排列数、组合数公式与二项式定理的应用

1、排列数、组合数及二项式定理整理慈济中学全椒刘1排列数公式n!(1)An = n(n 1)(n m 0 = (n m)! .( n , m n*，且 m n)(1) An1 (n m1)a11；(2)AmnnAmAn 1Amm；(3)AnnA11;nA?aAmAm(5) A 1Anm 1mA .1! 2 2!3 3! L n n!(n1)! 13、组合数公式AmAnn(n1) (nm1)n!Cnn=Am,=12m=m!(n m)! ( n n*,mN且mn).2、排列恒等式4、组合数的两个性质m n mCn Cn5、排列数与组合数的关系6、二项式定理：C：bn(n N )n0 n 1 n 1r

2、n r r(a b)CnaCna b L C*a b L【注】：1. 基本概念: 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数 Cnr (r 0,1,2, n).项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项C；an rbr叫做二项式展开式的通项。 用1 Cnan rbr表示。2. 注意关键点：项数：展开式中总共有 (n 1)项。 顺序：注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。 系数：注意正确区分二项式系数与项的系

3、数,二项式系数依次是c0,cn,c2, ,cn, ,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）3 常用的结论:令 a 1,b x,(1 x)nC0 Cnx Cnx2L C：xr LC；xn(nN )令 a 1,bx, (1 x)n C0 C：x C：x2 L C：xr L(1)nC；xn(nN )4.性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，c； , CnkCn1二二项式系数和：令ab 1 ,贝y二项式系数的和c0 c1c ncnc2cnLcn ln nCn2,变形式 C； Cn L C； L C：2n 1 。1，则 C0 cn Co c； L(1)nC；(1 1

4、)n0 ,奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:从而得到：c0c； c：Cn2rcnC； L11 nn 1-2 22奇数项的系数和与偶数项的系数和：(an01x)Cnan 0xC1an 1xC；an2 2xLn 0 nCna xa0a1x12na2XLanX(xa)n C阳0 nxC1axn 1C'a2n 2 xLn n 0nCna xanxL2 1a2Xax a°令x1,则 aoa1a?a； Lan(a1)n令x1,则 aoa1a2a；Lan(a 1)n得,aoa2a4Lan(a1)n(a21（奇数项的系数和)得,a1a；a5 Lan(a1)n(a21 （偶数项的系

5、数和)在二项式定理中，令a 1,b_n 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数c取n 1 n 1得最大值。 如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数cj , cF同时取得最大值。 系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2,Ar 1A,An 1，设第r 1项系数最大，应有，从而解Ar 1Ar 2出r来。7、组合数公式的应用：mmm公式 1 Cm+Cm 1 + Cm 2 +m+ Cm ：m 1Cm k 1此公式可由下面方法推得从m n 1个不同元素中取出m个不同元素的组合数为c：11先

6、将其分为m n 1个元素中不含其中一个元素a1的和含元素a1的两类而这两类的组合数分别为cm;与臨即得£；1 = £； + c：k，依此再将组合数cm;分为两类可得 cmk=cm爲+cm k1，不断将组合数上标为m i的项进行如此分类即得公式i。公式2 cm. c：+cm. ck;+盒c解：1X 2+2X 3+3X 4+.+n X+ cmc m=cm n此公式可由下面方法推得。从放在一个盒中的 m个不同黑球与n个不同白球中任取出 k的球的方法种数为 cm n， 将取出的k个球按所含白球数分类，分为含白球数为 0个，1个，2个.k个共k+1类，取 法种数分别为C： ,C：.C

7、：1,C：.C；2 ,C：C：m即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。例 1 Sn =1 X 2+2 X 3+3 X 4+ .+n *n+1) 求 Sn2 2 2 2(n+1)= 2( C2 + C3+C4+cn1)解：'乩=冒2c221=n +n 2 ( c2 + c2+c：+rc21 ) =Sn+卫22cn 2 = S+ (n 1)n得 (n 2)(n 1)n= + (n 1)nn+得3=Sn+整理得 sn = n(n 1)(2n1)例 3 求 sn = 1Sn=2C：2=(n 2)(n1)n例 2 求 sn = 12+ 22 + 32+n2+23+33+n3解

