球棒系统的建模及反馈控制

1、球棒系统的建模及反馈控制题目：球棒系统的建模及反馈控制姓 名：学 院：工学院班 级：学 号：指导教师：李玉民 林相泽20年 6月7日南京农业大学教务处制自动控制原理n实习报告由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如图一所示。连杆在驱动力矩工作用下绕轴心点O做旋转运动。连杆的转角和刚性球在连杆上的位置分别用日，r表示，设刚性球的半径为 Ro当小球转动时，球的移动和棒的运动构成复合运动。刚性球与机械臂的动态方程由下式描述选取刚性球的位移r和其速度r| ,以及机械的转角8及其角速度作为状态变量，令 x = x1,x2,x3,x4 T =",r,e,dT,可得系统的状态空间表达式设球棒系统各参数如

2、下：m=0.05kg, R=0.01m, J=0.02kgm2, Jb =2父10*kgm2, G = 9.81m/s2。一、将系统在平衡点x = 0处线性化，求解线性系统模型。首先求系统的平衡点，令G(x) =0 ,2=014 mR2 x4=0/2(x1x4 -G Sin x3)=02mxix2M -mGxiCOS&2：m%J J2 =0m% J Jbx1=mG，解得x2=0x3 = 0x4 =0x = 0x? = 0若要维持系统稳定，平衡状态时 =0,既得x3 =0x4 =0用李雅普诺夫第一方法将系统在平衡点处线性化处理如下:经过线性化处理，系统模型为: 利用matlab可求得:e

3、ig(A) =-7.657 7.657i-7.657i 7.657,可知该系统是不稳定的。二、利用状态反馈将线性系统极点配置于 -1±2j , -1±2j ,求解状态反馈增益，并 画出小球初试状态为r=0.3,横杆角度为日=30。和初始状态r = -0.3,横杆角度为 3 3 -30时的仿真图像t -xo先判断系统是否完全能控UcB AB A2B A3B =-0007007.1500-7007.1500500050000可知该系统是完全能控的，可进行状态反馈。极点配置于-1 ±2 j, -2 ± j的闭环特征多项式为:状态反馈设置令u =v-kx ,则状

4、态反馈后系统的状态空间表达式为: 利用Matlab 编程，最后求得系统状态反馈控制矩阵为: 即所求的状态反馈增益。则状态反馈后系统的状态空间表达式为：状态反馈后的模拟结构图为:V201234567图3小球初试状态为r = 0.3 ,9 = 30时系统的仿真图像t - x图4初始状态为r 0.3 8 =30,时simulink仿真图n编写M程序画出小球初试状态为r:一0.3,10 =-30'时系统的仿真图像t-x,程序中只需将程序一中的x0=0.3 0 pi/6 0改为 xO-0.3 0 -pi/6 0即可，见图 525Simulink仿真的图像女6所示:15图6初始)10三、设计具有，

5、但为'r 0.330时simulink仿真图适极义的状态观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测器增益，并画出力、-6杆角度为日= 30；3T横杆角度为30g初始状态r = -0.3,横时的仿真图像x,以及观测器输出与系统状态差值图像(t - e)由分离性原理-20别设计状态反馈增益与观测器增益，下面先设计状态反馈增益，4后设计观测器增益23456静75曲楸妙懒椀涧落后0条同闻谑0帆系统的仿真图像LxPart 1 .状态反馈增益的设计由上从求得的仿真图可知，系统的调节时间和超调量都比较大，运行 matlab时，系统还提示：Warning: Pole locations are mo

6、re than 10% in error.t - 1s 一因此很有必要通过限制超调量和调整时间重新配置极点。设定系统的超调量为仃5%,调整时间为ts 。得=0.69-1-2.e 1- <5%到不等式 /,解不等式，取 八 A7QG4 : 1sn = 5.796(- -n所以6,2 =-亡。n + jag * =用±4.2 j ,将其作为主导极点，另外两个极点可选为任意实部大于此处选择-40 ±4.2 j 。在matlab中通过acker函数【附录2】直接求得k和A-BK :求得状态反馈增益为 k - -8.0871 -2.1906 45.1200 1.7600,反馈后

