等比数列常考题型归纳总结很全面

1、等比数列及其前n项和教学目标：1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前 n项和；性质。2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关 的简单问题。知识回顾：1 .定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。用递推公式表示为凡匚q(n 2)或曳 q。注意：等比数列的公比和首项都不为零。(证明数列是an 1an等比数列的关键)2 .通项公式：等比数列的通项为：an aiqn1。推广：a amqn m3 .中项：如果a, G, b成等比数列，那么G叫做a与

2、b的等比中项；其中G2 ab。4 .等比数列的前n项和公式na1(q 1)Sn a1(1 qn)- (q 1)1 q5.等比数列项的性质(1)在等比数列 an中，若m,n,p,q N且m n p q,则aman apaq ；特别的, 若 m, p , q N 且 2m p q ,则 am2 apaq。(2)除特殊情况外，Sn，S2n Sn£n S?n，也成等比数列。q' qn o(其中特殊情况是当q=-1且n为偶数时候此时Sn=0,但是当n为奇数是是成立的)。4、证明等比数列的方法a2(1)证： q (吊数)；(2)证：an an 1 an 1 ( n 2). an考点分析考

3、点一：等比数列基本量计算 例1、已知an为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2 83 2a1,且a4与2a7的等差中项为5,求S54°例2、成等差数列的三项正数的和等于 15,且这三个数加上2、5、13后成等比数列bn中 的 b3,b4,b5。(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列bn的前n和为Sn。练习：1、设an是有正数组成的等比数列,Sn为其前n项和。已知a2a4 1, S37 ,则S5A. B . 31 C.243342、在等比数列a中，若a4一a2= 6, 3、已知正项数列an为等比数列，且5项的和为()a5 - a1 二 15,贝U a3=.5a2是a4与3a3的等差中

4、项，若a?= 2,则该数列的前A.33 B . 31 C. 31124D .以上都不正确4、设an是首项为国,公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S, S, &成等比数 列，则a1的值为.5、(4)、已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9s3 S6,则数列1一的前5项和为( anB.31 二一或516C. 311615D.18考点二：等比数列性质应用例2、设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3 a42 , 3s2 83 2,则公比qA. 3 B. 4 C. 5 D. 6练习：1、在等比数列an中，820108a2007 ,则公比q的值为A. 2 B. 3 C.

5、 4 D. 832例3、等比数列an满足：ai a6 11, a3a4,且公比q 0,19(1)数列an的通项公式；(2)若该数列的前n项和Sn 21,求n的值。练习：1、已知正项等比数列 an满足a3a9 2a；, a2 2,则a1 -2、已知等比数列an满足a3a9 2a2 , a2 2,则a1 3、已知等比数列 an满足a1 2,a5 18 ,则a2a3a4 ?4、在等比数列an中，各项均为正值，且 a6a0+a3a5= 41, a4a8= 5,则a4+ a8=例4、等比数列an满足an 0, n N,且a3?a7 4,则当n 1时， log 2 a1 10g 2 a2 10g 2 a3

6、 . 10g 2 a9 .S10 31例5、等比数列an的首项a=1,刖n项和为右三=白，则公比q=.S5 32练习：1、已知正项等比数列 an满足aa2a3 5 , a7a8a9 10 ,则a4a5a6 o2、在等比数列an中，若 aa2a3a4=1, a13a14315a16= 8,贝U a41a42a43a44=.例6、设等比数列an的前n项和为若S ： &= 1 ： 2,则S9 ： S3=.练习：1、设等比数列an的前n项和为若S6 3,则&=.S3S6考点三：等比数列的证明例7、(2017成都市高三一诊)已知数列 an满足©2冏1 2an 4(1)证明数列a

7、n 4是等比数列。(2)求数列an的前n项和Sn。练习：1、已知数列an满足ai 为等比数列。3, an12ann 1 ,数列bn满足bnann。证明数列bn2、已知数列an满足an 1 an2 列。2an，数列bn满足bn lg(a01)。证明数列bn为等比数13、在数列an中a1, an 12a,n N*。求证：数列 亘 为等比数列2nn例 8、已知 f x(x 1)2, g x 4(x 1),数列 an 满足：a1 2, an 1 且an 1)g(an)f(an)(n N*)。证明：数列an 1是等比数列。2x 1练习 1、已知函数 f(x) ,数列 an 潴足 a1t(t 2,t R)

8、 , an 1f (an)(n N)x 2(1)若数列an是常数列，求t;(2)当&2时，记bn通项公式。a 1a(n N ),证明：数列bn是等比数列，并求出数列an的an 1例9、已知数歹Ian的前n项和为S,且an+Sn=n.(1)设Cn=an 1,求证：Cn是等比数歹I； 求数歹1an的通项公式.练习：1、设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1, Sn+i = 4an+2.(1)设bn=an+i2an,证明：数列bn是等比数列； 求数歹Ian的通项公式.2例10、已知数列an的首项a1an13匹，n N*证明：数列1是等比数列 an 1an小结与拓展：(1)定义法：亘q (n

9、 N , q是常数)an是等比数列;an2(2)中项法：an 1 anan 2 (n N )an是等差数列。考点四：等差、等比数列的综合应用例11、在等差数列an中，a10 30,a20 50求数列an的通项公式；令bn 2an 10,证明：数列bn为等比数列；练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成为等差数列，如 果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比 数列。例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股 东们分红500万元.该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业20

10、14年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.习题15.31、在等比数列an中，(1)a4 27,q3,求a7;(2) a5 a1 15,a4 a2 6,求a3；39(3)已知 a3 3，& 9,求a1与q。2220一一 一，、2、已知an为等比数列，a3 2,a2 a4 一，求an的通项式。33、已知等比数列an满足a3a11 4a7,数列bn是等差数列满足a? b7则b§ bg4、设等比数列an的公比q 2 ,前n项和为8 ,则& ()a2A. 2B. 417D. 一25、设0为等比数列an的前n项和，已知30 a4 2, 3s2 83 2,则公比qA. 3 B. 4 C. 5 D. 66、设Sn为等比数列an的前n项和，8a2 85 0则运S2A. -11 B, 8 C, 5 D. 117、设正项等比数列an的前n项和为Sn,已知a3 4 , a4a5a2 212(1)数列an的通项公式；(2)若该数列的前n项和Sn 210 1 ,求n的值。8、设Sn为数列an的前n项和，Sn kn. .n .一10、(选做题)已知数列 an , bn 湎足：a1，an1ann 4, bn( 1) (an3n 其中为实数，n为正正数。(1)对任意的实数 ，证明数列an不是等比数