8、：. c32=(n 2)(n1)n 6c：2=n3+3n2+2n33336 ( C3 + C4 + C5 + + Cn2） =Sn+3n（n 1）（2n 叭2匹卫二 6C：3 = Sn+3 吃61)(2n 1)+2 (n 1)n6解出Sn并整理得22an=n5,的和。Sn = （n ° n用类似的方法可求出an=n4,4例4 一盒内有大小相同的黑球 M个，白球N个，从中任取 m个球（m< M m< N）,求含 有白球的个数E的数学期望。解：由题意E的所有可能取值为0, 1, 2，.,m=分布列为：1 EE =(m'CM N1 m 12 m2CN CM +2 CN

9、CM+ + (m-1)m 1 - 1CNCMm 0+ mCN Cm )E E =N-mCm n1Cn CmN12 2m+CN CMNmCNm m 0CM + CNCM )NEE =旦(mCm noCnm1Cm1+ CnmiCm2m+ + Cn2 11 Cm+cmicM) EE =-mCm nmCnN1 = m Cm n NmCnNm （此为超几何分布的数学期望）M NE012m-1mP0 mCNCM1 m 1CN CM2 m 2CNCMm 11CNCMm 0CN CMmCM NmCM NmCM NmCM NmCM N8二项式定理的应用：题型一：二项式定理的逆用;例:C C： 6 C； 62 L

10、C：6n解:(1 6)n C°cnC；62Cn63L C： 6n与已知的有一些差距,练:解:12Cn CnC； 3C2设 Sn CnC：C；62C：Cn62£(C： 6 Cn 62 L C： 6n)611C； 6n 1)-(16)n 1- (7n 1)666n9C；3C：3n 1C：9Cn L 3n 1C；，则12 23Sn Cn3 Cn3C；33 LC：3n0 1 2 2CnCn3 Cn3n nnCn3 LCn 31(1 3)1Sn(1 3)n 13题型二：利用通项公式求xn的系数;例:在二项式(13 x）n的展开式中倒数第3项的系数为45 ,3求含有x的项的系数?解:由

11、条件知C；245，即 Cn45，n 900，解得9（舍去）或n 10，Tr 1C；0(x 4)10 r(x3)rC；0，由题意 1043,解得r 6，练:解:363则含有x的项是第7项T6 1 C10X1求（x2）9展开式中x2x的系数?3210x ,系数为210。Tn C9(x2)9r(丹C9x18 2r( $rxr C9( -)rx18 3r22令18 3r 9,则故x°的系数为c9（ 1）3题型三：利用通项公式求常数项;21o2例:2110求二项式（x ）的展开式中的常数项?2仮解:r 2 10 rTr 1C10 (x )5rr 1 r 20 _r)C10(1) x 22令20

12、予0，得r 8，所以练:解:T9 C1)8 2L22561 6求二项式(2x)的展开式中的常数项?2xTr1 C6(2x)6 r( 1)re1)r2x(1"护62r，令 6 2r0，得r 3，所以练:解:T4( i)3c；20若（x2丄）n的二项展开式中第x5项为常数项，则nT5 C：(x2)n4(丄)4 C：xx4 2n12，令 2n 120 ,得 n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式(、x 3 X)9展开式中的有理项?1127 r解: Tr 1 c；(x2)9r( x3)r ( 1)rC9rx，令Z,( 0 r 9)得 r 3或r 9，6所以当 r 3

13、时，4，T4 ( 1)3C；x484x4，6当 r 9 时，27 - 3，T10 ( 1)3c99x3x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例:若x2n展开式中偶数项系数和为256，求n.解:设( F -3)n展开式中各项系数依次设为Vxa。，an,练:解:令x 1,则有a0a。a1a2a3将-得：2(a1有题意得，2若吩)n的展开式中，a1an 0,，令x（1）nan2n,a3a5n2 ,a125628，1,则有a3a52n1所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。QC° Cn2 C：C?Cn LC：r 12n 1，2n 1 1024，解得n 11所以中

