2013年高考新课标II全国卷理科数学试卷及答案

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）数学试题（笔试部分）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题一一第14题）、解答题（第15题一 第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡 交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、班级写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无 效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一、填空题：本大

2、题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在 答题卡相应位置上.1.设复数满足是虚数单位），则复数的模2已知，则-1Zlzltan-2或11(加 +a) +cos(朮一 &)sin(-f)+cos(-tt)3.抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线12的渐近线的距离为4.阅读下列算法语句：Read S-S+lEnd forFor I from 1 tostep 2Print SEnd输出的结果是5设集合A = x-3X,B = x 0)的一个单调增区间为13.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点f-处)=0,两边求导数，则AF+RFMF十DF二14.已知定义在R上的函数满足4)

3、 = 2几 X，则不等式用)/的解集为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知ZAPB = a,APC = /J，设(1)求（2）求两条向量IC,PC的数量积AC PC的值.16.（本小题满分14分）如图，已知AB平面ACD DE/AB,AACD是正三角形，AD = DE = 2AB,且F是CD的中点.（1）求证：AF/平面BCE（2）求证：平面BCE平面CDE均为锐角.17.（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行

4、，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人为计数单位）作了一个模拟预测.为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即fl = I;9点20分作为第二个计数人数的时间，即11=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第个时刻进入园区的人数 和时间（）满足以下关系:第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系：（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时,百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多?18.（本小题满分16分）36tt-2436-3 + 2160(lfi24)(25n,36)( (

5、37fl72) )(加必加)fl恥)世博园区内共有游客多少、圆 相交于两个定点;(2)设点P是椭圆上的点，过点P作圆 的一条切线，切点为 ，过点P作圆 的一条切线，切点为，问：是否存在点P,使无穷多个圆19.(本小题满分16分)(nN)设圆Q :x2+/ -10 x-6j?+32=0动圆G: Jt2+ /-2ar-2(8-i)j+4d + 12 = 0(1)求证：圆，满足？如果存在，求出所有这样的点珂二理P;如果不存在，说明理由.已知数列an的通项公式为an =2x3*+2(1)求数列an的最大项;(2)设bn =綸+p，试确定实常数p,使得bn为等比数列；(3)设m,n.pet,mn，且关于

6、的方程/W=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）设函数&何=打7）严卜2,柯）推）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围.（加试部分）21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.交于点D.求证：ED2= EB- ECB.矩阵与变换已知矩阵（1）求PA的长;2 -1=-4 34=-3 1AX = BXC.选修4-4参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为=1与=2cos（+I）,它们相交于A,B两点，求线段AB的长.D.选修4-5不等

7、式证明选讲设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 +丄ahc2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC克边长为1的正方形，PA底面ABCD点M是棱PC的中点，AM平面PBD，求满足的二阶矩阵47(2)求棱PC与平面AMD所成角的正弦值.23.(本小题满分10分)用四个不同字母组成一个含1(旅們个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同.例如n-1时，排出的字符串是abyac,ad时排出的字符串是n=laba abc, ahdyac

8、a acb acd, ada adbadc,.,如图所示.记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为BC47(1)试用数学归纳法证明:13.814.(2)现从四个字母组成的含/?+l(weNtt2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：-P-参考答案3.14.105.彳0 x 2J6.157.0.78.49.210.11.0 xl12.血)(2):因为点B在以PA为直径的圆周上，所以心BP二曲刊3 .4- - =,sint =PA5 54tan =-15解（，所以所以cosa =所以sin(a-p)-10p)- .4分

9、讪沪晌创=卫也兰y It+tanatan(df-/?).6分又，所以11分16解：取CE中点P,连结FP,BP,因为F为CD的中点，所以FP/DE,且FP =12DE,2分又AB/DE,且AB =12DE所以AB/FP,且AB= FP,所以四边形ABPF为平行四边形,所以AF/BP .4分又因为AFt平面BCE,BP平面BCE,所以AF/平面BCE7分（该逻辑段缺1个条件扣1分）因为ACD正三角形,所以AF丄CD因为AB丄平面ACD,DE/AB所以DEL平面ACD,又AF平面ACD所以DELAF.14分7549x又AF丄CD cm DE = D,所以AF丄平面CDE又BP/AF，所以BP丄平面

10、CDE . 12分又因为BP平面BCE所以平面BCEL平面CDE . 14分17.解：(1)当024且neN*时， 加36，当25 36且neN*时，w24于何=363所以必彳厲)+/(2)+/(3)+几24)+1/25)+/(26) + - + /(36)3624+36864+7921656另一方面，已经离开的游客总人数是：7；疔g(25)+g(26)+&(36)=12X512x114-x52= 390;.4分所以化必胡疔1656390=1266(百人)故当天下午3点整(即15点整)时，世博园区内共有游客1266百人.6分(2) 当f(n)-g(n)iO时园内游客人数递增；当f(n)

11、-g(n)0时园内游客人数递减.(i)当1 W 24时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间； .8分(ii)当25w36时，令5n-12036，得出氷31即当25zi31时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多； .10分(iii)当325-120，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；.12分(W)当3772时， 令3+216=5120时，即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整.14分答：(1)当天下午3点整(即15点整)时，世博园区内共有游客1266百人;(2)在下午4点整时，园区人数达到最多.18解(1)将方程*+护-2血一

12、2(8-庄妙+40+12“化为X+# T6y+12+(-2x+2y+4)。二0令得或，所以圆过定点和，4分X7+_/-16y+12 = 0|-2x+2j+4 = 0 x = 6丿“(4,2)(M)代入，左边=工二4#+才-10工-6+32= 016+4 - 40-12+32 = 0 =右边，故点在圆 上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和;.6分的充要条件为(4,2)(2)设，则叭jx +詁一10鬲-6片+328分FT；=JA/ +-2% +2(8十a)% +4u+12.10分PTPT2即，整理得(*)-10血-6%+32=-2叫2(8L?)FQ+4Q+12仇儿2)5)二0.12分存在无穷多个圆，满足PTPT2(4,2)有解，解此方程组得故存在点P,使无穷多个圆，满足，点P的坐标为 . 16分19.解由题意an = 2 +4,随着n的增大而减小,所以an中的最大项为al = 4.4分bn =42+ yTT +卩4(2+p)( 1)卜4,若bn为等比数列,旳一坯一2 = 0和日14分4PTPT2flrtl-bnbn+2