线性系统的频域分析法

1、第5章 线性系统的频域分析法Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 幅相曲线 对数频率特性曲线 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制5.3典型环节的幅相曲线的绘制 5.4稳定裕度和判据 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制5.2.5最小相位系统与非最小相位系统Minimum phase systems and non-minimum phase systems在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统，反之，具有非最

2、小相位传递函数的系统，称为非最小相位系统。在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。作为例子，考虑下列两个系统，它们的特性频率分别为：， 图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图如前所述，对于最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然。这个结论对于非最小相位系统不成立。图5

3、-19的相角特性图5-19的相角特性对于最小相位系统，相角在时变为，n为极点数，m为零点数。两个系统的对数幅值曲线在时的斜率都等于。因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在时相角。如果当时对数幅值曲线的斜率为，并且相角等于，那么该系统就是最小相位系统。5.2.6传递延迟(Transport lag)See p190传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，高频时将造成严重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。延迟环节的输入和输出的时域表达式为其幅值总是等于1。这是因为因此，传递延迟的对数幅值等于0分贝。传递延迟的相角为图5

4、-20传递延迟的相角特性曲线5.2.7系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。当趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。j静态位置误差常数的确定图5-21单位反馈控制系统考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为图5-22为一个0型系统对数幅值曲线的例子。在这个系统中，在低

5、频段等于，即由此得知，低频渐近线是一条幅值为分贝的水平线。cf2_dB = 9.54242509439325cf3_dB = -30.45757490560675图5-22 某一0型系统对数幅值曲线k静态速度误差常数的确定考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-23为一个1型系统对数幅值曲线的例子。斜率为的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为。这可证明如下：在1型系统中因此 斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于。假设交点上的频率为，于是即作为一个例子，考虑具有单位反馈的1型系统，其开环传递函数为：如果定义转角频率为，假设斜率为的直线与/或其延长线与0分

6、贝线的交点为， ， ，由此得到即 在伯德图上，因此，点恰好是点与点之间的中点。图5-23 某个1型系统对数幅值曲线cf2_dB = 6.02059991327962cf1_dB = 26.02059991327962cf3_dB = -33.97940008672038l静态加速度误差常数的确定考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-24为一个2型系统对数幅值曲线的例子。斜率为的起始线段/或其延长线，与的直线的交点具有的幅值为。由于低频时所以 斜率为的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为在数值上等于的平方根。证明如下： 于是图5-24 2型系统对数幅值曲线5.3极坐标图(Polar

7、 plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线频率特性是复数。可用幅值和相角的向量表示。当输入信号的频率由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开始，以逆时针/顺时针旋转来定义的。图5-25是这类极坐标图的一个例子。图5-25 极坐标图的极坐标图上的每一点，都代表一个特定值上的向量端点。在实轴和虚轴上的投影，就是的实部和虚部。采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响。5.3.1积分与微分因子所以的极坐标图是负虚轴。的

8、极坐标图是正虚轴。图5-26 积分因子极坐标图图5-27 微分因子极坐标图5.3.2一阶因子 图5-27 微分因子极坐标图图5-28 一阶因子极坐标图图5-29 一阶因子极坐标图5.3.3二阶因子 的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。对于欠阻尼情况，当时，我们得到，相角为。因此可以看出，的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率。在极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率。这时的峰值，可以用谐振频率处的向量幅值，与处向量幅值之比来确定。对于过阻尼情况，当增加到远大于1时，的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特

9、征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。因为对于足够大的值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。图5-30 二阶因子极坐标图对于 极坐标图的低频部分为： 极坐标图的高频部分为：图5-31 二阶因子极坐标图例5-2 考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。解：极坐标图的低频部分为： 极坐标图的高频部分为： 图5-32 极坐标图5.3.4传递延迟极坐标图极坐标图欠阻尼极坐标图极坐标图极坐标图的一般形状图5-335.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图图5-34 二阶因子对数幅-相图5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stabilit

10、y Criterion)图3-35 闭环系统考虑图5-35所示的闭环系统，其闭环传递函数为为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式

11、的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。预备知识可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：其特征方程为：函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。例如，则为：这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。S平面 平面（a）(b)

12、(d)图5-36 s平面上的图形在平面上的保角变换图5-36（a）所示为上半s平面内的直线和在平面上的保角变换。例如，上半s平面内的直线映射到平面上，就变成了平面上的的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨迹ABCD，其在平面上对应曲线是A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动方向。根据保角变换的性质，s平面相上和平面上对应的角度是相等的，并且具有相同的意义（例如，因为s平面内的直线AB与CD相互垂直，所以在 平面上A1B1与C1D1在B1点也构成直角）。由图5-36(b)可以看出，当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次。在的平面上，图形包围原点的次数，取决于s平面上的封

13、闭曲线。例如，这个曲线当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，相应的的轨迹将不包围原点。如图5-36（c）所示。如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，如图5-36（d）所示。如果s平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点，如图5-36（d）所示。对于s平面上的每一点，除了奇点外，在平面上只有一个相应的点与之对应，即从s平面到平面的影射是一一对应的。但是，从平面到s平面的影射不是一一对应的，因为对于平面上的某一给定点，在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36（c）中，对于平面上的B1点，在s平面上与之对应的有(-3,3)和

14、(0,-3)两个点。如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2)，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，相应的封闭曲线不包围平面上的原点。上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。影射定理设为两个s的多项式之比，并设P为的极点数，Z为的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内，且有多重极点和多重零点的情况。又设上述封闭曲线不通过的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时，在平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R等于Z-P。若R为正数，表示的零点数超过了极点数；若R为负数，表示的极

