等比数列知识点总结与典型例题+答案

1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：anq q 0 nan 12,且n N* ， q称为公比2、通项公式：n1an a1qa1qnqB n a1q 0, A0 ，首项： a1 ；公比： q推广： annmamqnmqaanqamanam3、等比中项：（1）如果 a, A, b成等比数列，那么 A叫做 a与b的等差中项，即： A2 ab或 Aab注意： 同号的两个数 才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个 （2）数列 an 是等比数列2 anan 1 an 14、等比数列的前 n项和 Sn公式：1）当q 1时， Snna12）当q 1时， Sna1 1n q 1qa1 an qa1

2、1qa1 n1a1qqnA Bn A'Bn A'（ A,B,A',B'为常数）5、等比数列的判定方法：1）用定义：对任意的n，都有an 1qan或 an 1 q（q为常数， an 0） an 为等比数列 an2）等比中项： an2an 1an 1 （an 1an 10） an 为等比数列3）通项公式：anBnB0an 为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若 an qan 12,且nN* 或an 1 qanan 为等比数列7、等比数列的性质：nm2）对任何 m,n N* ，在等比数列 an 中，有 an amq3）若m n s t（m,n,s,t N*），

3、则 an am as at 。特别的，当 m n 2k时，得 an am ak2 ： a1 an a2 an 1 a3an 2等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义递推公 式通项公 式（）中项（）（）前项和重要性质am an a p aq(m,n, p,q N*,m n p q)am ana p aq*(m,n, p,q N*,m n p q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 an 中， a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11. 思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于 a1和 q的二元方程组，解出 a1和 q，可得 a11 ；或注意到下标 1

4、9 3 7 ，可以利用性质可求出 a3、 a7，再求 a11 .总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要 用除法（除式不为零） .举一反三：【变式 1】a n 为等比数列， a1=3， a9=768，求 a6。变式 2】a n 为等比数列， an>0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。变式 3】已知等比数列 an ，若 a1 a2 a3 7 ， a1a2a3 8，求 an。类型二：等比数列的前 n 项和公式 例2设等比数列a n的前 n项和为 Sn，若S3+S6

5、=2S9，求数列的公比 q.举一反三：【变式 1】求等比数列 1,1,1,L 的前 6项和39变式 2】已知： an 为等比数列， a1a2a3=27，S3=13，求 S5.变式 3】在等比数列 an中，a1 an 66，a2 an 1 128 ， Sn 126，求n和q。类型三：等比数列的性质例 3. 等比数列 an 中，若 a5 a6 9, 求log 3 a1 log3a2 . log3 a10 .举一反三：【变式 1】正项等比数列 an中，若 a1·a100=100; 则 lga 1+lga 2+lga 100=【变式 2】在8和 27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插

6、入的三个数的乘积为 32。类型四：等比数列前 n 项和公式的性质 例 4在等比数列 an 中，已知 Sn 48，S2n 60，求 S3n。思路点拨： 等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列 中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。举一反三：【变式 1】等比数列 an中，公比 q=2, S 4=1,则 S8=变式 2】已知等比数列 an的前 n项和为 Sn, 且S10=10, S 20=40,求：S30=？变式 3】等比数列 an的项都是正数，若 Sn=80, S 2n=6560，前 n项中最大的一项为 54，

7、求 n.变式 4】等比数列an中，若 a1+a2=324, a 3+a4=36, 则a5+a6=变式 5】等比数列 an 中，若 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列 . 若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列 . 求原来的三个数 .思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提 . 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数， 并将其设为整式形式 .总结升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d, a, a+d；若

8、三数成等比数列，可设此三数为 x ，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二 y 中采用首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项， 如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列， 如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数 列.变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与 第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数 .类型六：等比数列的判断与证明例6已知数列an的前 n

9、项和 Sn满足： log 5(Sn+1)=n(n N+),求出数列a n的通项公式， 并判断 a n 是何种数列？思路点拨： 由数列 a n的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断 an类型.举一反三：【变式 1】已知数列 Cn ，其中 Cn=2n+3n，且数列 Cn+1-pCn为等比数列，求常数 p 【答案】 p=2 或 p=3；证明】 设数列a n 、b n的公比分别为 p, q ，且 pq【变式 3】判断正误：(1) a n 为等比数列 a7=a3a4；(2) 若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3) a n ，b n均为等比数列，则 a nbn为等比数列；(4