14、间两个项分别为 n 6,n7，C；（3 ：）6（5 ）5462 x 4， 61T6 1462 x题型六：最大系数，最大项；第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展1例：已知(2x)n，若展开式中第5项,2解：QCn C； 2c5, n221n 98开式中二项式系数最大项的系数是多少?0,解出n 7或 n 14，当n 7时，展开式中二1 35项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数C?(A)423旦，2 2T5的系数C；（2）324 70,当n 14时，展开式中二项式系数最大的项是213432。T8 的系数C；4（）7272练:在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?解:二项式的

15、幕指数是偶数 2n，则中间一项的二项式系数最大，即乜12Tn 1，也就是第n 1项。练:X 1在（3. ）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?2、x解:只有第5项的二项式最大，则 -215，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于例:解:例:解:例:解:6 1 2C8(2)7写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?因为二项式的幕指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等， 且同时取得最大值，从而有T4c；a4b3的系数最小，T5 c；a3b4系数最大。1若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（-2x）n的展开式中系数最大的项?2

16、由CnArAr1 1C C：79,解出 n 12,假设 Tr1 项最大，Q 2x)12(?)12(1 4x)121Ar C；24rC1214r11Ar2 C；24rC1214r1，化简得到9.4 r 10.4,又 Q0 r 12,10，展开式中系数最大的项为T11,有在（x y）7的展开式中，系数绝对值最大项是(1)12C1120410x1016896x10求系数绝对最大问题都可以将“（a b）n ”型转化为"(ab）n"型来处理,AC故此答案为第4项C7x3y4，和第5项C7x2练：在（12x）10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr 1项最大，QTr 1 C；0

17、2rxrA A Cr 2r Cr 12r 1r 1r1010解得AAr，r 1 r 1'r 1r 2C10 2C10 2,2(11r 1r)2(10 r)，化简得到6.3 k 7.3，又Q0 r 10, r 7,展开式中系数最大的项为仏 C7o27x715360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数？2525r 25 rr解法：(x 3x 2)(x2)3x，Tr 1 Cs(x 2)(3x)，当且仅当 r 1 时,Tr 1的展开式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2 C5(x2 2)43x，所以x得一次 项为 C；C：243x它的系数为c5c

18、：243240。解法：(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C°x5 C5x4Ccfx5 C；x42C?25)故展开式中含 x的项为C；xC；25 C；x24 240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x32)的常数项?Tr 1 C；( 1)r|x6r()r ( 1)6c6 x62r，得 6 2r 0, r 3, lxlT31 ( 1)3C；20.题型八：两个二项式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解: Q(1 2x)3的展开式的通项是 CT (2 x)m CT 2m xm,(1 x)4的展开式的通项是 C4 ( x)nC41n xn,其中

19、 m 0,123, n0,1,2,3, 4,令m n 2,则 m 0且 n 2,m 1且 n 1,m 2且n 0,因此(1 2x)3(1 x)4的展开式中X2的系数等于C?20C2(1)2c321c4 (1)1C322C0(1)0练：求(1 3x)6(141 )10展开式中的常数项.VXmn4m 3n解:(1 3 X)6(1丄)10展开式的通项为 Cjx3 G0X 4 cm G0 x 12vx其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当4m 3n,即 m °或m3,或m 6,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为c6 Ci00 c； C10 C； C；0 42

20、46.练：已知(1 x x2)(x 4)n的展开式中没有常数项，n N*且2 n 8,则n .x解：(X A)n展开式的通项为cn xn r x3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得Xcn xn4r,cn Xn4r 1,cn Xn 4r 2,Q 展开式中不含常数项，2 n 8n 4r且 n 4r 1且 n 4r 2,即 n 4,8且 n 3,7且 n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x 72 ) 2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为 S,当x 运时,S 1 2a1xa2x3|a；xL2006a2006x1a1x2a2x3|a；x L20

21、06a2006x得 2(a1x a3x3 a5x5 L2005、# 匚、2006#匚、2006a2005X) (x -2) (x 、2)(x 、,2) 2006展开式的奇次幕项之和为 S(x) 1(x -.,2) 2006 (x , 2) 20063 2006当 x、2时,SC，2)丄(、22 ) 2006 (& 、2) 2006-2 30082 2题型十：赋值法；例：设二项式(3?X 】)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若xp s 272 ,则n等于多少?解:若(3；x 1)na0 a1x a2x2xanXn，有 Pa。aian ，练:解:例:解:练:解:SCn

