高等数学--练习题

1、习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第卦限；点B在第卦限；点C在第卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1

2、） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；（3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.解：（1）(2) (3) (4) .5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故 .6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则解得 即所求点为M（0，0，）.7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角

3、形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故ABC为等腰直角三角形.8. 验证：.证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-19. 设试用a, b, c表示解：10. 把ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,和.解：11. 设向量的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为，则12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x, y,

4、 z)，则解得x=-2, y=3, z=0故A的坐标为A(-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1） 在各坐标轴上的投影； （2） 的模；（3） 的方向余弦； （4） 方向的单位向量.解：（1） (2) (3) .(4) .14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a, b,

5、 c.解：16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er.解：因,故,（舍去）则.18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且，求向径的坐标.解：设向径=x, y, z因为，所以，故=.19. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，的方向余弦是，求点P的坐标.

6、解：设P的坐标为（x, y, z）, 得又故点P的坐标为P（2，3，6）或P（）.20. 已知a, b的夹角，且，计算：(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b).解：（1）a·b =(2) 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）解：（1）(2) (3) 22. 已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：=3，-2，-6，=6，2，323. 设重量为100kg的物体

7、从点M1(3, 1, 8)沿直线移动到点M2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m）.解：取重力方向为z轴负方向，依题意有f =0,0, -100×9.8s = =-2, 3,-6故W = f·s=0, 0,-980·-2, 3,-6=5880 (J)24. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解: (a+3b)·(7a-5b) = (a-4b)·(7a-2b) = 由及可得：又，所以,故.25. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：

8、设动点为M(x, y, z)因,故.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.26. 设a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,ab,且a+b=2,4, -2a-b=-6,10,14又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)(a-b).27. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求：(1) a×b; (2) 2a&#

9、215;7b;(3) 7b×2a; (4) a×a.解：（1） (2) (3) (4) .28. 已知向量a和b互相垂直，且.计算：(1) |(ab)×(ab)|；(2) |(3ab)×(a2b)|.（1）(2) 29. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.解：与平行的单位向量.30. 一平行四边形以向量a =(2,1,1)和b=(1,2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为，因为,所以 .即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)

10、，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证明：.证明：中点M，N，P的坐标分别为故 .32. 求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b=(x,0,0)则同时垂直于a，b的向量为=4xj3xk故同时垂直于a，b的单位向量为.33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A, B, C, D.则由A，B，D三点所确定三角形的面积为.同理可求其他三个三角形的面积依次为.故四面体的表面积.34. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线.证明：,显然

11、则故A，B，C三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n=3,-2,6，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.36. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y轴上的截距为b则

12、平面方程可定为又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2.故所求平面方程为38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知代入三已知点，有化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x y =0;(5) 2x-3y+4z=0.解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3) 图7-2 图7-3 (3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分

13、别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x y=0表示过z轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）. 图7-4 图7-5 图7-640. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n=A,B,C已知平面法向量为n1=1,1,-1过已知两点的向量l=1,1,1由题知n·n1=0, n·l=0即所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下

14、列条件：（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成的角.解：（1） 因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2） 两平面的法向量分别为n1=1,k,-2 n2=2,-3,1且解得42. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1=2,l,3, n2=m,-6,-1(2) n1=3, -5, l , n2=1,3,243. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的

15、平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n=A,B,Cn1=1,-1,1, n2=2,1,1又（1，1，1）在所求平面上，故AB+C+D=0，得D=0故所求平面方程为即2x-y-3z=044. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解：n1=3,-1,7, n2=1,-1,2.故则45. 求通过下列两已知点的直线方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）两点所确立的一个向量为s=3-1，1+2，-1-1=2，3，-2故直线的标准方程为： 或 （2）直线方向向量可取为s=1-3，0+

16、1，-3-0=-2，1，-3故直线的标准方程为： 或 46. 求直线的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为 另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:且直线的参数方程为：47. 求下列直线与平面的交点：(1) , 2x+3y+z-1=0;(2) , x+2y-2z+6=0.解：（1）直线参数方程为代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.48. 求下列直线的夹角：（1）和 ；（2） 和 解：（1）两直线的方向向量分别为：s1=5, -3,3

17、15;3, -2,1=3,4, -1s2=2,2, -1×3,8,1=10, -5,10由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1s2从而两直线垂直，夹角为.(2) 直线的方向向量为s1=4, -12,3,直线的方程可变为,可求得其方向向量s2=0,2, -1×1,0,0=0, -1, -2,于是49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线平行.解：

