导数在经济上的应用ppt课件

1、一、边沿分析 第三章 二、弹性分析3.6.1 常用的经济函数常用的经济函数3.6.1 常用的经济函数常用的经济函数( )QQ p需求函数:就是商品需求量与价钱之间的函数关系。1. 需求函数需求函数常见的需求函数有以下几种类型 (1) 线性需求函数 (0,0);QabpabdQdQabpop(2) 二次需求函数 2Qabpcp(0,0,0);abcdQop2dQabpcp(3) 指数需求函数 bpdQaedQop(0,0).bpQaeab普通来说，需求函数是价钱的单调减少函数.( )SS p供应函数:就是商品供应量与价钱之间的函数关系。需求函数的反函数 称为价钱函数。( )PP q2. 供应函数

2、供应函数常见的供应函数有以下几种类型 (1) 线性供应函数 sQcdp sQop(2) 二次供应函数略 sQop( ,0)asQkpa k(3) 幂供应函数 (4) 指数供应函数 sQop( ,0)bpsQaea b普通来说，供应函数是价钱的单调添加函数.( )QQ p需求函数( )SS p供应函数pQ平衡价钱平衡量价钱 p Qo供过于求供不于求3. 平衡点平衡点需求函数 2510p 供应函数 2005 ,Qp求平衡点。(,)(7,165)p Q解：由平衡条件QS得：2005 , p2510,Sp4. 本钱函数本钱函数FC(q)和变动本钱(variable cost,VC(q).固定本钱包括设

3、备的固定费用和其他管理费用；变动本钱是随销售量或有形本钱函数：一个企业的本钱包括固定本钱(fixed cost产量的变化而变化。总本钱=固定本钱+可变本钱，即( )( )( ).C qFC qVC q平均本钱函数( )( )C qC qq例例3.6.2 假设知某产品的本钱假设知某产品的本钱C是产量是产量q的线性函数，而的线性函数，而2000q 当时，9000C ；当4400q 时，12600C ，求出当5600q 时的本钱是多少？解：设,Caqb那么90002000,126004400,abab解之得：1.50,6000,ab所以1.56000,Cq5600q 将代入上式，得( )14100C

4、 q 元实践上，6000是固定本钱，1.5q是可变本钱。( )R qqp即收益=价钱售出量，即利润函数：利润是一个企业所追求的主要目的之一。利润利润L(q)是产量或销售量的函数，利润是产量或销售量的函数，利润=收益收益-本钱，本钱，( )( )( ).L qR qC q( )0L q 当时，消费者盈利；( )0L q 当时，消费者亏损；( )0L q 当时，消费者盈亏平衡；( )0L q 使的点，称为盈亏平衡点又称保本点为100元，当年产量超越800台，超越的部分只能以9折的价格出卖，这样可以多出卖200台。再多消费，将无法出卖。试写出本年的收益函数。解：解：( )R q,100q),(800

5、q90100800，若800q0,20090100800.1000q 若，若1000q800),(800q9080000,980000例例3.6.5 设某产品的价钱函数是设某产品的价钱函数是60(10000),1000qpq其中p为价钱元，q为产品销售量。又设产品的固定本钱为6000元，变动本钱为20元/件。求本钱函数、收益解：解：( )206000;C qq本钱函数为收益函数( )R qqp260(10000);1000qqq利润函数( )( )( )L qR qC q2601000qq(206000)q24060001000qq 函数和利润函数。1.最大利润问题：最大利润问题： 3.6.2

6、.最大值与最小值在经济问题中的运用举最大值与最小值在经济问题中的运用举例例215( )10,R qqq总本钱函数为 解：利润函数为解：利润函数为( )( )( )L qR qC q215850qq502Cq, 求产量为多少时总利润最大. ( )L q258q25( )L q ( )0L q令，20q 得这是L(q) 独一的驻点25(20)0,L 0y所以当 q = 20 时总利润最大.最大利润：2158 20205030(20)L小结：普通地，当小结：普通地，当( )0L q时，即( )( )R qC q时，总利润最大。200台，市场调查指出，当价钱降低10元时，一周的销售量可添加20台。求出

