高等代数课件

1、高等代数课件高等代数课件陇南师范高等专科学校数学系陇南师范高等专科学校数学系20082008年制作年制作第四章第四章 多多项项式与矩阵式与矩阵4.1 带余除法带余除法 多项式的整除性多项式的整除性4.2 最大公因式最大公因式 4.3 多项式的因式分解多项式的因式分解4.6多项式的根多项式的根4.1 带余除法带余除法 多项式的整除性多项式的整除性 定义定义1 设设F是一个数域是一个数域. 所谓所谓F上关于文字上关于文字x的多项式的多项式(也叫一元多也叫一元多项式项式)是指形式表达式是指形式表达式 a0a1xa2x2a n 1 xn 1anxn, (1)这里这里n是非负整数是非负整数,并且并且a0

2、,a1, a2, ,an都是都是F中的数中的数.我们规定我们规定x0 =1，那么多项式，那么多项式(1)可以表示为可以表示为 iniixa0其中其中aixi称为多项式称为多项式(1)的的i次项次项, ai称为多项式称为多项式(1)的的i次项的系数次项的系数. 零次零次项项 a0通常也称为通常也称为(1)的常数项的常数项. 定义定义2 在多项式在多项式(1)中，把项按次数从低到高的顺序排列中，把项按次数从低到高的顺序排列, 如果如果an0, 那么我们称那么我们称anxn为多项式为多项式(1)的最高次项，的最高次项， n称为多项式称为多项式(1)的次的次数数. 多项式用f (x), g(x), 来

3、表示. 数域F上关于文字x的全体多项式所作成的集合记为Fx. 定义定义3 设f (x)与g(x)是Fx中的多项式如果f(x) 与g(x)的同次项的系数相等，那么就称f (x)与g(x)是相等的，记为 f (x) = g(x). Fx中非零多项式f (x)的次数记为deg f (x). 各项系数都为0的多项式称为零多项式，将其记为0从定义可以看出，零多项式是Fx中唯一没有次数的多项式一元多项式的运算一元多项式的运算设设 f (x) = a0a1xa2x2a n 1 xn 1 anxn, g(x) = b0b1xb2x2b m 1 x m 1 bmxm 都是都是Fx中多项式中多项式.不妨设不妨设m

4、n. 多项式多项式f (x)与与g(x)的和的和f (x)+g(x)是是指多项式指多项式 (a0b0)(a1b1)x(a n 1b n 1) xn 1( an+ bn)xn, (2)这里当这里当mn时，时， bm+1=bn= 0. 多项式多项式f (x)与与g(x)的积的积f (x)g(x)是指多项式是指多项式 c0c1xc2x2ckxkcn+mxn+m,对多项式对多项式g(x) = b0b1xb2x2b m 1x m 1bmxm, 所谓所谓g(x)的负多项式的负多项式g(x) 是指多项式是指多项式 b0b1xb2x2b m 1 x m 1bmxm. 多项式多项式f (x)与与g(x)的差的差

5、f (x)g(x)是指多项式是指多项式f (x)(g(x).其中其中 ck=jkjiibak=1,2,3, ,n+m.对对Fx中任意多项式中任意多项式f (x)，g(x)，h(x),我们都有我们都有 1) f (x)g(x)=g(x)f (x); 2) (f (x)g(x)h(x)=f (x)(g(x)h(x); 3) f (x)g(x) = g(x) f (x); 4) (f (x)g(x) h(x)=f (x)(g(x) h(x); 5) f (x)(g(x)h(x)=f (x)g(x)f (x) h(x).关于多项式的和与积的次数关于多项式的和与积的次数,我们有我们有 引理引理4.1.1

6、 设设f (x)，g(x)是是Fx中非零多项式则中非零多项式则 (i) 当当f (x)g(x)0时时, deg( f (x)g(x)maxdeg f (x),deg g(x). (ii) deg( f (x)g(x) = deg f (x)deg g(x). 推论推论4.1.2 设设f (x), g(x) , h(x) Fx. (i) 如果如果f (x) g(x)=0，那么，那么f (x) =0，或者，或者 g(x)=0; (ii) 如果如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且，且f (x)0，那么，那么g(x) =h(x). 我们把我们把q(x)和和r(x)分别称为用分别称为用

