立体几何练习

1、立体几何练习 120 分第卷( 选择题共 50 分)一、选择题 (10× 5 =50 )1.如图 ,设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与 P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为 Q、R、S，则111()PQPRPSA. 有最大值而无最小值B. 有最小值而无最大值C. 既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等第 1题图D. 是一个与平面 QRS 位置无关的常量2.在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是()A.n 1 ,B. n 2 ,C. 0,D. n 2 , n 1nn2nn3.正三棱锥 P-ABC 的底面边长为2a,

2、点 E、F、 G、 H 分别是 PA、 PB、 BC、 AC 的中点，则四边形 EFGH 的面积的取值范围是()A.(0,+ )B.3a 2 ,C.3 a 2 ,D.1 a 2 ,3624.已知二面角 -a- 为 60°，点 A 在此二面角内，且点A 到平面 、 的距离分别是AE=4 ，AF =2，若 B ,C ,则 ABC 的周长的最小值是()A.43B.27C.47D.235.如图，正四面体A-BCD 中， E 在棱 AB 上， F 在棱 CD 上，使得 AECF= (0<<+ ),记 f ( )= + ,其中 表示 EFEBFD与 AC 所成的角， 表示 EF 与

3、BD 所成的角，则()A. f ( )在 (0,+ ) 单调增加B.f ( )在 (0,+ ) 单调减少C. f ( )在 (0,1)单调增加 ,在 (1,+ ) 单调减少第 5题图D. f ( )在 (0,+ ) 为常数6.直线 a平面 ,直线 a 到平面 的距离为1，则到直线 a 的距离与平面 的距离都等于4 的5点的集合是()A. 一条直线B.一个平面C.两条平行直线D. 两个平面7.正四棱锥底面积为Q，侧面积为S，则它的体积为()A. 1Q( S2Q 2 )B. 1Q(S 2Q 2 )63C. 1Q( S2Q 2 )D.1Q S238.已知球 O 的半径为 R， A、 B 是球面上任意

4、两点，则弦长|AB|的取值范围为()A. 0,2RB.(0,2R C.（ 0,2R）D. R,2R9.已知平面 平面 =l,m 是平面 内的一条直线，则在平面 内（）A. 一定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直B. 一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C.不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直线 m 垂直D. 不一定存在直线与直线 m 平行，也不一定存在直线与直线 m 垂直10.如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点数为()A.6B.7C.8D.9第10题图二、填空题 （ 4× 4 =16）11

5、.边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为;推广到空间，棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和为.12.在 ABC 中， AB=9 ， AC=15 ， BAC=120 °，其所在平面外一点P 到 A、 B、C 三个顶点的距离都是 14，则 P 点到直线 BC 的距离为.13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是.14.有 120 个等球密布在正四面体A-BCD 内，问此正四面体的底部放有个球 .三、解答题 （ 4× 10+14 =54 ）15.定直

6、线 l1平面 ,垂足为 M，动直线 l2 在平面 内过定点 N，但不过定点 M.MN =a 为定值，在 l 1、l 2 上分别有动线段 AB=b,CD =c.b、c 为定值 .问在什么情况下四面体ABCD 的体积最大？最大值是多少？16.如图所示， 已知四边形ABCD 、EADM 和 MDCF 都是边长为a 的正方形， 点 P、Q 分别是 ED和 AC 的中点，求：（ 1） PM 与 FQ 所成的角；（ 2）P 点到平面 EFB 的距离 ;（ 3）异面直线 PM 与 FQ 的距离 .第16题图17.如图，在梯形ABCD 中， ABCD ， ADC 90° ,3AD =DC =3,AB

7、=2,E 是 CD 上一点，满足DE 1，连结 AE，将 DAE 沿 AE 折起到 D 1AE 的位置，使得D 1AB 60° ,设 AC 与 BE 的交点为 O.(1) 试用基向量 AB , AE , AD1 表示向量 OD1(2) 求异面直线 OD1 与 AE 所成的角 .(3) 判断平面 D 1AE 与平面 ABCE 是否垂直，并说明理由 .第17题图18.如图，在斜棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为 60° ,顶点 B1 在底面 ABC 上的射影 O 恰好是 AB 的中点 .（ 1）求证： B1C C1A；（ 2

8、）求二面角 C1-AB-C 的大小 .第 18题图19.如图所示，在三棱锥P-ABC 中， PA=PB=PC ， BC=2a,AC=a,AB=3 a,点 P 到平面 ABC 的距离为 3 a.2（ 1）求二面角 P-AC-B 的大小；（ 2）求点 B 到平面 PAC 的距离 .第19题图立体几何练习参考答案一、选择题1.D 设正三棱锥 P-ABC 中，各棱之间的夹角为 ,棱与底面夹角为 ,h 为点 S 到平面 PQR 的距离，则 VS-PQR= 1 S PQR· h=1 ( 1 PQ· PR· sin )· PS· sin ,另一方面，记O 到

