空间立体几何点线面判断与证明

1、常州知典教育一对一教案学生： 年级： 学科：数学 授课时间： 月 日 授课老师：赵鹏 飞课题空间立体几何点线面判断与证明教学目标(通 过本节课学 生需掌握的 知识点及达 到程度)掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以 及证明面面垂直， 面面平行等方法和步骤， 了解关于几何体中一些基本的计算和比值。本节课考点 及单元测试 中所占分值 比例15%学生薄弱点， 需重点讲解 内容证明时对判断的方法出现错误思维， 导致证明失分， 使用性质时没有给出应有的条件导致扣分，计算的失误使得自己失分。课前检查上次作业完成情况： 优 良 中 差 建 议 :教学过程 讲 义 部 分

2、 考向 1 空间中点、线、面位置关系的判断1平面的基本性质的应用(1)公理 1：证明“点在面内”或“线在面内 ”(2)公理 2 及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共 面”(3)公理 3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”三“线共点 ”要证明“点共线 ”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面 的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线2空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系A若m，B若m，C若m，D若 m，C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行平面

3、还可能相交， D 错误；而由线面平行的性质定理可证 C正确故选 C.A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行【点拨】 解题 (1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定 与性质逐个进行判断， 注意空间位置关系的各种可能情况 解题 (2)时要注意充分利()n?，则 m n答案】 (1)B (2)Cmn，则 n DC，(1还还)对可可于以以n ，则 mn(1)已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行，m；与 n 还可以相交或异面；或 n?或

4、n 与 相交(2)对于命题 A，这两条直线可以相交或为异面直线，A 错误；对于命题 B，这两个平面可以相交， B 错误；对于命题 D，这两个mn，则 n (2)下列命题正确的是 ()用正方体 (或长方体)模型辅助空间想象(1) 解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义， 然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2) 解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长 )方体模型来解决问题考向 2 异面直线所成的角1两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线， 那么这两条相交直线所成的 锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角若

5、记这个角为 ，则 0， 2 .2判定空间两条直线是异面直线的方法(1) 判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B的连线和平面内不经过点 B的直线 是异面直线(2) 反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得 两直线异面(1) (2014大·纲全国， 4)已知正四面体 ABCD中， E是 AB的中点，则 异面直线 CE与 BD 所成角的余弦值为 ( )(2) 如图，已知二面角 -MN-的大小为 60°，菱形 ABCD在面 内，A，B 两点 在棱 MN上， BAD 60°， E是AB的中点， DO面 ，垂足为 O.证明： AB 平面 ODE；

6、求异面直线 BC与 OD 所成角的余弦值解析】 (1)如图，取 AD 的中点 F，连接 CF，EF，则 EFBD， CEF即为异面直线 CE与 BD所成的角1 设正四面体的棱长为 2，则 CECF 3，EF2BD 1.CE2EF2CF2 3 由余弦定理得 cos CEF 2CE·EF 6 .3CE与 BD 所成角的余弦值为 3.故选 B.(2) 证明：如图， DO，6AB?， DOAB. 连接 BD，由题设知， ABD 是正三角形又 E是 AB的中点， DEAB.而 DODE D，故 AB平面 ODE.因为 BC AD，所以 BC与 OD 所成的角等于 AD与 OD 所成的角，即 A

7、DO 是异面直线 BC与 OD所成的角由 知，AB平面 ODE，所以 ABOE.又 DEAB，于是 DEO是二面角 -MN-的平面角，从而 DEO60不妨设 AB 2，则 AD2.易知 DE 3.3在 Rt DOE中， DODE·sin 60°2.连接 AO，在 RtAOD 中，cosADOADDO3232 4.3故异面直线 BC与 OD 所成角的余弦值为 43.【点拨】 解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线 解题 (2)时应 注意异面直线所成的角归结到一个三角形里特别为直角三角形求异面直线所成角的方法(1) 作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可

