上至少存在一点使得成立。证明：由于函数在闭区域上连续，假设在闭区域上的最大值和最小值分别为，即。对不等式在区域上进行三重积分可得，即，其中为闭区域的体积，我们不妨记。由上式还可得到。由于，将不等式同除以即可得到。由函数在闭区域上连续，则此时在上至少存在一点使得 成立。将上式两边同乘以即可得到，命题得证。3. 积分中值定理的推广3.1定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理） ：如果函数在闭区间连续，则在开区间至少存在一个点，使得下式成立。证明：作辅助函数如下：。由于在闭区间连续，则在上可微，且有成立

19、。由微分中值定理可知：至少存在一点，使得成立。并且有，此时即可得到下式，命题得证。3.2定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）： 若函数是闭区间上可积函数，在上可积且不变号，则在开区间上至少存在一点，使得成立。证法1：由于函数在闭区间上是可积的，在上可积且不变号，令，很显然在上连续。并且， 。由柯西中值定理即可得到，即，命题得证。证法2：由于函数在上可积且不变号，我们不妨假设。而函数在闭区间上可积，我们令，。假设是在闭区间上的一个原函数，即。此时我们有下式成立（3-1）由于，则有，以下我们分两种情形来进行讨论：1如果，由（3-1）式可知，则此时对于有成立。2如果，将（3-1

20、）式除以可得，（3-2）我们记 ，（3-3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i如果（3-2）式中的等号不成立，即有成立，则此时存在，使得，我们不妨假设，其中。因为，则有。此时至少存在一点，使得，即有成立，从而结论成立。ii如果（3-2）式中仅有一个等号成立，不妨假设，因为，此时必存在（其中），使得，恒有成立，我们则可将（3-3）式可改写为，因为，则有（3-4）又注意到，必有。于是（3-5）下证必存在，使。若不然，则在上恒有及成立，从而。如果，由达布定理在上有，这与矛盾。如果 ，这与（3-5）式矛盾。所以存在，使，定理证毕。3.3 推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）： 如果

21、函数在闭区间可积，在区间上可积且不变号，则在上必存在一点，使得成立。证明过程详见参考文献9。34 第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使成立，其中为曲线的弧长。证明：因为函数在光滑有界闭曲线上连续，所以存在，其中，对不等式在闭曲线上进行第一类曲线积分可得，其中为曲线的弧长，并且，由于，将上式同除以常数，即可得到，由于函数在曲线上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线上至少存在一点，使成立，左右两边同除以常数，即可得到结论，从而命题得证。3.5 第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数在光

22、滑有向曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使得成立。其中为光滑有向曲线在轴正向上的投影，其中符号“”是由曲线的方向确定的。证明：因为函数在有界闭曲线上连续，所以存在，其中，对上式进行第二型曲线积分可得（3-6）其中为有向光滑曲线在轴上的投影，此时我们不妨记，并且分以下两种情况进行讨论：1假设，将（3-6）式除以可得。因为在上连续，故由介值定理，则在曲线上至少存在一点，使成立，即有成立。2同理当，式左右两边同时除以可得，因为在上连续，故由介值定理，则在曲线上至少存在一点，使成立，即有成立，由上面证明过程可得，命题得证。3.6 第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设为平面上的有

23、界闭区域，其中为光滑曲面，并且函数在上连续，则在曲面上至少存在一点，使成立，其中是曲面的面积。证明：因为在曲面上连续，所以存在且使得成立，我们对上式在上进行第一类曲面积分可得，其中为曲面的面积，且，因为，两边同除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在一点，使，成立，两边同时乘以可得，命题得证。3.7 第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面，其中是有界闭区域，函数在上连续，由此在曲面上至少存在一点，使成立，其中是的投影的面积。证明：因为函数在曲面上连续，所以存在使得，对上式在曲面上进行第二类曲面积分可得，其中为投影在曲面上的面积，并且我们记。1若，则

24、上式除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在一点，使，两边同时乘以有，2同理，若，则上式除以有，由于在曲面上连续，故由介值定理，在曲面上至少存在一点，使，两边同时乘以有。由以上证明过程可得，从而结论成立。4 第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数在上阶可导，其中在点的直到阶右导数为0，而不为0，即，并且有在点连续；函数在可积且不变号，并且对于充分小的， 在上连续，且，则第一积分中值定理中的中值点满足。证明：对任意，我们做一个辅助函数如下：一方面，当时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则由积分中值定理和洛比达法则可以得到，从而。 （4-1）且有成立。