7、价钱函数和销售额函数, 商店要到达最大销售额，应该把价钱降低多少元 200台，市场调查指出，当价钱降低10元时，一周的销售量解：设调价后每周能售出解：设调价后每周能售出x台，台，可添加20台。求出价钱函数和销售额函数, 商店要到达最大200,x而每多销售一台，那么价钱降低11020元，阐明假设价钱降低所以(450)P12450450 225销售额，应该把价钱降低多少元 那么每周添加的销售量为故价钱函数为：10( )350(200)20P xx有独一的极大值，即为最大值。1450,2x销售额函数为：( )( )R xxP x21450,2xx求其最大值：( )0R x令，( )R x2450,x

8、450(x 得台),( )10,R x 350225125()元，销售额可到达最大。2.最小本钱问题：最小本钱问题： 2( )1004qCC q求 当产量为多少时，平均本钱最小。解解: 平均本钱：( )( )C qC qq1004qq21001( ),4C qq3200( )Cqq( )0,C q令20q 得只取正值0y0y(20)0,C20.q时平均成本最小1. 边沿函数：边沿函数： 设函数设函数()( )yf xxf xxxdyy( )yf x0limxyx称为称为f (x)在在 x 处的变化率。处的变化率。( )fx称为称为f (x)在在 平均变化率。平均变化率。( ,)x xx( )d

9、fxx( )fx所以，边沿函数近似等于所以，边沿函数近似等于( ).fx当当 自变量自变量 从从 x 处改动一个单位时，处改动一个单位时，y 相应的改动量称相应的改动量称为边沿函数。此时，为边沿函数。此时，实践上，经常省略实践上，经常省略“近似。近似。3.6.3 导数在经济分析中的运用导数在经济分析中的运用一一. 边沿分析边沿分析方案消费 q 件产品后再多消费 1 件产品, 本钱的实践改动是: (1)( )C qC q0()( )( )limqC qqC qC qq(1)( )1C qC q(1)( )C qC q即: 产品数量为 q 时， 边沿本钱 增减一件产品时本钱的实践改动 边沿本钱:

10、(或少)( )(1)C qC q(1)( )( )1C qC qC q( )(1)C qC q( )1000530C qqq求消费100件和225件产品时的边沿本钱. 解解:( )C q1000530qq5 1302 q155q15(100)5100C6.5 (/)元 件15(225)5225C6 (/)元 件 经济含义经济含义: 当产量为当产量为 225 件时件时, 再添加再添加 1 件产品件产品, 总本钱将总本钱将添加添加 6 元左右。元左右。 经济含义经济含义: 当产量为当产量为100件时件时, 再添加再添加1件产品件产品,总本钱将总本钱将添加添加 6 .5元左右。元左右。Rp q总收益

11、：总收益： 边沿收益函数：边沿收益函数：( )R q在销售了 q 件产品后再多或少销售 1 件产品, 收益的实践改动是: (1)( )R qR q边沿收益: ( )(1)R qR q(1)( )( )1R qR qR q( )(1)R qR q0()( )( )limqR qqR qR qq(1)( )1R qR q(1)( )R qR q含义含义: 产品数量为产品数量为 q 时，时， 边沿收益边沿收益 多多(或少或少)售一件产品时收益的添加售一件产品时收益的添加(或减少或减少)量量1005 ,qp其中 p 为单价, 求边沿收益函数及 q = 20,50,70 时的边沿收益，并解释所得结果的经

