直线与双曲线位置关系

1、直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1:直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线 y=kx+b ,双曲线 -7= 1 (a>0 , b>0)联立消去 y 得 Ax2+Bx+C=0 ( a w 0) A=B 2 ab2-4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若A>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若A=0 ,直线与双曲线相切，有一个交点；若A<0 ,直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n ,圆锥曲线：F(x,y)=0 ,它们的交点

2、为 P1 (xi,yi), P2(X2,y2),且由，消去 y- a*+bx+c=0(aw0) ,A=b 2 4ac。弦长公式：|叩2尸j1+k2|x x2 =，1十卜1y2 (k为直线斜率)例题选讲：例1 :直线l ： y=kx+1与双曲线C： 2x2y2=1的右支交于不同的两点A、B.求实数k的取值范围；解 (1)将直线l的方程y=kx+1 代入双曲线 C的方程 2x2-y2=1后，整理得 (k2-2)x2+2kx+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，k2 2w 0,A=(2k)2 8(k22)>0 ,2k-一>0 , k2- 22>0. k22解得k的取

3、值范围是一2< k< _也.21 一例2：已知中心在原点，顶点 A，A在x轴上，离心率为 的双曲线经过点 P(6,6)3(I)求双曲线的方程；(n )动直线l经过AAPA2的重心G ,与双曲线交于不同的两点 M , N ,问是否存在直线l 使G平分线段MN 。试证明你的结论。解设所求的双曲线方程为J =曰且双曲缪跑点收6.6), .,.双曲线方程为二Y = la bV 39 12(由条件P.44的坐标分别为(6而卜(-3.0)、(3、0), :.G点坐标为(1.112年-财 =108，(1)1况-9只(2)假设存在直线上使0Q，)平分线段设初;W的坐标分别为(多小小乂小J(1)-(

4、2) I2(x?-xj) = 9吐；一淄(巧+工J(七一巧心95十力)仪乃)十通 、?1+/3, an,.八一为 4.又，='2卢 =2.即玉4.=4.力+甩二.2 =彳=/亚=左22X -Xj 3-犷=10£二£的方程为尸一2三一2) 由! 4 整理得工"-4氏+ 2* =。<!).所求直线不存在。3y12=声”)x2例3：已知椭圆Ci的方程为一+ y2=1 ,双曲线C2的左、右焦点分别是 Ci的左、右顶点, 4而C2的左、右顶点分别是 Ci的左、右焦点.（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线l： y=kx + 12与双曲线C2恒有两个不同的交点

5、A和B,且OAOB>2 （其中 O为原点），求k的取值范围.解（1）设双曲线C2的方程为x2 y2一 一=1a2 b2 'a2+b2 = c2,得 b2= 1,则 a2 = 4 -1 =3 , c2 =4,由x2故C2的方程为一一 y2= 1.3(2)将 y = kx+42 代入-y2 = 1 ,得(1 3k2)x26*y2kx 9=0. 31 3k2w 0.A=( -62k)由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得12+36(1 -3k2)*2大且 k2<1.= 36(1 - k2)>0.设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 xi + X2 =6一 2kk

6、X2 +1 3k2'2)一 9xix2=；.1 - 3 k2=(k2+1)xix2+- 2k(xi +3k2+7x2) + 2 = "T.3 k2 1又OB>2 ,得 xix2 + yiy2>2 ,3k2+7二一>2 ,即 3k2- 1-3k2 +93 k2- 1>0 ,解得-< k2<3 ,3(1)求双曲线方程;1由得一< k2<1.故k的取值范围为 3例4:已知双曲线的中心在原点，焦点Fi, F2在坐标轴上，离心率为J5,且过点（4,-V?0 ）.若点M（3,m旅双曲线上，求证： MF1 MF2 = 0;对于（2）中的点M

7、,求AFiMFz的面积.解：(1)由题意，可设双曲线方程为x2y2=，u,又双曲线过点(4,JT0),解得九=6.双曲线方程为x2 y2=6；(2)由(1)可知，a = b =强,c=23 ,F1 (-273,0 ), F2(2a73,0 ). MF1 =(-2 百-3,-m ), MF2 =(2./3-3,-m),MF1MF2 = m2-3,一 _2_又点M (3,m椎双曲线上，9-m =6,2 cRn-* 7-+ c. . m =3,即 MF1MF2=0;11(3) SLF1MF2 =- F1F2 m =- 4J3 V3 =62112.F1MF2的面积为6.知识点2 :抛物线及其标准方程1