9、各平面的距离为 d,332则有 V1·d+ 1·d+ 1· d= d· 1 · PQ· PR· sinS-PQR=VO-PQR +VO-PRS+VO-PQS=SPQRSPRSSPQS23333+ d · 1 PS·PR·sin + d · 1 ·PQ·PS·sin.故有 PQ·PR·PS·sin =d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，3232即 111= sin=常量 .PQPRPSd2.B

10、设正 n 棱锥的高为 h,相邻两侧面所成二面角为 .当 h0 时，正 n 棱锥的极限为正 n 边形，这时相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角 .当 h时，正 n 棱锥的极限为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正n 边形的内角，即 nn2 .故选 B.3.B如图，易知四边形 EFGH 为矩形，当 P底面 ABC 的中心 O 时，矩形 EFGH 矩形 E1F1GH.S矩形 E F GH =E1F1· F1G=a·3 a=32a .1133即 S矩形EFGH3 a2.当 P时， S 矩形 EFGH .3S矩形EFGH3a2 ,.故选 B.3第3题图解第 4题图解4.C如图，

11、 a AE,a AF, a平面 AEF .设 a 交平面 AEF 于点 G，则 EGF 是二面角 -a- 的平面角， EGF =60° ,EAF =120° ,且易知当 ABC 的周长最小时， B EG,CFG.设点 A 关于平面 的对称点为 A ,点 A 关于平面 的对称点为 A,连结 A A ,分别交线段 EG 、 FG 于点 B、 C,则此时 ABC 的周长最短，记为 l .由中位线定理及余弦定理得l=2EF=24222242cos120=47 .5.D因为ABCD是正四面体，故AC BD ,作EGAC交BC于G，连结GF ，则 = GEF,且CG AE CF,GB

12、EB FD GF BD ,故 GF EG,且 =EFG , f ( )= + =90 °为常数 .6.C这两条直线在距a 为 1的平面上，分布在a 在该平面上的射影的两侧 .57.A设正四棱锥各棱长均为1，则 Q=1， S= 3，此时，正四棱锥的高 h=2 ,2 V= 1 Qh =2,将 Q=1， S=3 代入选择支，知A 正确.368.B考虑 A、 B 两点在球面上无限靠近但又不重合，及A、 B 两点应为直径的两端点时的情况.点评若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两元素，就会误选A ，球的最长弦就是直径，但球没有最短弦 .9.C若 m l，则 内必有与 m 平行的直线

13、；若m 与 l 相交，则 内无直线与 m 平行 .不一定存在直线与直线 m 平行，排除 A 、B. 又 内一定存在与 m 在 内的射影垂直的直线，由三垂线定理知，内一定存在直线与 m 垂直 ,故选 C.10.B本题考查简单多面体的表面展开与翻折，着重考查考生的空间想像能力,该多面体是正方体切割掉一个顶点，故有7个顶点.二、填空题11.3 a ;6a本题通过等积找规律 .2312. 77分析P 点到 A、 B、 C 距离相等，故P 点在平面 ABC 上的射影是三角形 ABC 的外2心，故可由 ABC 的已知条件求出 ABC 外接圆半径，进而求得P 点到平面 ABC 的距离，及外心到直线 BC 的

14、距离，从而最终解决问题 .解记 P 点在平面ABC 上的射影为O，则 AO、BO、CO 分别是 PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影 PA=PB=PC ,OA=OB=OC , O 为 ABC 的外心 .在 ABC 中， BC=92152915 =21由正弦定理， 2R=21, R=73sin120P 点到平面 ABC 的距离为14 27 327 .2O 点到直线 BC 的距离 OD= (7 3 )22173 (D为BC边的中点 )22 OP平面 ABC， OD BC, PD BC.72P到 BC 的距离 PD= 72377.2213.3 如图所示，作 CE AD ，连结 EF，易证 EF

15、 AD ,则 CEF 为面 ADF 和面 ACD 所成二面角的平面角.设G为CD 的中点，同理AGB 为面 ACD 和面 BCD 所成二面角的平面角，由已知CEF = AGB .设底面 CDF 的边长为2a,侧棱 AD 长为 b.在 ACD 中，CE· b=AG·2a,所以AG 2ab 2a 2 2aCE=bb23 a24 a2在 ABC 中，易求得 AB=2b 22 b 2,332b 24 a2b2a 2由 CEF AGB 得 ABAG ,即3CFCE2ab 2a 2b2a解得 b= 4 a,因此 b=2 时， 2a=3,最远的两顶点间距离为3.314.36正四面体 AB

16、CD 的底部是正 BCD ,假设离 BC 边最近的球有n 个，则与底面 BCD 相切的球也有 n 排，各排球的个数分别为n、n-1、3、2、1,这样与底面相切的球共有 1+2+ +n= n(n 1)2个 .由于正四面体各面都是正三角形.因此，正四面体内必有n 层球，自上而下称为：第1层、第 2层、第 n 层，那么第 n-1 层，第 n-2 层，第 2 层，第1 层球的个数分别是：1+2+ +n= n(n1) 、 1+2+ +n-1= (n1) n ,221+2= 23,1=1222n(n1) (n1)n12120,222即 1 n(n+1)( n+2)=120. 6即 (n-8)(n2+11n

