矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解

1、设体系中某处的物理参数 ( 如温度、速度、浓度等 ) 为 w，在与其垂直距离的 dy 处该参数 为 w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或 温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。在向量微积分中， 标量场的梯度是一个向量场。 标量场中某一点上的梯度指向标量场增长 最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间 Rn 到 R的函数的 梯度是在 Rn 某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。在单变量的实值函数的情况， 梯度只是导数， 或者， 对于一个线性函数， 也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度， 也

2、就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。 可以通过取向量梯度 和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。在二元函数的情形，设函数 z=f(x,y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P(x,y) D，都可以定出一个向量( f/x)*i+( f/y)*j这向量称为函数 z=f(x,y) 在点 P(x,y) 的梯度，记作 gradf(x,y)类 似的 对三元 函数也可以定义一个：( f/x)*i+( f/y)*j+( f/z)*k 记为 gradf(x,y,z)2. 散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。 简单地说， 流体在运动中集中的区域为辐合， 运动

3、 中发散的区域为辐散。 用以表示的量称为散度， 值为负时为辐合， 此时有利于天气系统的的 发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。微积分学多元微积分多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q,z)j + R(x,y,z)k给出，其中 P 、 Q、 R 具有一阶连续偏导数， 是场内一有向曲面， n 是 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量，而 P/x + Q/ y + R/z叫做向量场 A 的散度，记作 div A ，即 div A = P/x + Q/

4、y + R/z。上述式子中的 为偏微分( partial derivative)符号。3 旋度表示曲线、流体等旋转程度的量4. 矢量和标量场假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标(x, y, z )唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字， 那么整个空间就充满了数字。 此时， 这个充满数字的三 维空间在数学上就叫做“场” 。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量 (scalar) ”。如果我们给空间的每一 个点都赋予一个矢量 (vector) ，即一个既有大小， 又有方向的东西， 那么整个空间就变成充 满了矢量，这个空间就叫做矢量场。矢量场中的每一点都对应于一个矢

5、量， 而矢量能够根据规则进行各种运算， 例如加、 减和乘 等(数学上没有矢量的除法) 。显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算， 例如同时将它们乘以一个 数，或加上一个数等。 但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算， 其中散度就是其 中一种。三维空间中的一个矢量可以沿 x、y 和 z 方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够 沿着这 3 个方向分解为大小为 P、Q和 R的三个分量，表示为( P，Q， R)。注意，由于空间 中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和 R 的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说 P、 Q和R中每一个都是 x、y和 z的函数。对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为(P， Q，R)进行以下操作：1、求出 dP/dx dQ/dy dR/dz 的值，其中 dP/dx 表示求 P对 x 的一阶偏导数，其余雷同； 2、将这个值赋予这个点对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度这种运算就叫做“对矢量场取散度” 。除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运