7、g(x)去除去除f(x)所得的商和余式。所得的商和余式。定理定理 带余除法定理带余除法定理 设设( ), ( ) ,( )0f xg xF xf x，则存在唯一的 ( ), ( ) q x r xF x( )( ) ( )( ),g xq x f xr x，使使( )0r x deg ( )deg( )r xf x其中其中或( ) ,f xF xaF设那么存在唯一的q(x)Fx,rF,( )() ( )f xxa q xr使得推论推论4.14 定理4.1.6 在F x中 (i) 如果g(x)f (x),那么对F中任意非零常数c,总有 c g(x)f (x) , 并且 g(x)cf (x). (

8、ii) 如果h(x)g(x) , 并且g(x)f (x), 那么h(x)f (x). (iii) 如果g(x)f (x), g(x)h (x),那么g(x)(f (x) h (x). (iv) 如果g(x)f (x), 那么对Fx中的任意多项式h (x),总有 g(x)f (x) h (x).定义定义4 设设f (x), g(x)Fx如果存在如果存在u(x)Fx，使得，使得 f (x)=u(x) g(x),那么就称那么就称g(x)整除整除f (x)，或者说，或者说f (x)能够被能够被g(x)所整除，记作所整除，记作 g(x)f (x)同时同时g(x)叫做叫做f (x)的因式，的因式，f (x

9、)叫做叫做g(x)的倍式的倍式.推论推论4.1.5 设设f (x), g(x)Fx，且，且g(x) 0那么那么g(x)整除整除f (x)的充分的充分必要条件是用必要条件是用g(x)去除去除f (x)所得的余式为所得的余式为0. 零多项式只能整除零多项式零多项式只能整除零多项式.4.2 最大公因式 1 1）d d( (x x) )是是f f( (x x) )和和g g( (x x) )的因式的因式 ，即，即d d( (x x) ) f f( (x x) )， d d( (x x) ) g g( (x x) ) 2) 2) f f( (x x) )与与g g( (x x) )的因式都是的因式都是

10、d d( (x x) )的因式，即一旦的因式，即一旦h h( (x x) ) f f( (x x) ), , h h( (x x) ) g g( (x x) ) , ,就有就有h h( (x x) ) d d( (x x).).( )x( )f x( )g x1 1、公因式：如果多项式公因式：如果多项式即是即是的因式，又是的因式，又是的因式，的因式，( )x( )f x( )g x则称则称为为 和和的公因式。的公因式。 ( )f x( )g x2 2、最大公因式：设、最大公因式：设、是是PxPx 中的多项式，中的多项式， 如果在如果在PPx x 中中( )d x，满足条件：，满足条件：存在的多

11、项式存在的多项式( )d x( )f x( )g x我们就称我们就称为为与与的最大公因式。的最大公因式。最大公因式的性质：最大公因式的性质： 1）如果）如果f(x)与与g(x)都等于都等于0，那么，那么0就是就是f(x)和和g(x)的一个最大公因的一个最大公因式；式； 2）如果）如果g(x) f(x)，那么，那么g(x)就是就是f(x)与与g(x)的一个最大公因式；的一个最大公因式；一、最大公因式的概念一、最大公因式的概念 3）对任一多项式来说，）对任一多项式来说，f(x)总是零多项式与总是零多项式与f(x)的最大公因式；的最大公因式； 4）如果）如果c是是F中的非零常数，中的非零常数，f(x

12、)是是Fx中任一多项式，那么中任一多项式，那么F中中任一非零常数任一非零常数a都是都是c与与f(x)的最大公因式。的最大公因式。 定理定理4.2.1 如果如果Fx中的多项式中的多项式f(x)与与g(x)有一个最大公因式有一个最大公因式d(x)，那么那么cd(x) cF，c0就是就是f(x)与与g(x)的全部最大公因式的全部最大公因式. 定理定理4.2.2 设设f(x)，g(x) Fx， 1）f(x)与与g(x)的最大公因式总是存在的；的最大公因式总是存在的； 2）若）若d(x)是是f(x)与与g(x)的一个最大公因式，则存在的一个最大公因式，则存在Fx中的多项中的多项式式u(x)，v(x)使得

13、使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x). 定理定理4.2.3 设设f(x),g(x),q(x),r(x) Fx.如果如果 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，那么，那么， 1）h(x)是是f(x)与与g(x)的公因式当且仅当的公因式当且仅当h(x)是是g(x)与与r(x)的公因的公因式式. 2）d(x)是是f(x)与与g(x)的最大公因式当且仅当的最大公因式当且仅当d(x)是是g(x)与与r(x)的的最大公因式最大公因式. 三、最大公因式的求法：辗转相除法三、最大公因式的求法：辗转相除法 设设f(x)与与g(x)是是Fx的两个多项式，如果的两个多项式，如果 f(x)与与g(x)中