8、固定一条、平移条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上(2) 证：证明作出的角为所求角(3) 求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时， 容易忽视这个三角形的内角 可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角考向 3 线面平行的判定与性质直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判不在平面内的一条直线与l?定此平面内的一条直线平行，a? ?l 定则该直线与此平面平行 (简la理记为线线平行 ?线面平行 )一条直线与一个平面平行，性则过这条直线的任一平面质a与此平面的交线与该直线a?ab定b平行 (简记为线面

9、平行 ?线理线平行)直线与平面平行的判定定理和性质定理中的三个条件缺一不可； 线面平行的性 质定理可以作为线线平行的判定方法(2014北·京， 17，14 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于 底面， ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是 A1C1，BC的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证： C1F平面 ABE；(3) 求三棱锥 E-ABC的体积【思路导引】 (1)利用已知条件转化为证明 AB平面 B1BCC1；(2)取 AB 的中点 G，构造四边形 FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证； (3)根据题中数据代入公 式计算即可【解

10、析】 (1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1中， BB1底面 ABC. 所以 BB1 AB.又因为 AB BC，所以 AB平面 B1BCC1. 所以平面 ABE 平面 B1BCC1.(2)证明：如图，取 AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 G，F 分别是 AB，BC的中点，1所以 FGAC，且 FG2AC.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，E为 A1C1的中点， 所以 FGEC1，且 FG EC1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形 又所因以为C1FEG?E平G.面 ABE，C1F?平面 ABE， 所以 C1F平面 ABE.(3) 因为 AA1AC2，BC 1， ABBC， 所以

11、 AB AC2 BC2 3.所以三棱锥 E-ABC的体积1.证明线面平行问题的思路V31SABC·AA1 31× 21× 3×1×2 33.(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行 2证明线面平行问题的思路 (二 ) (1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面； (2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3) 证明所作平面与所证平面平行；(4) 转化为线面平行(2013 ·江苏， 18，13 分)如图 ，在边长为 1 的等边

12、三角形 ABC中， D，E分别是 AB，AC上的点， ADAE，F是 BC的中点， AF与 DE交于点 G.将ABF沿 AF 折起，得到如图 所示的三棱锥 A-BCF，其中 BC 22.(1)证明： DE平面 BCF；(2)证明： CF平面 ABF；(3)当 AD，求三棱锥 F-DEG的体积解： (1)证明：在等边三角形 ABC中，ADAE，AD AEADDB AEEC，在折叠后的三棱锥 A-BCF中也成立， DDEE?平B面C.BCF，BC?平面 BCF，DE平面 BCF.(2)证明：由图 ，在等边三角形 ABC中， F是 BC的中点， AFBC，在三棱锥中仍有 AFCF，BFCF12.在三

13、棱锥 A-BCF中， BC 22，BC2BF2CF2，CFBF.又BFAFF， CF平面 ABF.(3)由(1)可知 GECF，结合(2)可得 GE平面 DFG.VF- DEGVE- DFG31×21·DG·FG·EG1 1 1 13×2× 3× 3××33. 324.考向 4 面面平行的判定与性质平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判 定 定 理一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行， 则这 两个平面平行 （简记为线面 平行 ?面面平行 ）a?b?a b P ? a b性 质

14、定 理如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们 的交线平行 a ?ab b平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法， 注意 一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面 ABCD， ABAA1 2.(1) 证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积【解析】 (1)证明：由题设知， BB1 綊 DD1， 四边形 BB1D1D 是平行四边形， BDB1D1.又 BD?平面 CD1B1，BD平面 CD1B1.A1D1綊 B1C1綊 BC，