8、 .抛物线定义平面内与一个定点 F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线.2 .抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2 = 2px(p>0)y2=2Px(p >0)图形RI*F?范围x>0,y Rx< 0 ,y R对称轴x轴一顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标p2,02pC 2,0 J准线方程px= 2px = 2离心率e= 1题型1:抛物线的定义灵活应用例1 : (1)(2011 辽宁高考知F是抛物线丫2=*的焦点，A, B是该抛物线上的两点,|AF| + |BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(

9、)B. 17DI43A45Cl4(2)(2012曲阜师大附中质检抛物线C: y=2x2上有一点P,若它到点 A(1,3)的距离与它到抛物线 C的焦点的距离之和最小，则点 P的坐标是()A. (-2,1)B.(1,2)C. (2,1)D.(-1,2)自主解答(1)如图,由抛物线的定义知，|AM |+|BN|=|AF|+ |BF| =3 , |CD| = 一,所以中点C的横坐标为一一一=一.22 4 4(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P,使得该点到点 A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x=1与抛物线的交点，故所求 P点的坐标是(1,2).答案(1

10、)C (2)B练习1:(2012 安徽高赵抛物线y2 = 4x的焦点F的直线交该抛物线于 A,B两点.若 |AF| = 3,则 |BF| =.3C=-1解析：由题意知，抛物线的焦点 F的坐标为(1,0),又|AF| = 3, 由抛物线定义知，点 A到准线x=- 1的距离为3, 点A的横坐标 为2.将x = 2代入y2 = 4x 得y2=8,由图知，y=2业, A(2,242)，直线 AF 的方程为 y = 2#(x1).y=2yj2x-1 ,y2= 4x,x, 解得 2Ly=-#x=2,或ly=2/2.由图知，点B的坐标为题型2 :抛物线的标准方程及几何性质例2 : (1)(2012山东高考知

11、双曲线x2C1:a2彳=1(a>0 , b>0)的离心率为2.若抛物 b2线C2： x2 = 2py (p>0)的焦点到双曲线 Ci的渐近线的距离为 2 ,则抛物线C2的方程为()16一 ；3B. x2 = -yyC. x2 = 8yD. x2 = 16y(2)(2012四川高考知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2 , yo).若点M到该抛物线焦点的距离为3 ,则|OM | =()A. 2电C. 4x2自主解答:双曲线C1：?f ， 、2=1(a>0, b>0)的离心率为b2c Va2+ b22,a2, .b = -/3a,.双曲线的渐近

12、线方程为 x士y=°，.抛物线C2： x2 = 2py(p>0)的焦点0, 2副双曲线的渐近线的距离为=2,，p = 8.，所求的抛物线方程为x2= 16y.(2)依题意，设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有2+ = 3,得p = 2,故抛物线方程 是 y2 = 4x,点 M 的坐标是(2, ±22) , |OM | =722 + 8 = 2，3.答案(1)D(2)B练习2:若抛物线的顶点在原点，开口向上， F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物 线上一点，且|AM | = *17,| AF |=3,求此抛物线的方程解析设点A'是点A在准线上的

13、射影，则| AA'|= 3 ,由勾股定理知| MA'|= 2v'2，点A的 横坐标为(2J2,32，代入方程x2= 2 py得p = 2或4 ,抛物线的方程*2=4丫或*2=8丫 题型3 :直线与抛物线的位置关系1 .设抛物线方程为 y2=2px(p>0),直线Ax + By+C = 0,将直线方程与抛物线方程 联立，消去x得到关于y的方程my2+ny + q = 0.(1)若mw 0,当a> 0时，直线与抛物线有两个公共点；当A=0时，直线与抛物线只有一个公共点；当AV0时，直线与抛物线没有公共点.(2)若m = 0,直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与

14、抛物线的对称轴平行.2 .与焦点弦有关的常用结论.(以右图为依据)小-2pl(1)y1y2= p2, xiX2 =4(2)|AB|=x1 + x2+p = -2p-(。为 AB 的倾斜角).sin 0Sob=£(0为AB的倾斜角).2sin 0(4)二二十二为定值 二|AF| |BF|p(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. ZCFD= 90例3:(2012 福建高加口图，等边三角形 OAB的边长为84，且其三个顶点均在抛物线E： x2= 2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=- 1相交于

15、点Q.证明以PQ为直径的圆恒过 y轴上某定点.自主解答(1)依题意，|OB|=8a/3, ZBOy= 30 .设 B(x, y),则 x=|OB|sin 304#, y=|OB|cos 3012.因为点 B(4/a, 12)在 x2 = 2py 上，所以(4，3)2=2pX 12,解得 p=2.故抛物线E的方程为x2 = 4y.(2)证明：由(1)知 y = ：x2, y' x.1设 P(x0, y°),则 x°w 0,y° = x0,且 l 的方程为 41y y0= "x0(x x0),即 y = x0xx2.2411y = -xox- -x0