15、点数超过了零点数。在控制系统应用中，由很容易确定的P数。因此，如果，的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数很容易确定。影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个轴(从到)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成。该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)，如图5-37所示。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了的所有正实部的极点和零点。如果在右半s平面不存在零点，则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。封闭曲线，即奈奎斯特曲线不通过的任何极点和零点。如果将影射定理应用到的特殊情况，可以

16、陈述如下：如果s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面，则函数在右半s平面内的零点数等于函数右半s平面内的极点数，加上在平面内的对应封闭曲线对平面上原点的顺时针方向包围次数。图5-37 s平面内的封闭曲线根据前面的假设条件，有闭环即当s沿半径为无穷大的半圆运动时，函数保持常数。因此，的轨迹是否包围了平面上的原点，可以考虑s平面上的封闭曲线的一部分，即只考虑轴来确定。传函数奈奎斯特闭环系统奈奎斯特稳定判据 利用的轨迹，对-1+j0点的包围情况以及分析系统的方法概括为下列奈奎斯特稳定判据（对于在轴上既无极点也无零点的特殊情况）：如果开环传递函在s右半平面内有k个极点，并且，则为了使闭环系统稳定，当从变

17、到时，的轨迹必须反时针包围-1+j0点k次。 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明这一判据可表示为：式中函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数函数在右半s平面内的极点数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。如果函数在右半s平面内无任何极点，则。因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。含有位于上极点和/或零点的特殊情况 图5-39 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中 因为奈奎斯特轨迹不能通过的极点/和或零点。S平面上的封闭曲线的形状必须加以改进。在原点附近采用半径为无穷小的半圆，如图5-39所示。变量沿着轴从运动

18、到，从到，变量沿着半径为（）的半圆运动，再沿着正轴从运动到。从开始，轨迹为半径为无穷大的半圆，变量沿着此轨迹返回到起始点。图5-40 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：设 则当s平面上的时，的相角。如图5-40所示。在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。 如果含有位于轴上的极点和/或零点，则可以采用类似的方法进行分析。 奈奎斯特稳定判据（对于含有位于轴上的极点和/或零点

19、的一般情况）：如果开环传递函数在右半s平面内有k个极点，则为了使系统稳定，当变量s顺时针通过变化后的奈奎斯特轨迹时，轨迹必须反时针方向包围点k次。5.6稳定性分析如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含的Z个零点和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。a)不包围-1+j0。如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。b)反时针包围点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。c)顺时针包围点。系统是不稳定的。例5-3

20、设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。图5-41 例5-3中的极坐标图例5-4 设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：j增益K较小k增益K较大。小K值大K值图5-42 例5-4中的极坐标图在右半s平面内的极点数等于零。为了使系统稳定必须保证，或者说的轨迹不包围点。对于小K，的轨迹不包围点，因此系统在小K值时是稳定的。对于大K，的轨迹顺时针包围点两次，说明有两个闭环极点为位于右半s平面，因此系统在大K值时是稳定的。例5-5 设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和相对大小

21、。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。稳定不稳定图5-43 例5-5中的极坐标图 时，的轨迹不包围，因此，系统是稳定的。当时，的轨迹通过点，这表明闭环极点位于轴上。当 时，的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。例5-6 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。图5-44 例5-6中的极坐标图在右半s平面内有一个极点()，因此。图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，因此，。因为。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定

22、性。在右半s平面内有一个极点()，因此。开环系统是不稳定的。图5-45表明轨迹逆时针方向包围点一次，因此，因为，这说明没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。图5-45 例5-7中的极坐标图例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为式中均为正值。为使系统稳定，开环增益与时间常数之间满足什么关系？解 ：此式太复杂利用上式直接令虚部为零即可。虚部为零与负实轴相交于画出一半利用对称性画出另一半。 图5-45b 例5-8 题的极坐标图图5-46 的极坐标图图-46所示为3种具有不同开环增益值的极坐标图。对于大的K值，系统是不稳定的。当增

23、益减小到一定值时，的轨迹通过点。对于小的K值，系统是稳定的。一般来说，的轨迹越接近与包围-1+j0点，系统响应的震荡性越大。因此，的轨迹对点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。Positive Gain MarginPositive Phase Margin-11Negative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System图5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度j相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的截止频率(Gain c

24、ross-over frequency)为定义相角裕度为相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。当 时，相位裕量相位裕度为正值；当时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和-180度。k增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)，定义幅值裕度为幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。若以分贝表示，则有当增益裕度以分贝表示时，如果，则增益裕度为正值；如果，则增益裕度为负值。正增益

25、裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对

26、-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，增益裕度应当大于6分贝。例5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为。试求：K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。解： 即 在处的开环对数幅值为根据

27、K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)为 由题意知 验证是否满足相位裕度的要求。根据的要求，则得： 不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。图5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意图例5-10 已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图5-49所示（最小相位系统）。试求：j所示所示单位反馈系统已知已知已知已知例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。j写出系统的开环传递函数k判别系统的稳定性l如果系统是稳定的，则求时的稳态误差。图5-50 最小相位系统的开环对数幅频特性解：j由图得k由于是最小相位

28、系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知。在处则得0 系统稳定l单位斜坡输入时，系统的稳态误差为谐振峰值幅值和谐振峰值频率 (5-22)令 (5-23) (5-24)或 (5-25)，时有最小值有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用表示。 (5-26)谐振频率标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系书上例5-13p203在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。设为截止频率，则有 根据相位裕度的定义 上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比