瑕积分的性质与收敛判别

1、3瑕积分的性质与收敛判别教学目的：掌握瑕点，瑕积分的概念，会运用瑕积分的收敛判别法。重点难点：重点与难点为瑕积分的收敛判别方法及其与无穷积分收敛判别法的区别。教学方法：讲练结合。教学内容：例1圆柱形桶的内壁高为h,内半径为R,桶底有一半径为r的小孔.试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间 ？从物理学知道，在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高度为（h-x）时，水从孔中流出的流速（单位时间内流过单位截面积的流量）为v = J2g（h - x）,其中g为重力加速度.设在很小一段时间dc内，桶中液面降低的微小量为dx,它们之间应满足nR2dx = vnr2dt ,由此则有dt 二R2r2

2、 ,2g(h-x)dx, x 0, h.所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”h R2tf = 0-2一r 2g(h-x)但是在这里因为被积函数是0,h）上的无界函数，所以它的确切含义应该是2-Rdx r , 2g(h-x)_ u)、瑕积分的定义定义2 f定义在区间（a,b上，在点a的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间u,bu（a,b）上有界且可积.如果存在极限lim,f f （x）dx = J ,则称此极限为无界函数f在（a, b上的 ua u反常积分，记作J = : f(x)dx, a并称反常积分ff(x)dx收敛.如果极限lim+jf (x)dx = J不存在，这时也说反常 积分

3、j f (x)dx发散.在定义2中，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而b无界函数反常积分f f(x)dx又称为瑕积分.类似地，可定义瑕点为b时的瑕积分： abua f (x)dx = lim_a f(x)dx.其中f在a,b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但在任何a,u ua,b)上可积.若f的瑕点cw (a,b),则定义瑕积分bcba f(x)dx = a f (x)dx auf (x)dx = limu )c - abf (x)dx lim f (x)dx.v )c - v其中f在a,c) = (c,b上有定义，在点 c的任一邻域内无界，但在任何 a,uua,c)和

4、v,buc,b)上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a、b两点都是f的瑕点，而f在任何u,vu(a,b)上可积，这时定义 瑕积分bcbcvf (x)dx = f(x)dx，I f (x)dx = lim f (x)dx lim f (x)dx, aacua uv b-c其中。为(a,b)内任一实数.当且仅当(7)式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕 积分才是收敛的.例1瑕积分01s的值 . 1 - x1解： 被积函数f(x)= J在0,1)上连续，从而在任何0,u二0,1)上可1 -x21dxu dx二积，x=1 为其瑕点. 依je义 2 求得,=lim j =

5、 lim arcsinu =-.,0J_x2uL.I-X2-21例2讨论瑕积分(卓(q a 0)的收敛性.x解： 被积函数在(0,1)上连续，x = 0为其瑕点.由于1 dx ux44nu,q T(0 二 u ； 1),故当0Vq1时，瑕积分(8)收敛，且f萼=lim (萼=;而当q1时，琅积 0 xq u 0 u xq 1 -q分(8)发散于十比.注：当0Vq1时，瑕a (x -a)q 1 -q一 ”，b积分发目攵于十a .a (x -a)q例3讨论瑕积分f 旦的收敛性.1 xln x解：x=1是瑕点，有2 dx1 xln xdx叫 1Klm1n1n(x)则发散.一 一 8 dx 例4讨论瑕

6、积分般的收敛性 3xx = 0是瑕点，有8 dx3x0 dx-3.x0 dx3 x8 dx0 3 x0 dx3 23小:叫标3-1328 dx 8 dx 3-0 3;叫3：1喝(4- KG则收敛二、瑕积分的性质类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数bb极限lim+J f(x)dx = J f (x)dx的原意写出相应的命题.ua - uab定理11. 5瑕积分f f(x)dx (瑕点为a)收敛的充要条件是：任给0, a存在 60,只要 u1、u2 乏(a, a+S),总有f (x)dx - f (x)dx| = f 2 f (x)dx 8.1也小性质1 设函数 力与

7、f2的瑕点同为x = a,k1、k2为常数，则当瑕积分j f1(x)dx与j f2(x)dx都收敛时，琅积分 jk1fl (x)+ k2 f2(x)dx必定收敛，并有bbba k1 f1(x) k2 f2(x)dx = k1 f1(x)dx k2 a f2 (x)dx性质2 设函数f的瑕点为x = a, f在(a,b的任一内闭区间u,b上可 b 一一. b , 、. 、 一 一 、， b b积.则当f f(x)dx收敛时(f(x)dx也必止收敛，并有 J f (x)dx 0, a存在60,只要ui、U2乏(a,a+6),总有bbu2f f (x)dx - f f (x)dx = J f(x)d

