北师大版高中数学选修2-1检测题及答案.doc

1、高二（理科）期末考试数学试题金台高级中学晁群彦一.选择题（每小题 5分，满分6。分）1 .设l,m,n均为直线 淇中m,n在平面a内，则是_L m且l _L n”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2 .对于两个命题： yx R, -1 <sin x <1 ,三x w R,sin 2 x + cos2 x > 1 ,下列判断正确的是（）。A.假真 B.真假 C.都假 D.都真23 .与椭圆 上 + y2 =1共焦点且过点 Q（2,1）的双曲线方程是（）4222222 yx 2x 2x yA. x - - =1 B.-y=1

2、 C.-y=1 D.=1242334 .已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A, B两点，则AABF2是正三角形，则椭圆的离心率是（）5 .过抛物线2y = 8x的焦点作倾斜角为450直线l ,直线l与抛物线相交与A, B两点,则弦AB的长是（）A 8B 16C 32D 64Fi,F2,点P在椭圆上，则APF1F2的面积 最226 .在同一坐标系中，方程 a x +b x =1与ax+by = 0（a > b > 0）的曲线大致是（）7 .已知椭圆Y+yT=1（a >b>0）的两个焦点 a b大值一定是（）A a2B abC aa2b2D

3、 b. a2 - b28 .已知向量a =（1,1,0）,b =（1,0，2）,且ka十的2a b互相垂直则实数k的值是（）137A. 1B. 5C,5 D, 59.在正方体ABCD_ABGD中，e是棱AB1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）.5,. 10.5,10A 而 B.而 C.亏 D. 丁1 0若椭圆mx222B. =1 C. = 11216164二.填空题（每小题4分）13.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O,给出下列表达式： 1 OM = xOA yOB - OC 其中x, y是实数，若点 M与A、B、C四点共面，则x+y=1 4 .斜率为1的直线经过抛物线

4、y2 = 4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则AB等21 5 .若命题P:坷x>0, ax-2-2x <0”是真命题，则实数a的取值范围是 1 6 ,已知/AOB=90 C为空间中一点，且 /AOC=/BOC=601则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为 +ny2 =1（m>0,n >0）与直线y=1x交于A, B两点,过原点与线段 AB中点2 口的连线的斜率为，则m的值是（）A. 2.2B.二C.D, 29221 1 .过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1（X1,y1 ）P2（X2,y2 ）两点，若% +丫2 =6,则PP2的值为 （）A. 5 B .

5、 6 C .8 D . 1022x y1 2 .以 工=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）22A. = 11612D.412三.解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。）1 7 .（本小题满分1 4 ）设命题 P： "VxwR,x22xa",命题 Q： txwR,x2+2ax + 2 a = 0"；如果P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围。1 8 . （1 5分）如图在直角梯形 ABCP中，BC /AP, AB ± BC, CD LAP, AD=DC=PD=2 , E, F, G 分别 是线段PC、PD, BC的中点，现将

6、APDC折起，使平 面PDCL平面ABCD （如图）（I ）求证AP /平面EFG;（II）求二面角 G-EF-D的大小；（山）在线段 PB上确定一点 Q,使PC,平面ADQ, 试给出证明.19. （1 5分）如图，金砂公园有一块边长为 2的等边4ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（I ）设AD = x , DE = y，求y关于x的函数关系式；（II）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里? 请予以证明.2 0 (本小题满分 1 5分)2 2设Fi,F2分别为椭圆C :与+与=1(a Ab A0)的左、右两个焦点.a b

7、3 (I)若椭圆C上的点A(1,q)到Fl ,F2两点的距离之和等于 4,求椭圆C的方程和焦点坐标； 1(n)设点P是(I)中所得椭圆上的动点，Q(0,1)，求| PQ |的最大值。1 1 (本小题满分 1 5分)如图，设抛物线C： x2=4y的焦点为F,P(xo, yo)为抛物线上的任一点(其中过P点的切线交y轴于Q点.(I)证明：FP =FQ ；(n) Q点关于原点O的对称点为M ,过M点作平行于PQ的直线交抛物线C于A、B两点，若AM =，uMB (儿下1),求九的值.高二(理科)期末考试数学试题参考答案及评分标准,选择题：ABCCB DCBDB DD 2、填空题：13. 31 3 .8

8、14 .(-00-4)1 5详解：由对称性点 C在平面AOB内的射影D必在NAOB的平分 线上作DE，OA于E ,连结CE则由三垂线定理CE1OE ,设 DE =1 =OE，OD =Q ,又 /COE苴 0 ,CE_L OM 。屈所以 CD =GOC -OD2 =,因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值sin /COD =2 ,本题亦可用向量法。16.y = ex三.解答题：1 7解：命题 P： "Vx = R, x2 -2x>a"2-2即 x 2x=(x1) 1>a 恒成立 u a < -1 3 分命题 Q ："三x w R,x2+2ax+2a

