第十一讲恒等变形简单的整式运算

1、第十一讲恒等变形（ 1）简单的整式运算实验班1. 当 a2,b1 时 ,代数式a43ab6a2 b23ab24ab6a2 b27a2b2ab22a4b4的值是 _.解： -53.原式 a43ab6a2b23ab24ab6a2b27a2 b2ab 22a4b4a47 a2b2242, b 1时，7 a b 2 a b .当b a原式 =47272 1 2212145322 122. ( 第十六届希望杯初一年级培训题)当 x1, y 2 时， axby4 ； x1, y 1 时， ax by2 .则2a b 的值是 _.a2b44 个方程组：解： 由已知得b根据绝对值的性质得到a2a 2b 4a2

2、b 4a2b 4a2b4a b 2a b 2a b 2a b 2它们的解分别为88a0aba033b233b2bb22 2ab 的取值可以是 -6， -2， 2，63 若 (x-1)(x+1)(x+5)=x 3 +b x 2 +cx+d ，求b+d 的值解：令 x=0, 则 d=-5, 令 x=1,则由、得：b=5,c=-1,1+b+c-5=0 ，即 b+d=5-5=0.b+c=4 ,令x= -1,则 -1+b-c-5=0, 则b-c=6 ,4(2001 年全国初中竞赛题A a>b)若 a、b 是正数，且满足B. a=b12345=(111+a)(111-b) ，则 a、b 之间的关系是

3、C a<bD不能确定() 解： 12345=12321+11（ a-b） -ab， 11（ a-b） =24+ab 0， a b5 (2004年第十五届“希望杯”全国邀请赛培训题) 已知k 是整数，并且x33x23xk的一个因式是（ x+1），则k=；另一个是二次多项式，它是.解：设x33x23xkA x1 ，其中A 是一个多项式. 将x=-1代入，得-1+3+3+k=0, k=-5所以x23x23x5 = x2x12xx15 x1=x1x22x5，则A=x22 x5 .6 (2001 年全国初中数学联赛试题)一个正整数，若分别加上100 与 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为

4、 _解： 156。设这个正整数为x,则 ( x 100)a2； (x168)b2则两式之差为，.68168234417b2a2(ba)(ba) 。解之 a=16, b=18 。7 (1998 年希望杯竞赛题 )计算：78322322 =_ 7878 2222解： 100分子为（ 7822）（ 782 78×22 222），分子、分母约分后即得 .8若 m2 =n+2 ， n2 =m+2 (m n)，求 m3 -2mn+ n3 的值解：由 m3=m(n+2)=mn+2m, n3=n(m+2)=mn+2n, m3-2mn+ n3=mn+2m-2mn+mn+2n=2m+2n.又由 m2 -

5、n2=n-m, 而 n-m 0, m+n=-1, 2m+2n= -2.龙班1. 当 a2,b1 时 ,代数式a43ab6a2 b23ab24ab6a2 b27a2b2ab22a4b4的值是 _.解： -53.原式 a43ab6a2b23ab24ab6a2b27a2 b2ab 22a4b4a47 a2b2242, b 1时，7 a b 2 a b .当b a原式 =47272 1 2212145322 122. ( 第十六届希望杯初一年级培训题)当 x1, y 2 时， axby4 ； x1, y 1 时， ax by2 .则2a b 的值是 _.a2b4解： 由已知得b根据绝对值的性质得到4

6、个方程组：a2a 2b 4a2b 4a2b 4a2b4a b 2a b 2a b 2a b 2它们的解分别为88a0aba033b233b2bb222ab 的取值可以是 -6， -2， 2，63 若 (x-1)(x+1)(x+5)= x 3 +b x 2 +cx+d ，求 b+d 的值解：令 x=0, 则 d=-5, 令 x=1,则 1+b+c-5=0 ，即 b+c=4由、得：b=5,c=-1, b+d=5-5=0. ,令x= -1,则 -1+b-c-5=0, 则b-c=6 ,4 (1999 年北京市竞赛题)若 3x3-x=1，则 9x4+12x3-3x2-7x+1999 的值等于 ()A 1