8、xa. u1”2“1性质1 设函数 力与f2的瑕点同为x = a,k1、k2为常数，则当瑕积分bbbf f1(x)dx与f f2(x)dx都收敛时,瑕积分1 k1fl(x) + k2 f2(x)dx必定收敛，并有 aaabbbk1fl (x) + k2 f2(x)dx = k1 J f1(x)dx+k2J f2(x)dx。(1)aaab性质2设函数f的瑕点为x =a,cw (a,b)为任一常数.则瑕积分f f(x)dx与cf f (x)dx同敛态，并有 abcbf(x)dx = f(x)dx，i f (x)dx,(2)aacb其中f f(x)dx为定积分.c性质3 设函数f的瑕点为* = 2,

9、 f在(a,b的任一内闭区间u,b上可积.则 bb当f f(x)dx收敛时f f(x)dx也必定收敛，并有 1aLabb f (x)dx 气 f (x)dx.(3)bb同样地，当f f(x)dx收敛时，称f f(x)dx为绝对收敛.又称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛的.三、瑕积分的收敛判别法判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：定理11.6(比较法则)设定义在(a,b上的两个函数f与g,瑕点同为* = 2,在任何u,bu (a,b上都可积，且满足f(x) 0,且limJ刈=c ,则有：x)a g(x)bb(1) 当 0c+8时，L f (x)dx与g(x)dx 同敛态；一 一. 一一，

10、 , b b(ii)当c=0时，由g(x)dx收敛可推知 f(x)dx也收敛；bb(iii)当c = +兀时，由g(x)dx发散可推知f(x)dx也发散.aa-(X b - I adxb成为如下的推丝不作为比较对象f g(x)dx时，比较法则及其推论1-aya推论2 设f定义于(a,b, a为其瑕点，且在任何u,b匚(a,b上可积,则有：(i) 当 f (x) 1-,且 0p1时，b f(x)dx收敛；(x-a)a-1. b.(ii) 当f(x)之,且p.时 f(x)dx发目攵.(x -a)pa推论3 设f定义于(a,b, a为其瑕点，且在任何u,b匚(a,b上可积.如果limjx -a)p

11、f (x)=九，x 11a则有：(i)当0p1, 0 M九+如时廿f (x)dx收敛;b(ii)当p 1 , 0 c九4十8时Jf(x)dx发散.例1判别下列瑕积分的收敛性：Dfax；2)喧dx解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号一)在x(0,1上恒为负,Nx在(1,2上恒为正一所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一 ln x回事.1)此瑕积分的瑕点为x=0. ，一 3.由上述推论3,当取p = 30 x 41l i (4x =0,x )0 -所以瑕积分1)收敛.2)此瑕积分的瑕点为x=1.当取p=1时，由x . x -1 d1 = lim (x -1) = lim = 1,

12、x1ln xX，1 ln x推知该瑕积分发散.最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子.例2讨论反常积分(a)=/a 1Jdx的收敛性.1 x解把反常积分6(a)写成10十dx4 aX IO0(Xdx瑕点为x = 0.由于a lim x1 = 1 , x 0 -1 x根据定理11.6推论3,当0p=1a0且?”=1时，瑕积分1(a)收敛;当p =1 一口 1,即支E0且九=1时，1(发散(ii) 再讨论J),它是无穷积分.由于2 - x，11lim x 一一= lim =1,J1 x j1 x根据定理11.2推论3,当p=2a 1 ,即a1且九=1时，J(o()发散.综上所述，把讨论结果列如下表

13、：a0 00 a 11 11I (a)0(收敛定积分J收敛收敛0(中(口)0(收敛0(由此可见，反常积分 中(口)只有当0a万时，由于 鸣+乂。仙x =0(Va 0),则K =0,而极限为0只能判收敛，而13要判断，取0p1,因此取1cp0时，由于lim4xalnx = 0(V 0),则1=0,而极限为0只能判收敛，而要x.01判断，取0p1,因此取0 M p父1的一个数，取p=a0时，由于lim,xalnx = 0(Va 0),则入=0,而极限为0只能判收敛，而要 x01判断，取0p1,因此取0 M p父1的一个数，取p=30,瑕点为x = 0,止匕时Jimp5lnx(2) p 0,瑕点为x

14、=1 ,止匕时妈(1 x)“lnxp = lim(_1 -x)”(x-1)p =1 ,故原积分在-1 p 0时收敛，在p1 ,瑕点为 x=0 lim x ln(1 x) = 1,x 0-xp故1p1 ,只要pq ,极限便为0,从而收敛），p 1xlax学吗M=0,此时第二个积分收敛,pM1 ln（1 x） 1此时第二个积分发散, x x综上所述 当1p 1所以积分收敛(2)因为llm当上，且对任意0父6 0充分小 x w x2 -1时，有ln xx2 -1所以积分收敛,2. 2一cos xsin x2(万一 x),一、 1(7) xp-(1 -x)q- ln x(xtL),(1-xLJimx w(xp，(1 x)q,Inx )=当x A 0充分小有,一“ 一”1xp (1 -x)q lnx 0 , _p书q -1时积分收敛,在其余情况下积分发散。*|2dx x二arctanx ,1 arctanx ,二arctanx ,dx