14、有一个是零中有一个是零多项式多项式 ，那么另一个就是他们的最大公因式；，那么另一个就是他们的最大公因式； 现在我们总假设现在我们总假设f(x)与与g(x) 都不是零多项式，且都不是零多项式，且degg(x) degf(x).做带余除法，用做带余除法，用f(x)去除去除g(x)，得到商，得到商q1(x)，余式为，余式为r1(x) ；如果；如果r1(x)0，那么再用，那么再用r1(x)去除去除g(x)，得到商，得到商q2(x)，余式为，余式为r2(x) ；如果；如果r2(x)0，那么再用，那么再用r2(x)去除去除r1(x)，得到商，得到商q3(x)，余式为，余式为r3(x) ；如此辗；如此辗转转

15、 相除下去，显然所得余式的次数不断降低，因此，在有限次之后，相除下去，显然所得余式的次数不断降低，因此，在有限次之后，必然有一个余式为零必然有一个余式为零.于是得到一串带余除法算式：于是得到一串带余除法算式： f(x)=q1(x)g(x)+r1(x), g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x), r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x), () rs-2(x)=qs(x)rs-1(x)+rs(x), rs-1(x)=qs+1(x)rs(x)+0.于是，由定理于是，由定理4.2.3知，知， rs(x)就是就是f(x)与与g(x) 的最大公因式的最大公因式. 进一步，我们还能利用进一步，我们

16、还能利用()求出求出u(x),v(x)，使得，使得 rs(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)4.3 多项式的因式分解多项式的因式分解 一、不可约多项式的概念一、不可约多项式的概念 定义：设定义：设p(x)是是Fx中次数大于零的多项式，如果中次数大于零的多项式，如果p(x)不能表示不能表示成数域成数域Fx中两个次数都大于零的多项式的乘积，就称中两个次数都大于零的多项式的乘积，就称p(x)是数域是数域F上的不可约多项式。如果上的不可约多项式。如果p(x)能表示成数域能表示成数域Fx中两个次数都大于中两个次数都大于零的多项式的乘积，就称零的多项式的乘积，就称p(x)是数域是数域F上的可约多项式

17、。上的可约多项式。 注：（注：（1）F上的一次多项式就是数域上的一次多项式就是数域F上的不可约多项式。上的不可约多项式。 （2）多项式是否可约依赖于系数域。）多项式是否可约依赖于系数域。 （3）p(x)不可约不可约当且仅当当且仅当p(x)的因式只有非零常数的因式只有非零常数c和和c与与它它自身的非零常数倍自身的非零常数倍cp(x).二、不可约多项式的性质二、不可约多项式的性质 定理定理4.3.1 设设p(x) Fx, p(x)的次数大于零，则的次数大于零，则p(x)是是F上的不可上的不可约多项式当且仅当约多项式当且仅当p(x)不能表示成不能表示成Fx中两个次数都小于中两个次数都小于degp(x

18、)的的多项式的乘积多项式的乘积. 定理定理4.3.2 设设p(x) Fx，且，且p(x) 是是F上不可约多项式，那么对任上不可约多项式，那么对任意的意的f(x) Fx，要么，要么(p(x)，f(x)=1,要么要么p(x) f(x). 定理定理4.3.3 设设p(x),f(x),g(x) F x,且且p(x)是是F上的不可约多项式，上的不可约多项式，如果如果p(x) f(x)g(x)，那么，那么p(x) f(x),或者或者p(x) g(x).三、因式分解及唯一性定理三、因式分解及唯一性定理 定理定理4.3.5 设设f(x) Fx ，且，且f(x)的次数大于零的次数大于零. (1) f(x)可分解为若干个可分解为若干个F上的不可约多项式的乘积；上的不可约多项式的乘积； (2) 如果如果 f(x)=p1(x)p2(x)pr(x) ， 且且 f(x)=q1(x)q2(x)qs(x) ,这里这里pi(x)和和qj(x) (i=1,2, ,r; j=1,2, ,s)都是都是F上的不可约多项式，上的不可约多项式，那么那么r=s，且适当地给，且适当地给q1(x),q2(x),qr(x)重新编号，可使重新编号，可使 pi(x)=ci