22、Cn 2n，令 x 1 得 P 4n，又 p s 272 ,即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16)2n 16或2"17(舍去)，n 4.n卄L1若 3.x 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少? JxL1令 x 1，则 3 x_Vxn的展开式中各项系数之和为2式的常数项为C；（3、. X）3 （I)3540.x64，所以n0解得6，则展开若(1200912x)a0 a1x2a?x3agX2009/a2009 X(XR）,则 aa222a200922009的值为11,可得an.2 2 22 在令x 0可得a。1 因而也2a200922009a2220,2

23、22a2009220091.若(X 2)554a5Xa4X3a3X2a?xa/1a°,则 a1令X 0得a。32,令X1得aoaia?a3a4a5a1a2a3a4a531.题型十一：整除性;例：（02潍坊模拟）求证:51511能被7整除。证明：51511(492)510511502492C5149C51-49 2 C/9 -2=49P+251 1( P N )251 1(23)17 1a20092 2009a2a3a4a51,C50-49-250c；251 1(7+1)17C07.717C；.716Cl27.7151617C17.7C17=7Q(Q N )51511 7P 7Q 7(

24、P Q)51511能被7整除。2n 2*例：证明：3 8n 9(n N)能被64整除证：32n 28n99n 1 8n9(81)n 1 8n9C0Cn18n 1C1 nn 1 8Cn；82C； 181Cn Cn1 8n 9c°Cn18n1C1 8nn 1 8Cnn；828(n 1)18n 90 n 1Cn 1 8cn18nn 1Cn 182由于各项均能被64整除32n28n 9(n*N)能被64整除题型十二：利用二项式定理求近似值例15.求0.9986的近似值，使误差小于 0.001 ；分析：因为0.9986 = (10.002)6，故可以用二项式定理展开计算。解：0.9986=(1

25、0.002)6=16.( 0.002)115.( 0.002)2.( 0.002)6T3C：.( 0.002)2 15 ( 0.002)20.00006 0.001,且第3项以后的绝对值都小于 0.001,从第3项起，以后的项都可以忽略不计。6 60.998 =(1 0.002)16 ( 0.002)=1 0.0120.98812n小结：由(1 x)n 1 CnX Cnx2 . Cnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,.xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：(1 x)1 nx ,在使用这个公式时， 要注意按问题对精确度的要求，来

26、确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1 x)n1 nxn(n 1) 2x 。1作业：1、求（3、_x）4的展开式;Vx解：原式=(3x 1)4=(3x1)4Jx12、计算13Cn【Cd)4 C4©x)3 C：(3x)234C4(3x)CA(81x484x354xx12181x284 x2xx327Cn(1)n nn3 Cn2Cn(3)233Cn( b541x9的系数是29Cn212x 1)解：原式=C0Cn（ 3）3Cn( 3)(13)n ( 2)n2193、（ 03全国）（x2）9展开式中2x1、r解: Tn。9（/）91 丈r 18 2r= C9

27、x18 3xx令 18 3x 9,则 r3，从而可以得到x9的系数为:C；（ A 21，4、（ 02全国）（x2 1）（x 2）7的展开式中，x3项的系数是解：在展开式中，x3的来源有:第一个因式中取出 x2，则第二个因式必出x，其系数为c：（2)6 ； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出x3，其系数为 C7（ 2）5、（ 04安徽改编）x3的系数应为： c7（ 2）6 c7（ 2）4 1008,1 3（x2）3的展开式中，常数项是x填1008。1 3解：(x 2)xZ3x(x 1)63上述式子展开后常数项只有一项333Cd/ 1)3，即 20 1 106、（ 00京改编）求（x 旷）的展开式的中间项;解:Tr1 C；0（M）10r（31）r,展开式的中间项为CHx）5（ 31）5xx即:5252x6 o当n为奇数时,(a当n为偶数时,(ann1n1门1门1门1可 a 2 b 2 和 c可 a 2 b 2 ;n £2b)n的展开式的中间项是 C?a2b° ob）n的展开式的中间项是 C7、（ 00京改编）求