17、+90)=0, n=8,因此正四面体内共有 8层小球，其底部所放球数为8 9 =36( 个).2三、解答题15.分析在四面体 ABCD 的基础上，补上一个三棱锥B-MCD .解 如图，连结 MC 、MD ，则 AM平面 MDC ， BM平面 MDC VA-BCD =VA-MDC -VB-MDC = 1 S MDC · (AM-BM )3= 1 SMDC · AB3设M到CD的距离为x,则 SMDC =1CD·x=1cx,第 15 题图解22 VA-BCD = 1 × 1 cx·b= 1 bcx326 x MN=a,当 x=a 时，即 MN 为

18、l 1 与 l2 的公垂线时， VA-BCD 最大，它的最大值为 1abc.6点评x MN,包含 x=MN ,也包含 x<MN ,垂线段小于斜线段 .16.解建立空间直角坐标系，使得D (0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)， M（ 0,0,a） ,E(a,0,a) ， F（ 0,a,a），则由中点坐标公式得P( a ,0, a ),Q( a , a ,0),2222(1) 所以 PM =(-a ,0, a ), FQ ( a ,- a ,-a), PM · FQ =(- a )× a +0+ a × (- a)=- 3 a2,

19、22222224且|PM |= 26 a,所以 cosPM FQ3 a 23 .a,| FQ |=PM ,FQ=4| PM |FQ |2622aa222故得两向量所成的角为150° ;(2) 设 n=( x,y,z)是平面 EFB 的单位法向量，即|n|=1,n平面 EFB ，所以 n EF ,且 n BE ,x3,x2y2z21,3又 EF =(- a,a,0) ， BE =（0,-a,a） ,即有axay0,得其中的一个解是y3 ,ayaz0,33z;3 n= 3 ,3 ,3,PE=a ,0, a,33322设所求距离为d,则 d=| PE ·n|=3a ;3(3) 设

20、 e=(x1,y1,z1 )是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由PM=a ,0, a,FQ=a ,a , a ,2222x12y12z121,得a x1a z10,求得其中的一个 e=3 ,3 ,3，22333a x1a y1az10.22而 MF =(0,a,0)，设所求距离为m,则 m=| MF ·e|=|-3 a|=3a.3317.解（ 1）根据已知，可得四边形ABCE 为平行四边形，所以O为BE中点.OD1AD1AOAD11 (AB AE)AD11 AB1 AE.222(2)OD1AE ( AD11 AB1 AE)AE12 cos 45122 cos451( 2)21.

21、2222 (OD1 )2=( AD1 - 1 AB - 1 AE )2= 3 ,222 |OD1 |=6 .2OD1 AE13 , cos< OD1 , AE >=|OD1| |AE|6322所以 OD 1 与 AE 所成角为 arccos3 .3(3) 设 AE 的中点为 M，则 MD1 = AD1 - 1 AE .2 MD· AB=AD · AB-1AE · AB =1× 2× cos60° - 1× 2 × 2cos45° =0,1122MD1 AB.MD1·AE=AD1

22、83;AE-1AE2 =2 cos 45° - 1×( 2)2=0, MD1 AE .22所以 MD 1 垂直于平面ABCE 内两条相交直线, MD 1平面 ABCE.而 D1M 平面 AD1E，所以平面 AD 1E平面 ABCE .18.(1) 解法一 连结 BC1、 CO， B1O平面 ABC， CO AB， B1C AB，又在菱形 BB1C1C 中， B1C BC1， B1C平面 ABC1， B1C C1A.（ 2）作 C1Q平面 ABC 于 Q 点，连接AQ， C1CQ 是侧棱与底面所成的角，即C1CQ=60° ,在 C1CQ 中， CQ= 1 CC1=A

23、O， C1Q=3 CC1，22由 BC， B1 C1， OQ 平行且相等，又 COAB, QA AB, C1A AB , QAC1是二面角 C1 -AB-C 的平面角 ,在 AQC1中， C1Q=AQ， QAC1=45°第 18 题图解（ 1）第 18题图解（ 2）解法二（ 1）以 O 为原点， OC 所在直线为 x 轴， AB 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图， B1O平面 ABC， B1BO 是侧棱与底面所成角，B1BO=60 ° .设棱长为2a,则 OB1=3 a,BO=a,又 CO 为正三角形的中线，CO=3 a.则 A(0,a,0),B(0,-a,0)

24、,C( 3 a,0,0),B1(0,0, 3 a),C1( 3 a,a, 3 a).B1C =(3 a,0,-3 a), C1 A=(-3 a,0,-3 a).2 2 B1C · C1 A =-3 a +0+3a =0, B1C C1A.(2) 在 C1AB 中， | C1 A |=6 a,| BC1 |=|（3 a,2a,3 a） |= 10 a,| AB |=2a, S C1AB= 6 a2,作 C1Q平面 ABC 于 Q 点，则 Q( 3 a,a,0). S ABQ=3 a2,设二面角C1-AB-C 的平面角为 ,S则 cos =SABQC1 AB2 .2二面角 C1-AB-C 的平面角为 45°.19.（ 1）解法一由条件知 ABC 为直