12、济意义。解：产品单价为解：产品单价为 15(100)pq总收益函数为( )R qq p15(100)qq边沿收益函数：15( )(1002 )R qq15(20)(100220)R 1215(50)(1002 50)R 08 215(100)qq15(70)(1002 70)R q = 20时, 再多售一件产品总收益将添加12个单位q = 50时, 再多售一件产品总收益不会添加q = 70时, 再多售一件产品总收益反而减少7个单位设 q 为商品售出量, ( )CC q总本钱函数： 利润函数：利润函数：( )( )R qC q( )L q( )RR q总收益函数： L = 总收益 总本钱边沿利润

13、：边沿利润：( )L q边沿利润的含义边沿利润的含义: 销售量为销售量为 q 时，时， 边沿利润边沿利润 再多售一件产品时利润的添加量再多售一件产品时利润的添加量(少售)(减少量)二二. 弹性分析弹性分析 定义定义3.6.1 设函数设函数()( )( )yf xxf xyf xxxxx( )yf x称为称为f (x)在在 x 处的弹性相对变化率。处的弹性相对变化率。1. 函数弹性的概念函数弹性的概念 边沿函数是指函数的绝对改动量与绝对变化率，而函数边沿函数是指函数的绝对改动量与绝对变化率，而函数的弹性是指相对改动量与相对变化率。的弹性是指相对改动量与相对变化率。可导，称为称为f (x)在在 和

14、和 之间的弹性之间的弹性(平均相对变化率平均相对变化率)。xxx0limyyxxx( )Ef xEx0limyyxxxEyEx0limxy xxy.xyy记为2. 需求弹性需求弹性设需求函数为设需求函数为P为产品的价钱,( )P0limddQQPPP0limdPdQPPQ( ).( )fPPf P( ),dQf P当 很小时，有P故需求弹性 近似地表示当价钱为P时，价钱变动1%，需求量将近似地变动 %。所以需求弹性反映了需求量对价钱变动反映的灵敏度。普通地，由于需求函数为单减函数，故需求弹性为负值。该函数在P点可导，那么该产品在价钱为P时的需求弹性：.PPQQdd例例3.6.11 设某种商品的

15、需求量设某种商品的需求量Q与价钱与价钱P的关系为的关系为(1)求需求弹性 ；( )( )fPPf P(2)当商品的价钱为10元时，再提高1%，求商品需求量的变化情况。解解 (1)需求弹性为需求弹性为,)41(1600)(PPQ)(P)(PPPP)41(1600)41(1600(PPP)41(160041ln)41(1600P2ln2.39. 1P需求弹性为负，阐明价钱P提高1%时，需求量减少 %。(2)当价钱为10元时，)10(1039. 19 .13阐明当价钱为10元时，价钱提高1%时，需求量减少13.9 %.价钱降低1%时，需求量添加13.9 %.3. 供应弹性：与需求弹性的定义类似。供应

16、弹性：与需求弹性的定义类似。设供应函数为设供应函数为P为产品的价钱,( )P0limssQQPPP0limsPsQPPQ( ).( )PPP( ),sQP该函数在P点可为P时的供应弹性：所以供应弹性反映了供应量对价钱变动反映的灵敏度。普通地，由于供应函数为单增函数，故供应弹性为正值。导，那么该产品在价钱当 很小时，有P故供应弹性 近似地表示当价钱为P时，价钱变动1%，供应量将近似地变动 %。.PPQQss4. 总收益弹性总收益弹性由于由于该函数对P求导，得QPR),(PfPR)()(PfPPf)()(1)(PfPfPPf)1)(PfEPERPPRRP0limPRRPP0limRRPRPfP)1)(RR)1 (1总收益弹性例例3.6.12 设某种商品的需求函数为设某种商品的需求函数为(1)求当P=4时的边沿需求，并阐明其经济意义。( )( )fPPf P解解 (1)当当P=4时的边沿需求为时的边沿需求为,75)(2PPQ)(P)4(阐明当P=4时，价钱提高1%时，需求量减少0.54 %.42)4(PPQ; 8阐明当价钱P=4时，价钱提高1个单位，需求量减少8个(2)求当P=4时的需求弹性，并阐明其经济意义。2275)75(PP