7、997B 1999C 2001D 2003解：D 原式=（ 3x3） +20033，原式 =2003-x-1）（ 3x+4， 3x -x-1=05 (2004 年第十五届“希望杯”全国邀请赛培训题) 已知（ x+1），则 k=；另一个是二次多项式，它是k 是整数，并且.x33x23xk的一个因式是解：设x33x23xkA x1 ，其中A 是一个多项式. 将x=-1代入，得-1+3+3+k=0, k=-5所以x23x23x5 = x2x12xx15 x1=x1x22x5，则A=x22 x5 .6 (2001 年全国初中数学联赛试题)一个正整数，若分别加上100 与 168，则可得到两个完全平方数

8、，这个正整数为 _解： 156。设这个正整数为x,则 ( x 100)a2 ； (x168)b2 .则两式之差为，68168234417b2a2(b a)(ba) 。解之 a=16, b=18 。7若 m2 =n+2 ， n2 =m+2 (m n)，求 m3 -2mn+ n3 的值解：由 m3 =m(n+2)=mn+2m,n3 =n(m+2)=mn+2n, m3 -2mn+ n3 =mn+2m-2mn+mn+2n=2m+2n.又由 m2 -n2 =n-m, 而 n-m 0, m+n=-1, 2m+2n= -2.8（北京市竞赛题）当abc0, a2b2c21时，试求下列各式的值：（ 1） bc

9、ca ab ；（ 2） a4b4c4解：（ 1） -0.5； ( ab c) 2a2b2c22ab2ac2bc（ 2） 0.5，由 (a2b2c2 )2a4b4c42a2b22b2c22c2a2；提示：先求出 b2c2c2a 2a2b2=0.25；竞赛班1. 当 a2,b1 时 ,代数式a43ab6a2 b23ab24ab6a2 b27a2b2ab22a4b4的值是 _.解： -53.原式 a43ab6a2b23ab24ab6a2b27a2 b2ab 22a4b4a47 a2b2242, b 1时，7 a b 2 a b .当b a原式 =47272 1 2212145322 122. ( 第

10、十六届希望杯初一年级培训题)当 x1, y 2时， axby4 ； x1, y 1 时， ax by2 .则2a b 的值是 _.a2b4解： 由已知得b根据绝对值的性质得到4 个方程组：a2a 2b 4a2b 4a2b 4a2b4a b 2a b 2a b 2a b 2它们的解分别为88a0aba033b233b2bb22 2ab 的取值可以是 -6， -2， 2，63. （“希望杯”邀请赛试题）已知x、 y 满足 x2+y2+ 5 =2x+y, 求代数式xy的值 .4xy解： x2 2x+ y 2 y 5=0 得（ x 1） 2+(y 1) 2=042故 x=1 ， y= 1代入为 123

11、4（第 14 届“希望杯”邀请赛试题）整数x,y 满足不等式x2+ y 2+1 2x+2y ，求 x+y 的值 .解： x2 2x+ y 2 2y+1 0（ x 1） 2+（ y 1） 2 1x、 y 为整数故x 1=0 或 1， 1当x 1 0得x 1，0即或y 0,则或 ；1 y 11 y 2,x y 3 120y1即，则xy；0 y12当x11, x2, y1,则xy；3当x11, x0, y，则xy 11故 x+y=1,2 或 35（ 2003 年河北省竞赛题）同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整. 甲商场：第一次提价的百分率为 a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价

12、的百分率都是ab （ a b 0）；丙商场：2第一次提价的百分率为b, 第二次提价的百分率为a, 则哪个商场提价最多？说明理由.解：设商品的提价为x, 甲： x（ 1+a） (1+b), 乙： x(1+ a b ) 2, 丙： x(1+b)(1+a)作差比较它们的大小 .26 (2001 年全国初中数学联赛试题这个正整数为_)一个正整数，若分别加上100 与168，则可得到两个完全平方数，解： 156。设这个正整数为x, 则 ( x 100)a2； (x168) b2.则两式之差为，681682344 17 b2a2(ba)(ba) 。解之 a=16, b=18 。7若m2=n+2 ， n2=m+2 (m n)，求m3-2mn+n3 的值解：由m3 =m(n+2)=mn+2m,n3 =n(m+2)=mn+2n, m3 -2mn+n3 =mn+2m-2mn+mn+2n=2m+2n.又由 m2 -n2=n-