15、四边形 A1BCD1 是平行四边形， A1BD1C.又 A1B?平面 CD1B1，A1B平面 CD1B1. 又BDA1BB， 平面 A1BD平面 CD1B1.(2)A1O平面 ABCD，A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1的高 又AO21AC1，AA1 2， A1O AA12 AO21.又 SABD 2× 2× 21， VABD-A1B1D1SABD·A1O 1.【点拨】 解题 (1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通 过取特殊四边形来完成证明； 解题 (2)的关键是选易求高的底面， 利用线面垂直的判 定找高1.判定面面平行的四个方法 (1)利

16、用定义：即判断两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理 (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(4) 利用平面平行的传递性， 即两个平面同时平行于第三个平面， 则这两个平面 平行2平行问题的转化关系(2014 ·十校联考， 18，12 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， D 是 BC 上一点，且 A1B平面 AC1D，D1是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明：如图，连接 A1C交 AC1于点 E，连接 ED. 四边形 A1ACC1 是平行四边形， E 是 A1C的中点A1B平面 AC1D，平面 A1BC平面 AC1D ED， A1BED.E

17、是 A1C的中点， D是 BC的中点 又 D1 是 B1C1 的中点， D1C1 綊 BD， 四边形 BDC1D1 为平行四边形， BD1C1D.又 A1BBD1 B， DEDC1 D， 平面 A1BD1平面 AC1D.考向 5 线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判 定 定 理一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直， 则该 直线与此平面垂直a，b?abO?l la lb性 质 定 理垂直于同一个平面的两条直线平行a?ab b如图，四棱锥 P-ABCD中，底面是以 O 为中心的菱形，PO底面 ABCD，1AB 2， BAD 3，M 为 BC上一点，且

18、BM2.(1)证明： BC平面 POM；(2)若 MPAP，求四棱锥 P-ABMO 的体积【思路导引】 (1)由余弦定理、 勾股定理等知识先证 OMBM，再由线面垂直 的判定定理证明；(2)将底面四边形 ABMO分为ABO与 MBO 来求面积，根据 (1)中结果，利用勾股 定理、余弦定理求出 PO，代入棱锥的体积公式求解【解析】 (1)证明：如图，连接 OB，因为四边形 ABCD为菱形， O 为菱形中心，所以 AOOB.因为BAD3，故 OBAB·sinOAB2sin6 1.1又因为 BM2，且OBM 3 ， 在OBM中，OM2OB2BM22OB·BM·cosOB

19、M12 21 2×1×21×cos3 34. 所以 OB2OM2 BM2，故 OMBM.(2)由(1)可得，OAAB·cosOAB2·cos6 3.设 POa，由 PO底面 ABCD知， POA为直角三角形， 故 PA2PO2 OA2a23. 由POM也是直角三角形，3故 PM2 PO2OM2 a24.12如图，连接 AM.在ABM 中，AM2AB2BM22AB·BM·cosABM22 2 2×5 3× 3 58 × 2 16.1.证明直线与平面垂直的般步骤由已知 MPAP，故APM 为直角三角

20、形， 3 21则 PA2PM2AM2，即 a2 3a243241，得 a 23，a 23(舍去 )，即 PO 23.此时 S 四边形 ABMO SAOB SOMB21·AO·OB21·BM·OM 21× 3×112×21× 23583.2 2 2 2 8所以四棱锥 P-ABMO 的体积11 VP- ABMO 3· S四边形 ABMO·PO3×(1) 找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直(2) 证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直(3) 用：利用线面垂直的判定定理，

21、得出结论2判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理(2)利用 “两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理考向 6 面面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l? ll?la la(2014 ·江苏，16，14 分)如图，在三棱锥 P-ABC中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知 PAAC，PA6

22、，BC8，DF5.求证： (1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.【思路导引】 (1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，平行的判定定理进行求证； (2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直【证明】 (1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC的中点，再运用直线与平面要证线面垂直可所以直线 PA 平面 DEF.DEF，DE?平面 DEF，(2)因为 D，E，F分别为棱 PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以 DEPA， 11DE2PA3，EF2BC4.又因为 DF 5，故 DF2DE2 EF2，所以 DEF90°，即 DE