9、 = 0"即方程x2+2ax +2 -a =0有实数根 A=(2a)2 4(2a)之 0 u a W2或 a 之1 6 分P或Q”为真，P且Q”为假，P与Q 一真一假8分当P真Q假时，2<a<1；当P假Q真时，a >11 0，a 的取值范围是(-2,-1)U1,+cC)141 8 (14分)解法一：(I)在图中 二.平面PDCL平面 ABCD , APXCD直线DA、DC、DP分另I为 PDXCD, PDXDA.PDL平面 ABCD如图.以D为坐标原点,与z轴建立空间直角坐标系： 1分则 D 0,0,0 A 2,0,0 B 2,2,0 C 0,2,0 P 0,0,2

10、 E 0,1,1 F 0,0,1 G 1, 2, 0二而=62,0,2) EF=(0,-1,0) FG=(1,2,_1) 3彳 设平面GEF的法向量n=(x, y,z),由法向量的定义得:y = 0x 2y-z =0y =0二？n *EF =0'(x, y,z) .(0,-1,0) =0J-14一)n*FG =0、(x,y,z).(1,2,1)=0”不妨设 z=1,则 n =(1,0,1)AP n = -2x1+2M0+1 M2 =05 分二AP L n ,点p三平面EFG.AP/平面 EFG 6分(II)由(I )知平面 GEF的法向量n =(1,0,1),因平面EFD与坐标平面 P

11、DC重合,8 分9分则它的一个法向量为i = (1, 0, 0) |ni 设二面角G -EF _D为®则 COSQ =丁丁 n10分由图形观察二面角 G-EF-D为锐角，故二面角 G-EF-D的大小为45°。(出)假设在线段 PB上存在一点 Q,使PC,平面ADQ ,P、Q、D三点共线，则设DQ =(1-t)DP+tDB 又 DB =(2,2,0 ), DP =(0,0,2 )11分DQ =(2t,2t,2 -2t),又 DA =(0,0,2 )若 PC,平面 ADQ ,又 PC =(0,2,-2)PC ,DA =0PC ,DQ =0I.1=2 2t -2(2 -2t) =

12、0= t =-(0,2,-2) /2,0,0) =0J0,2,-2) *(2t,2t,2 -2t) =0. 1 DQ =1(DP +DB) 2, 13 分故在线段PB上存在一点Q,使PC,平面ADQ ,且点Q为线段PB的中点。1 5分解法二：(1) EF / CD / AB , EG / PB,根据面面平行的判定定理平面 EFG/平面 PAB,又 PA二面 PAB,. AP /平面 EFG4分(2) ,.平面 PDCL平面 ABCD , AD XDC.ADL平面 PCD,而 BC/AD, . BC，面 EFD过C作CR，EF交EF延长线于R点连GR,根据三垂线定理知/GRC即为二面角的平面角，

13、: GC=CR ,GRC=45 ,故二面角 G-EF-D的大小为45°。8 分(3) Q点为PB的中点，取 PC中点M,则QM/BC,.QMPC在等腰 RtAPDC 中，DM ±PC,PCX面 ADMQ1 9 (14 分)解：(1)在 4ADE中，y 2= x2 + AE2 2x AEcos60=y 2= x2 +AE2 x1AE,1X SA ADE = SAABC =3aa22= x AE sin60 0 x AE = 2.代入得y2=x2 +2 2-2x( y >0), . . y =x242 -2又X W2,若x父1 ,al2cAE =-液，所以x "

14、 x(2)如果当且仅当x2 -42 -2DE是水管x (1<x<2).y =仅2 + g - 2 春 2 ,22二、210x2= x ，即x = J2时="成立,故 DE / BC,且 DE= "；2 .2 0解：(I )椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点 A至iJFi、F2两点的距离之和是4,得 2a=4,即 a=2. .2 分又点A(1,3)在椭圆上，因此4+生=1得b2 =3,于是c222b22=1. .4 分所以椭圆2C的方程为4+ £ =1，焦点 Fi(1,0), F2(1,0).3(H)设P(x,y),则|PQ|2 = x21 x242(y-R =4-y23y2-yT1 2-y -y 317-八+ .10分413 2(y )532.12分又二,<3«y« 百，当y =一1时,|PQ|max = "5.15分2 1解：(I )证明：由抛物线定义知 | PF |=y0 +1 ,kPQ =y |xXo可得PQ所在直线方程为y y0 =也（x -x0）,22X0. % = 下4，得Q点坐标为(0, -y0)|QF |= yo +1|PF|=|QF|(n )设 A(x1, yi), B(X2, y2),又 M 点坐标为(0, yo)Xn .AB方程为y=