25、另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得=由洛比达法则，则有，因此可得。 （4-2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到。定理15：假设函数在上连续，存在并且有，阶导数，有， 成立，并且在点连续，不变号，则第一积分中值定理中的点满足。证明：对任意的，构造辅助函数如下 。一方面，当时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有=由于，则，且函数阶导数，则上式等于（4-3）另一方面，由积分中值定理。则=对使用洛比达法则可得=（4-4）比较（4-3），（4-4）式我们可以得到。定理16：设函数在上阶可导，在点连续；函数阶导数，且，并且在点连续，不变号，则第一积分中值定理中的满足。证明

26、：对任意的，我们构造辅助函数如下一方面，由于时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有=由于函数在上阶可导，且函数在上阶可导，则上式等于 （4-5）另一方面，由积分中值定理。则=对使用洛比达法则可得 （4-6）比较（4-5）、（4-6）式我们可以得到。5 第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数上单调，并且在点的右导数存在，且有；在上可积，在点的右极限存在，且。则第二积分中值定理中的满足。证明：对于任意的，构造辅助函数如下。一方面，当时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得（5-1）另一方面，由第二积分中值定理，有（5-2）比较（5-1）、（5-

27、2）式知，即可得到。将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数在上单调，在内有直到阶导数，在点连续，在点的右导数满足，在上可积，在点的右极限存在，且，则第二积分中值定理中的满足。证明：构造辅助函数证明可仿造定理17，证明过程略。定理19：假设函数在上单调，函数在点的右导数存在，并且有；在上存在直到阶导数，且有在点连续，并且满足，则第二积分中值定理中的点满足。证明：构造辅助函数，证明可仿造定理17，证明过程略。定理20：假设函数在上单调，在上有直到阶的导数，在点连续，并且在点的右导数满足，；在上存在直到阶导数，在点连续，且满足，则第二积分中值定理中的点满足。证明：构造辅助函数，证明可仿造定

28、理17，证明过程略。6 积分中值定理的应用6.1 估计积分值例1 估计的积分解：由于，即。于是此时可得到估计的积分值为。例2 估计的积分解：设。则，其次，假设和，则单调下降，并且有。于是，其中，。因此。例3 证明等式。证法1：由第一积分中值定理可知，其中位于和之间的某个值。证法2：由第二积分中值定理可知得 ，其中位于和之间的某个值，于是。6.2 求含定积分的极限例4 求极限解：利用广义积分中值定理 则6.3 确定积分号例5确定积分的符号解：由积分中值定理可知其中。又在上不恒为0，则有，即的符号为正号。6.4 比较积分大小例6 比较积分和的大小解：当时，从而有，于是我们有，即小于等于。6.5 证

29、明函数的单调性例7设函数在上连续，其中，试证：在内，若为非减函数，则必为非增函数。证明：利用分歩积分法，将化为对上式求导，可以得到：。由积分中值定理，可得：。若为非减函数，则有成立，因此可以得到，故为非增函数，命题得证。6.6 证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果在上可积，单调有界，那么收敛。证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间上（其中），存在，使得。因为在上可积，则收敛，所以对于任何，存在，使得当时，成立。又由，根据柯西收敛原理可推知积分收敛。备注2： 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：假设在有奇点，收敛，单调有界，那么积分收敛。证明：对应用第二积分中值定理

30、，证明过程略。备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设关于为一致收敛，关于单调（即对每个固定的，作为的函数是单调的），并且关于是一致有界的，即存在正数，对所讨论范围内的一切成立：。那么积分关于在上是一致收敛的。证明：由于关于是一致收敛的，则对于任意正数，存在，当时，成立。因此，当时，将看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式因为对任意的都有，则。因此，关于在上是一致收敛的，命题得证。例9 证明（狄里克莱判别法）如果有界，即存在，使得单调且当时趋向于零，那么积分收敛。证明：因为，所以对任意的，存在，当时，。又因，所以，同样我们有 。由第二积分

31、中值定理，只要，就有所以积分收敛，命题得证。备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设在有奇点，是的有界函数，单调且当时趋于零，那么积分收敛。证明：对应用第二积分中值定理，证明过程略。备注5： 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分对于和是一致有界的，即存在正数，使对上述成立又因为关于是单调的，并且当时，关于上的一致趋于零，即对于任意给定的正数，有，当时，对一切成立，那么积分关于在上是一致收敛的。证明：由所假设的条件可推知对任何，有而由和上式可推知，当时，因此，关于在上是一致收敛的，命题得证。7 结论本课题通过讨论积分中值定理，对积分中值定理内容如积分中值定理的定义、推广、渐进性质、应用加以说明，使得我们对积分中值定理有一个大概的了解。本文论述得还是比较完全的，对于积分中值定理的各个方面有关情形都一一加以讨论。而且对于现在