23、EF.所以平面 BDE 平面 ABC.ABC，1. 面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂 线；(2)用面面垂直的定义， 即证明两个平面所成的二面角是直二面角， 把证明面面 垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系考向 7 线面角、二面角的求法 O l，OA? ，OB?， OAl，OBl，则 AOB(2)二面角 的范围： 0°如图，四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是平行四 边形， BABD 2，AD2，PAPD 5，E，F 分别是棱 AD，PC的中点(1) 证明： EF平面 PAB.(2) 若二面角 P-AD

24、-B为 60°，证明：平面 PBC平面 ABCD；求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值思路导引】 (1)因为 E，F 分别是所在棱的中点，可取PB的中点 M ，证明四边形 AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明(2) 连接 PE，BE，由题意知 PEB60°，在PEB中利用余弦定理证出 BEPB.又 BE AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； PBC，则 EFB即为直线 EF与平面 PBC所成的角解析】 (1)证明：如图，取 PB中点 M ，连接 MF，AM.因为 F 为 PC中点1故 MFBC且 MF 2BC.由已知有 BCAD， BCAD.

25、 又由于 E为 AD的中点， 由 知 BE平面因而 MF AE且 MFAE， 故四边形 AMFE 为平行四边形，又所以AME?F平面平面PAPB，AB而. EF?平面 PAB，(2) 证明：如图，连接 PE，BE.因为 PAPD，BABD，而 E为 AD 的中点， 故 PE AD， BEAD， 所以PEB为二面角 P-AD-B 的平面角在PAD中，由 PA PD 5，AD2，可解得 PE2. 在ABD中，由 BABD 2， AD2，可解得 BE1. 在PEB中，PE2，BE1，PEB60°， 由余弦定理，可解得 PB 3， 从而 PBE90°，即 BEPB.又 BCAD，

26、BEAD，所以 EFB为直线 EF与平面 PBC所成的角由 PB 3及已知，得 ABP 为直角而 MB21PB 23，可得 AM 211，故 EF 211.又 BE1，故在 RtEBF中， sinEFBBEEF2 1111.所以直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值为2 11111.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3) 计算：即通过解三角形的方法求出所求角 2空间角的找法 (1)线面角 找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足(2)二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有： 定义法； 垂面法其中定义法是最常用的方法巩固

27、练习：1.如图，在四棱锥 P- ABCD中底面 ABCD是矩形， PA平面 ABCD，PAAD2， AB 1，BMPD 于点 M.(1)求证： AMPD；(2)求直线 CD与平面 ACM 所成的角的余弦值课 堂 练 习2. 如图所示，在四棱锥 S-ABCD中，底面 ABCD是菱形， SA平面 ABCD，M，N 分别为 SA， CD的中点(1)证明：直线 MN平面 SBC；(2)证明：平面 SBD平面 SAC.3.如图 ，在直角梯形 ABCD中，AD BC，ADC90°，ABBC.把 BAC沿AC折起到 PAC的位置，使得 P点在平面 ADC上的正投影 O恰好落在线段 AC上， 如图

28、所示，点 E，F 分别为棱 PC，CD的中点(1)求证：(2)求证：平面 OEF平面 APD；CD 平面 POF；(3)若 AD 3， CD4，AB5，求四棱锥 E-CFO的体积错 题 回 顾1.解PA：(A1)B证. 明：PA平面 ABCD， AB?平面 ABCD， PAA，AD?平面 PAD， PA?平面 PAD，ABBMPPDD.，ABBMB，AB?平面 ABM，BM?平面 ABM， PD平面ABM. AM?平面 ABM， AM PD.(2)由(1)知， AMPD，又 PA AD，则 M 是 PD 的中点在 RtPAD中， AM 2，在 RtCDM中， MC MD2DC2 3， 16 SACM2AM&