三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用ABCDG一 知识总结1重心(中线交点)G是ABC的重心证明 作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=，得=，故G是ABC的重心.(反之亦然(证略)为ABC的重心(P是平面上的点).证明 G是ABC的重心=，即由此可得.(反之亦然(证略)【例1】 已知向量，满足条件+=，|=|=|=1，求证 P1P2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五B组第6题)证明 由已知+=-，两边平方得=，同理=，|=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中

2、心，则显然有+=且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.2垂心(高线交点)ABCDHH是ABC的垂心由,同理，.故H是ABC的垂心.(反之亦然(证略)若H是ABC(非直角三角形)的垂心，则ABCDOSBHC：SAHC：SAHB=tanA：tanB：tanC故tanA+tanB+tanC=3外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)O是ABC的外心|=|=|(或2=2=2)(点O到三边距离相等)(+)=(+)=(+)=0(O为三边垂直平分线)若O是ABC的外心，则SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B

3、：sin2C故sin2A2sin2B+sin2C=4内心(角平分线交点，内切圆圆心)ABCDOO是ABC的内心充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记，的单位向量为，则O是ABC内心的充要条件可以写成(+)=(+)=(+)=O是ABC内心的充要条件也可以是a+b+c=若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOB=a：b：c故a+b+c=或sinA+sinB+sinC=;为ABC的内心;向量所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；*设P是ABC所在平面内任意一点，I为ABC内心的充要条件是ACBP【例2】 O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满

4、足，0，+)则P点的轨迹一定通过ABC的(B)(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为和，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.5外心与重心：O是ABC的外心，G是重心，则6外心与垂心：O是ABC的外心，H是垂心，则证明 若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.ADAB，CDBC.又垂心为H，AHBC，CHAB，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.7重心与垂心：G是ABC的重心，H是垂心，则8外心、重心、垂心：O、G、H分别是锐角ABC的外心、重

5、心、垂心，则证明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 ，由此可得 .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。【例3】 在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,，GHQ

6、DAyC(x2,y2)FEB(x1,0)x即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2二练习1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(+2),则点P一定为三角形ABC的( B)A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心 D.AB边的中点分析：取AB边的中点M，则，由=(+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。2在同一个平面上有及一点满足关系式：2+2=2+222，则为ABC的(D)A.外心 B.内心 C重心 D垂心3已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为ABC的(C)A.外心 B.

7、 内心 C重心 D垂心4已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过ABC的(C)A.外心 B. 内心 C. 重心 D垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：，则P点为三角形的 (D)A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的(B)A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心7在三角形ABC中，动点P满足：，则P点一定通过ABC的(B )A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心8.非零向量与满足(+)=0且=,则ABC为(D)A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D等边三角形解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC为等边三角形.9.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m= 110.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交