10、)a n是公比为 q的等比数列，则 an2 、11 仍为等比数列；an(5) 若 a，b，c成等比，则 log ma，log mb，log mc 成等差.类型七： Sn与 an 的关系例 7已知正项数列 a n ，其前 n项和 Sn满足10Sn an2 5an 6，且 a1，a3，a15成等比数列，a1(n 1)Sn Sn 1 (n 2)求数列 a n 的通项 an.总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 尤其注意首项与其他各项的关系 .举一反三：【变式】命题 1：若数列 a n的前 n项和 Sn=an+b(a 1) ，则数列 a n是等比数列；命题 2： 若数列a n的前

11、 n项和 Sn=na-n，则数列 a n既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中， 真命题为 个 .经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列 an中， a1 a9 64, a3 a7 20,求a11.思路点拨： 由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和 q的二元方程组，解出 a1和 q，可得 a11 ；或注意到下标 1 9 3 7 ，可以利用性质可求出 a3、 a7，再求 a11.解析：设此数列公比为 q ，则a1 a9 a1 a1q8 64a3 a7 a1q2 a1q6 20(1)(2)由(2) 得： a1q2 (1 q4) 20 (3) a1 0.由(1) 得： (

12、a1q4)264 ,4 a1q8 .(4)1q4 205(3) ÷ (4) 得： 2q82 2q4 5q2 20, 解得22q2 2 或 q212当 q2 2 时， a12，10 a11 a1 q64；2110当 q2时，a132， a11 a1 q 1.2法二： a1 a9a3a7 64, 又 a3 a7 20, a3、 a7为方程 x2 20x 64 0 的两实数根， a3 16a3 4或a7 4a7 1622a7a3 a11 a7 , a117 1 或 a11 64 .a3总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降

13、次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式 不为零） .举一反三：【变式 1】a n 为等比数列， a1=3， a9=768，求 a6。【答案】 ± 9688法一： 设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256， q=± 2， a6=± 96；2法二： a5 =a1a9 a5=± 48 q=± 2， a6=± 96。【变式 2】a n 为等比数列， an > 0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。【答案】 64； a1a89 a45 16 ，又 an>0， a45=4 a44a45a4

14、6 a45 64 。变式 3】已知等比数列 an，若 a1a2 a37，a1a2a3 8，求 an 。法一： a1a32a2 ， a1a23 a3 a28，a 2 2从而a1 a35, 解之得 a11 ， a34或a1 4 ， a3 1a1a3 4当 a11 时， q2 ；当 a14 时， q1。2故 ann12n 1 或 a2 3 n n 2 。法二：由等比数列的定义知a2 a1q ，a32 a1q3n答案】an27a12n 1或 an2代入已知得a1a1q a1q2a1qa1q将 a1a1(133 a1q解得 q由（ 2）q2)7,a1(1a1qq2)7,(1)(2)2 代入（q2或q得

15、a1 q1)得 2q25q0，a11，2以下同方法一。类型二：等比数列的前例 2设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q. 解析： 若 q=1，则有 S3=3a1， S6=6a1，S9=9a1.因 a1 0，得 S3+S6 2S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q 1.n 项和公式a1(1 q3)由 S3 S6 2S9 得，1q69a1(1 q6 ) 2a1(1 q9)，1q1q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ，6 3 3 3由 q 0 ，得 2q -q -1=0 ，从而 (2q +1)(q -1)=0 ，因 q3 1，故 q31，所以 q 3

16、4。22举一反三：变式1】求等比数列111, , ,L39答案】364 ；2431 a11，q，n63611133S611123变式 2】已知： an 为等比数列，的前 6 项和。121；9；61 6 364 。3 243a1a2a3=27， S3=13 ，求 S5.答案】121或3 a227 a23，13a1(11q3q3)q 3或 q则 a1=1 或 a1=9 S51 35变式答案】13121或S513151131213】在等比数列an 中， a1 an66，a2 an 1128 ， Sn 126，求 n和q。a2 an解方程组q 1或 2，2a1 an ， a1ana1an128，得66

17、128a164a1an64将a1 64代入 Sna1anq ，an 21q由 ann1a1q，解得 n6；将a1 2代入 Sna1anq ，an 641q由 ann1a1q，解得 n6。q1或 2 ，n 6 。2类型三：等比数列的性质例 3.等比数列an 中，若a5 a6得q9, 求log3an得qa1an1，22，a1 log3 a2 . log 3 a10 .解析：an 是等比数列， log3 a1 log 3 a2 举一反三：变式 1】正项等比数列法一： 设这个等比数列为 an ，其公比为 q ，8 a1 3a52724a1q4q，4 q48116 a2 a3a42 a1q a1q3a1

