2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷

1、2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（4分）已知集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（）A1U（MP）B2U（MP）C3U（MP）D6U（MP）2（4分）下列函数在区间（，0）上是增函数的是（）Af（x）=x24xBg（x）=3x+1Ch（x）=3xDt（x）=tanx3（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若，则实数t的值为（）A9B1C1D94（4分）下列函数中，对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是（）Af（x）=xBf（x

2、）=sinxCf（x）=cosxDf（x）=log2（x2+1）5（4分）代数式sin（+）+cos（）的值为（）A1B0C1D6（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）ABCD7（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称（|），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=8（4分）已知函数f（x）=其中MP=R，则下列结论中一定正确的是（）A函数f（x）一定存在最大值B函数f（x）一定存在最小值C函数f（x）一定不存在最大值D函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9（4分）函

3、数y=的定义域为 10（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为 11（4分）已知角终边上有一点P（x，1），且cos=，则tan= 12（4分）已知ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，则x= （ii）若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是 13（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到 单位14（4分）已知函数f（x）=|ax1|

4、（a1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）1的x的取值范围为 ；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为 三.解答题（本大题共4小题，共44分）15（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（）求实数b的值；（）记函数g（x）=f（x）2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；（）求证：不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立16（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（x+）图象时的五个关键点的坐标（其中A0，0，|）xf（x）02020（）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数f（x）的

5、单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的取值范围17（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（，0），锐角的终边与单位圆O交于点P（）用的三角函数表示点P的坐标；（）当=时，求的值；（）在x轴上是否存在定点M，使得|=|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由18（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的xR成立，则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x，g（x）=sinx是否是函数；（只需写出结论）（）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是

6、函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（）求证：当a1时，函数f（x）=ax一定是函数选做题（本题满分10分）19（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，V，定义V（，）=|xV|x=x|（1）请你任意写出两个平面向量，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中，求证：一定存在实数1，2，且1+2=1，使得=1+22016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择

7、题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（4分）已知集合U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（）A1U（MP）B2U（MP）C3U（MP）D6U（MP）【解答】解：由已知得到MP=1，5，2，4；所以U（MP）=3，6；故A、B、D错误；故选：C2（4分）下列函数在区间（，0）上是增函数的是（）Af（x）=x24xBg（x）=3x+1Ch（x）=3xDt（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x24x=（x2）24，在（，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（，0）上是单调增函数，满足题意；对

8、于C，h（x）=3x=是（，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意故选：B3（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若，则实数t的值为（）A9B1C1D9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若，可得t=9故选：D4（4分）下列函数中，对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是（）Af（x）=xBf（x）=sinxCf（x）=cosxDf（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的xR，满足条件f（x）+f（x）=0的函数是奇函数A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B5（4分）代数式

9、sin（+）+cos（）的值为（）A1B0C1D【解答】解：sin（+）+cos（）=故选：C6（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）ABCD【解答】解：设向量，的夹角为，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），向量=，=，E（，1），F（1，），=（，1），=（1，），|=，=，=+=，cos=，=，故选：B7（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称（|），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【解答】解：函数f（x）=3sin

10、（2x+）的图象关于点（，0）成中心对称，2×+=k，kZ，解得：=k，kZ，|，=，可得：f（x）=3sin（2x+），令2x+=k+，kZ，可得：x=+，kZ，当k=0时，可得函数的对称轴为x=故选：B8（4分）已知函数f（x）=其中MP=R，则下列结论中一定正确的是（）A函数f（x）一定存在最大值B函数f（x）一定存在最小值C函数f（x）一定不存在最大值D函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+），y=x2的值域为0，+），且MP=R，若M=（0，+），P=（，0，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（，2），P=2，+），则f（x）无最小值为，