18、（1）可取直线的方向向量为s=3，-1，2故过点（2，-3，4）的直线方程为（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量故过点（0，2，4）的直线方程为（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s=2，-1，3故过点（-1，2，1）的直线方程为.50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s=-2，-7，3平面的法向量n=4，-2，-2，所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0（-3，-4，0

19、）代入平面方程有.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线的平面方程.解：直线的方向向量为,取平面法向量为1，2，3，故所求平面方程为即x+2y+3z=0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为其中为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故解得=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=053. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上

20、的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s=n=1，2，-1所以垂线的参数方程为将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0得于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点54. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n=1，2，2所以垂线的参数方程为将其代入平面方程得.故垂足为，且与点（1，2，1）的距离为即为点到平面的距离.55. 求点（3，-1，2）到直线的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面

21、的法向量可取为直线的方向向量即故过已知点的平面方程为y+z=1.联立方程组解得即为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M(x,y,z)，由题意知化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面

22、，并画出其图形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.解：（1）母线平行于z轴的抛物柱面，如图7-7.（2）母线平行于z轴的双曲柱面,如图7-8. 图7-7 图7-8（3）母线平行于y轴的椭圆柱面，如图7-9.（4）母线平行于x轴的抛物柱面，如图7-10. 图7-9 图7-10（5）母线平行于z轴的两平面，如图7-11. （6）z轴，如图7-12. 图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-

23、14. 图7-13 图7-14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16. 图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z轴，如图7-18. 图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形：(1) x2+y2+z2=a2与z=0,z= (a>0); (2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0及x+y=1

24、.解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示. 图7-19 图7-20 图7-21 图7-2261. 求下列曲面和直线的交点：(1) 与;(2) 与.解：（1）直线的参数方程为代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.(2) 直线的参数方程为代入曲面方程可解得t=1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有即为所求圆的方程.63. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy平面上的投影

25、方程.解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为x2+y2=x+1即.故曲线在xOy平面上的投影方程为64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为故曲线在xOy面上的投影曲线方程为65. 试考察曲面在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x=2; (2) 平面y=0;(3) 平面y=5; (4) 平面z=2.解：（1）截线方程为其形状为x=2平面上的双曲线.（2）截线方程为为xOz面上的一个椭圆.(3) 截线方程为为平面y=5上的一个椭圆.(4) 截线方程为为平面z=2上的两条直线.66. 求单叶双

26、曲面与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面，yOz平面及xOz平面上的投影曲线.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交线在xOy平面上的投影为以x=2z-3代入曲面方程，得20y2+4z2-60z-35=0.故交线在yOz平面上的投影为 交线在xOz平面上的投影为习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) (x,y)|x0;(2) (x,y)|1x2+y2<4;(3) (x,y)|y<x2;(4) (x,y)|(x-1)2+y21(x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)开集、无界集，聚点集：R

27、2，边界：(x,y)|x=0.(2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：(x,y)|1x2+y24，边界：(x,y)|x2+y2=1(x,y)| x2+y2=4.(3)开集、区域、无界集，聚点集：(x,y)|yx2，边界：(x,y)| y=x2.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：(x,y)|(x-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x,y)=x2+y2-xytan,试求.解：3. 已知,试求解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x.4. 求下列各函数的定义域：解：5. 求下列各极限：解：(

28、1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则,若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f(x,y)=;(2) f(x,y)=;(3) f(x,y)=ln(1x2y2);(4)f(x,y)=解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余点处

29、均连续.(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于O(0,0)时.故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8. 求下列函数的偏导数：(1)z=x2y+;(2)s=;(3)z=xln;(4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y;(6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)两边取对数得故 (6)(7)(8)9.已知，求证：

30、.证明： .由对称性知 .于是 .10.设，求证：.证明： ,由z关于x,y的对称性得故 11.设f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：则.12.求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为,则tan=1. 故=.13.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=x4+ y4-4x2y2;(2)z=arctan;(3)z=yx;(4)z=.解：(1)由x,y的对称性知(2)，(3)(4)14.设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：15.设z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函数的全微分：(1);(2);(3);(4).解

31、：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1) (1.02)3·(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=13×12+1×13×1×1×0.02+2×12×(-0.03)=1.(2)设f(x,y)=,则故取,则(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则当x=10,y