18、q3a1 q63216。法二： 设这个等比数列为an ，公比为q，则a183， a527 ，2，a1 a10 a2 a9 a3 a8 a4 a7 a5 a6 955log3 a10 log 3 (a1 a2 a3L a10) log3(a5 a6)log39 10an 中，若 a1· a100=100; 则 lga 1+lga 2+ +lga 100=【答案】 100； lga 1+lga 2+lga 3+ +lga 100=lg(a 1· a2· a3·· a100)而 a1· a100=a2· a99=a3·

19、a98 = =a50· a5150原式 =lg(a 1· a100) 50=50lg(a 1· a100)=50 × lg100=100 。【变式 2】在 8 和 27 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 32【答案】 216；加入的三项分别为 a2 ， a3 ， a4，由题意 a1， a3， a5也成等比数列，2a327236，故 a3 6 ，23 a2 a3 a4 a3 a3 a3 216 。类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 4在等比数列 an 中，已知 Sn 48，S2n60 ，求 S3n 。思路点拨： 等差数列中

20、也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一： 令 b1=Sn =48, b 2=S2n-S n=60-48=12 ， b3=S3n-S 2n观察 b1=a1+a2+ +an,b2=an+1+an+2+ +a2n=qn(a 1+a2+ +an) ，2n(a 1+a2+ +an)b22 122 3 ，3，b1 48b3=a2n+1+a2n+2+ +a3n=q易知 b1,b 2,b 3 成等比数列，b3k 项和， S3n=b3+S2n=3+60=63.法二： S2n 2Sn， q1，a1(

21、1nqn)48由已知得1qa1(12nq2n)601q÷得 1n q5即 qn144代入得a1641qa1(1 q S3n3n)64(1413)1q43法三： an 为等比数列， Sn，63。S2n Sn ， S3n S2n 也成等比数列， (S2nSn) S3n(S2n举一反三：Sn(S3n S2n) ，Sn)2 SSnS2n(60 48)24860 63 。【变式 1】等比数列 an 中， 【答案】 17；4 4 4 4 4 4 4 4 S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q +a2q +a3q +a4q =S4+q (a 1+a2+a3+a4)=S4+qS4=S4(1

22、+q )=1 × (1+2 )=17 【变式 2】已知等比数列 an的前 n项和为 Sn, 且S10=10, S 20=40,求： S30=？ 【答案】 130； 法一： S10，S20-S10，S30-S 20构成等比数列， (S 20-S 10) =S10·(S30-S20)2 即 302=10(S30-40), S30=130. 法二：公比 q=2, S 4=1, 则 S8= S10 2S10 S20 ， q 1, a1(1 q10)10, S2020a1(1 q20) 40,10q201q1,410qa13, 1 1q S30变式 3】30q30) 1q 等比数列a

23、1(1( 5)(1 33)130.答案】SnS2nan 的项都是正数，若80 ， q 1( 否则6560Sn=80, S 2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.Sn1)2nS2n Sna1(1 qn)=80 (1)1q2na1(1 q ) =6560(2)1q(2) ÷(1) 得： 1+qn=82, qn=81(3)S2n该数列各项为正数，由 (3) 知 q>1 a n 为递增数列， an 为最大项 54. n-1 n an=a1q =54, a1q =54q, 81a1=54q(4)5422 a1q q 代入 (1) 得 q(1 81) 80(1 q) ，1

24、 8133q=3, n=4.【变式 4】等比数列 an 中，若 a1+a2=324, a 3+a4=36, 则 a5+a6=【答案】 4； 24令 b1=a1+a2=a1(1+q) ， b2=a3+a4=a1q (1+q),b 3=a5+a6=a1q (1+q),易知： b1, b 2, b 3成等比数列， b3=b2 =36 =4,即 a5+a6=4.b1 324【变式 5】等比数列 an 中，若 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。【答案】 448；a n是等比数列， (a 4+a5+a6)=(a 1+a2+a3)q 3, q3=8,3 a7+a8

25、+a9=(a 4+a5+a6)q =56× 8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列 . 若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列 . 求原来的三个数 .思路点拨： 恰当地设元是顺利解方程组的前提 . 考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为 整式形式 .解析：法一： 设成等差数列的三数为 a-d, a,a+d.则 a-d, a, a+d+32 成等比数列，a-d, a-4, a+d a 2 (ad)(a d32)(1)(a 4)2(a d)(ad)(2)d2 由(2) 得 a=d16 8 .(3