11、故B错；由MP=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值故选：C二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9（4分）函数y=的定义域为2，+）【解答】解：由2x40，得2x4，则x2函数y=的定义域为2，+）故答案为：2，+）10（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为cba【解答】解：a=40.540=1，0b=0.540.50=1，c=log0.54log0.51=0，a，b，c从小到大的排列为cba故答案为：cba11（4分）已知角终边上有一点P（x，1），且cos=，则tan=【解答】解：角终边上有一点P（x，1），且cos=，x=

12、，tan=，故答案为：12（4分）已知ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，则x=（ii）若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（2，）（2，+）【解答】解：（i）ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1），=（2x，1），=（2x，1），ACB是直角，=（2x）（2x）+（1）（1）=x23=0，解得x=（ii）ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1），=（2x，1），=（2x，1），=（x+2，1），=（4，0），=（x2，1），=（4，0），ABC是锐角三角形，解得2x或x2x的取值范围是（2，）（2，+）故答案为：，（2，）（2

13、，+）13（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320单位【解答】解：由题意，令x=40，v=10 10=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位故答案为：32014（4分）已知函数f（x）=|ax1|（a1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）1的x的取值范围为（2，+）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为，1）【解答】解：（1）a=时，f（

14、x）=|x1|+x=，f（x）1，解得x2，故x的取值范围为（2，+），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，当a1时，f（x）=|ax1|与g（x）=（a1）x的图象：两函数的图象恒有交点，当0a1时，f（x）=|ax1|与g（x）=（a1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a1a，a，故a1当a0时，f（x）=|ax1|与g（x）=（a1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上知：a1故答案为：（2，+），1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（）求实数b的值；（）记函数g（x）=f（x）2，若函数

15、g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；（）求证：不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立【解答】解：（）函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，=0，解得：b=0； （）由（I）得：f（x）=x2+c，则g（x）=f（x）2=x2+c2，若函数g（x）有两个不同的零点，则=4（c2）0，解得：c2； （）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，|c2+1|2|c|2=c4+c2+1=（c2+）2+0恒成立，故|c2+1|c|，故不等式f（c2+1）f（c）对任意cR成立16（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（x+）图象时的五个关键点的坐标（其中A0，0，|

16、）xf（x）02020（）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数f（x）的单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的取值范围【解答】解：（）由表格可得A=2，=+，=2，结合五点法作图可得2+=，=，f（x）=2sin（2x+），它的最小正周期为=（）令2k+2x+2k+，求得k+xk+，可得函数f（x）的单调递减区间为k+，k+，kZ（）在区间0，上，2x+，sin（2x+），1，f（x），2，即函数f（x）的值域为，217（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（，0），锐角的终边与单位圆O交于点P（）用的三角函数表示点P的坐标；（）当=时，求的值；（）在x轴上

17、是否存在定点M，使得|=|恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：锐角的终边与单位圆O交于点P（）用的三角函数表示点P的坐标为（cos，sin）；（），=时，即（cos）（cos）+sin2=，整理得到cos，所以锐角=60°；（）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），则由|=|恒成立，得到=，整理得2cos（2+x）=x24，所以存在x=2时等式恒成立，所以存在M（2，0）18（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的xR成立，则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x，g（x）=sinx是否是函数；

18、（只需写出结论）（）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（）求证：当a1时，函数f（x）=ax一定是函数【解答】解：（I）对于函数f（x）=x是函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是函数对于g（x）=sinx是函数，令T=1，则sin（x）=sin（x）=sinx即sin（x1）=sinxTsin（

19、x+T）=sinx成立，即函数f（x）=sinx对任意xR，有Tf（x+T）=f（x）成立（II）（i）证明：函数f（x）是函数，存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（x+T）=f（x）又f（x）是偶函数，f（x）=f（x），Tf（x+T）=Tf（x+T），T0，化为：f（x+T）=f（x+T），令xT=t，则x=T+t，f（2T+t）=f（t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数（ii）证明：函数f（x）是函数，存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（x+T）=f（x）又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），Tf（x+T）=Tf（x+T），T0，化为：f（x+T）=f（x+T），令xT=t，则x=T+t，f（2T+t）=f（t）=f（t），可得：f（