7、的系统矩阵为:Part 2设计观测器增益首先判断系统能观性:Rank(Uo) =4 = n 系统完全能观，可设计状态观测器。状态观测器为取得较为合适的特征值，根据Re ' A - EC = (3 5)Re肛A - BK的原则选择观测器的极点“2=_15±4.2j, s3,4 =65±4.2j。直接求得 E和A-EC :求得E =一75.710.4 1一-75.70-10.4-24.51836.5-75.5435.5 ,A-EC =075.5012.684.3-12.6-140.1-84.30出57.51298.7/57.50-1297.70 _附录四画出小球初试状态

8、为r =0.3,9 =30时系统place函数【附录3】O程序【的仿真图像tx,见图由分离性原理知 e =(A EC)e 在matlab中通过图8.初试状态为r = 0.3 ,6=30时系统的仿真图像 t xSimulink搭建e = (A-EC)e系统图如图99simulink 搭建系统的观测器输出与系统状态差值t-e初试状态为r =0.3,日=30时系统观测器输出与系统状态差值t-e见图10。图10初试状态为r =0.3 5 =30时系统的观测器输出与系统状态差值图像t - ep把上面程序中的x0=0.3 0 pi/6 0改为x0=-0.3 0 -pi/6 0即为小球初试状态为r = -0

9、.3,9 = 一30时系统的仿真图像t -x ,见图11。图11小球初试状态为r = -0.3,6 = -30C时系统的仿真图像观测器输出与系统状态差值图像t -e,见图11图11球初试状态为r = -0.3,9 = -30c时分析与总结：系统的观测器输出与系统状态差值图像t - e该系统搭建出来是一个非线性系统，需要用李雅普诺夫第一方法将系统在平衡点处线性化为四阶线性系统；用能控性判据判断出该系统是完全能控的，可进行状态反馈，第二问中给出了两对目标极点，可利用matlab求得状态反馈增益 K,我们得到了反馈后的系统。然后利用 simulink仿真，题目中给出了球棒的两种初始状态， 我们通过仿

10、真图可以发现系统性能很不理想，超调量过大，调整时间过长，实际上是由于极点选择不当造成的， 这样才有了第三问中全维观测器的设计。对原系统进行能观性判断，可知系统完全能观测，可进行观测器设计。由分离性原理，可分开设计状态反馈增益与观测器增益，两者互不干扰，我们自己设定了超调量（5%）和调整时间（1s）,然后求出一对极点，我们运用主导极点的思想，设计了另外一对极点，这样状态反馈增益k就得到了；然后为状态观测器选取特征值， 进而用matlab求得观测器增益 E,我们用m程序画出t-x仿真图，用simulink 画出t-e仿真图，发现系统性能得到了很大提高，符合设计要求。M程序附录：程序一：>&g

11、t; A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0;>> B=0;0;0;50;>> C=1 0 0 0;0 0 1 0;» D=0;» P=-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j;» K=acker(A,B,P)» A1 =A-B*K» u=0;» G=ss(A1,B,C,D);» x0=0.3 0 pi/6 0;» y,t,x=initial(G,xO);» plot(t,x)程序二：»A=0 1 0 0;0 0 -

12、140.143 0;0 0 0 1 ;-24.523 0 0 0;»B=0;0;0;50;»C=1 0 0 0;0 0 1 0;»D=0;»p=-4-4.2*j,-4+4.2*j,-40-4.2*j,-40-4.2*j;»K=acker(A,B,P)»A-B*K程序三：»A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;000 1 ;-24.52 0 0 0;»B=0;0;0;50;»C=1 0 0 0;0 0 1 0;»D=0;»P=-15+4.2*j -15-4.2*j -65+4.

13、2*j -65-4.2*j;»C=C;»A=A'»E=place(A,C,P);»E'»A=A-(E')*(C)程序四» A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;000 1 ;-24.52 0 0 0;» B=0;0;0;50;» C=1 0 0 0;001 0;» D=0;» P=-15+4.2*j -15-4.2*j -65+4.2*j -65-4.2*j;» C=C;» A=A'» G=place(A,C,P);»A=A'-(G')*(C