26、)2由(1) 得 32a=d2+32d .(4)(3) 代 (4) 消 a，解得 d8或 d=8.3当 d 时 ,26 a；当 d=8 时 ,a=10392 26338原来三个数为或 2,10,50.999法二： 设原来三个数为 a, aq, aq2，则 a, aq,aq 2aq aaq2 32.(1)(aq 4)2a(aq232)(2)由 (2) 得 a2，代入 (1) 解得 q=5 或 q=13q4成等比数列2当 q=5 时 a=2 ；当 q=13 时 a.92-32 成等差数列， a, aq-4, aq 2-32 成等比数列原来三个数为 2，10， 50或 2，26, 338.999总结

27、升华： 选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d, a, a+d； 若三数成等比数列，可设此三数为x ，x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解y决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.2 10 50【答案】 为 2，6，18 或 , , ；9 9 9设所求的等比数列为 a， aq， aq2；2 2 2则 2(aq+4)=a+aq 2，且 (aq+4) 2=a(aq 2+32

28、) ；2解得 a=2，q=3 或 a， q=-5 ；9故所求的等比数列为 2，6，18 或 2, 10,50.9 9 9【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案】 1、3、9或1、3、9或 9、3、1或9、3、 1aaq 27aq2a2 2 22a a qq由已知得91设这三个数分别为 a,a,aq ， qa3a2(12 q2 1) 91q24 2 2 2 1 得 9q4 82q2 9 0，所以 q2 9或 q2 ，91即q 3或 q 13故所求三个数为： 1、3、9或1、3、9或 9、3、1或 9、3、 1。【变式 3】有四个数，其中前三个数

29、成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和 是 16 ，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数 .【答案】 0，4，8，16或 15，9，3，1； 设四个数分别是 x,y,12-y,16-x2y x 12 y(1)2(12 y)2 y(16 x)(2)2由 (1) 得 x=3y-12 ，代入 (2) 得 144-24y+y 2=y(16-3y+12)2 2 2 144-24y+y 2=-3y 2+28y, 4y2-52y+144=0,2 y2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15 ，四个数为 0，4，8，16或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证

30、明a n 是例 6已知数列a n的前 n项和 Sn满足： log 5(Sn+1)=n(n N+), 求出数列a n的通项公式，并判断 何种数列？思路点拨： 由数列 a n的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析： log 5(Sn+1)=n, Sn+1=5n, Sn=5n-1 (n N+),1 a1=S1=51-1=4,n n-1 n n-1 n-1 n-1当 n2时， an=Sn-Sn-1=(5 n-1)-(5 n-1 -1)=5 n-5n-1=5n-1(5-1)=4 ×5n-1n-1 1-1而 n=1 时， 4× 5n-1=4×

31、51-1=4=a1, nN+时， an=4× 5由上述通项公式，可知 a n为首项为 4，公比为 5 的等比数列 .举一反三：【变式 1】已知数列 Cn ，其中 Cn=2n+3n，且数列 Cn+1-pCn 为等比数列，求常数 p。 【答案】 p=2或 p=3； C n+1-pC n是等比数列，2对任意 n N 且 n 2，有 (Cn+1-pCn) =(Cn+2-pC n+1)(C n-pC n-1 )n n n+1 n+1n n 2n+2 n+2n+1 n+1 n nn-1 n-1Cn=2n+3n, (2 n+1+3n+1)-p(2n+3n) 2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1

32、+3n+1)· (2 n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p) ·2n+(3-p) ·3n 2=(2-p) ·2n+1+(3-p) ·3n+1 ·(2-p) ·2n-1+(3-p) ·3n-11 n n整理得： (2 p)(3 p) 2n 3n 0, 解得： p=2或 p=3,6显然 Cn+1-pC n 0，故 p=2 或 p=3 为所求 .【变式 2】设a n 、 b n是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列 Cn不是等比数列 .【证明】 设数列 a n 、 b n的公比分别为 p, q ，且 pq为证 Cn 不是等比数列，只需证 C1 C3 C22.2 2 2 2 2 2 C2 (a1p b1q)a1 p b1 q 2a1b1pq ,C1 C3 (a1 b1 )( a1 p2 b1q2) a12 p2 b12q2 a1b1(p2 q2)22 C1 C3 C2 a1b1 ( p q) ,又 p q, a 1 0, b 1 0, C1 CC220即 C1 C3数列 Cn 不是等比数列【变式 3】判断正误：(1) a n 为等比数列a7=a3a4；(2) 若 b2=ac