16、,由 24、y= 1,x2 4x=,得2x0y=- 1.所以Q为F -1设 M(0, y1),令 MP MQ = 0 对满足 y0 = -x2(x0 0)白攵0, y0恒成立.4由于mP = (X0,yo-yi),l'X2 4MQ =2x0 '1 yiX2X0-4MQ =0,得-yo-yoyi + yi + y2 = 0 ,2即(y2+yi 2) + (1 - yi)y0= 0.(*)1由于(*)式对满足y0=-x0(X0W 0)的0恒成立,4i -yi = 0,所以解得yi = i.yi + yi 2 = 0,故以PQ为直径的圆恒过 y轴上的定点 M (0,i).练习3: (

17、20i2 泉州模拟图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C: y2=4x的焦点F.(i)若点O到直线l的距离为；求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点 B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断 AB与抛物线C的位置关系，并给出证明.解：(i)抛物线的焦点F(i,0),当直线l的斜率不存在时，即x=i不符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为：y=k(xi),即 kx- y- k= 0.故直线l的方程为：y=±3(x-i),即x±13yi = 0.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设 A(x0, y0),则 y0 = 4

18、x0.因为 |BF|=|AF| = x0+i ,所以 B(-x0,0).V。所以直线AB的方程为：y=c (x + x0), 2x02x0y整理得：x= X0y。把方程代入 y2 = 4x 得：yoy2 8xoy+4xoyo=0 ,A= 64x0 16xoy2= 64x2 64 x2= 0,所以直线AB与抛物线相切.基础练习:1. （2012 济南模）触物线的焦点为椭圆x2 y2一十一=1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛49物线方程为（）A. x2 = 4-J5yB.y2 = - 45xy2= - 4?3 xC. x2 = 413y解析：选A 由椭圆方程知，a2 = 9, b2 = 4,焦点在y

19、轴上，下焦点坐标为（0, - c）,b2=n.抛物线焦点坐标为（0, /）,抛物线方程为x2=445y.2. （2012东北三校联考若抛物线y2 = 2px（p>0）上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6 ,则p的值为（）A. 2C. 2 或 18B. 18D. 4 或 16解析：选C设P(x0, y0),则d|y0l = 6，、y0= 2 px0,:36 =2p 10» ,即 p220p + 36 = 0,解得 p = 2 或 18.< 2J3.（2013 大同模我巳知抛物线y2=2px（p>0）的准线与曲线x2 + y2 6x7 = 0相切,则p的值

20、为（A. 2B. 11C51D.- 4解析：选pA 注意到抛物线y2 = 2px的准线方程是x=金，曲线x2 + y2-6x- 7=0,即（x3）2+y2=16是圆心为（3,0）,半径为4的圆.于是依题意有p此有£ + 3 = 4,解得p= 2.4. (2012郑州模）因知过抛物线y2 = 6x焦点的弦长为12 ,p2 + 3 =4.又 p>0,因则此弦所在直线的倾斜角是（）兀A1或6兀B.一或4兀C二或3兀D.一2解析：选由焦点弦长公式|AB|=T- 得 一6=12,sin2 0 sin 2 0所以sin2J2兀3兀0=,所以。=一或一2445. （2012 唐山模）触物线y

21、2 = 2px的焦点为F,点A、B、C在此抛物线上，点 A坐标为（1,2）.若点F恰为4ABC的重心，则直线 BC的方程为（B. x- y= 0A. x+y=0C. 2x + y-1 =0D. 2x-y-1 =0解析：选C二,点A在抛物线上，4 = 2p, p = 2,抛物线方程为y2 = 4x,焦点F（1,0）设点 B(xi , y1)，点 C(x2, y2),则有 y2= 4xi ,y2 = 4x2,由一得(y 一y2)(y1 + y2)= 4(xi x2)yi y24得 kBC=.xi X2 yi + y2yi + y2 + 2又= 0, ，yi+y2 = -2, ，kBC= 12. 3Xi + X2 + i又=i, ，xi + X2 = 2,3. BC 中点为(i , i),则BC所在直线方程为 y + i= 2(xi),即2x + yi=0.6. (20i3 湖北模)因知直线y=k(xm)与抛物线y2= 2px(p >0)交于A、B两点，且OA ± OB , ODAB于D.若动点D的坐标满足方程 x2 + y2-4x=0,则m =()A. iB. 2C. 3D . 4km则 b = -1,i + k2b i i =