导数复习导数大题练习含详解答案)

1、1、已知函数 f(x)=(2x 2kx+ k) e-x(I)当k为何值时，f (x )无极值；(n)试确定实数k的值，使f (x)的极小值为02、已知函数 f (x) =ax+ln x (a w R).(i)若a=2,求曲线y = f(x)在x=1处切线的斜率；(n)求f(x)的单调区间；求a的取值范(出)设 g(x) =x2 -2x +2 ,若对任意 xi w (0,收)，均存在 x2 w 0,1 ，使得 f (x“ < g(x?), 围.x 13、设函数 f (x) = x ae 。(I)求函数f(x加调区间；(II )若f (x产0对xw R恒成立，求a的取值范围；(III )对任

2、意n的个正整数a1,a2,an记A = a1 ' a2 ' ''anna Hi"A J .(1)求证："T - e (i =1，2,'n ) (2)求证：A>n/a1a2 .-anA.，一 .，、 a 3 a 1 21 ，一4、已知函数 f(x) = x -x +x + b,其中 a,bwR.32(I)若曲线y = f(x)在点P(2, f (2)处的切线方程为y=5x4,求函数f(x)的解析式；(n)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性.2x ,5、已知函数f(x) = (ax 2x+1)e (a= R, e为自然对数的

3、底数).(I)当时，求函数f (x)的极值；(n)若函数f (x)在-1 , 1上单调递减，求a的取值范围.6、已知函数 f (x) =(x2 3x+3) ex,设 t>2, f (2)=m, f (t)=n.(I)试确定t的取值范围，使得函数f (x)在-2,t 上为单调函数；(n )试判断m,n的大小并说明理由；(ID)求证：对于任意的t A-2,总存在x。W(-2,t),满足f (x。)22 七= -(t -1),并确定这样的e03x0的个数.7、已知函数 f (x) =ln xax2+(a2)x .(I)若f (x)在x =1处取得极值，求a的值;(n)求函数y=f(x)在a2,

4、a上的最大值.2128、已知函数 f(x)=(ax -x)ln x -ax + x.(a = R).2(I)当a =0时，求曲线y = f(x)在(e, f(e)处的切线方程(e = 2.718.);(II )求函数f (x)的单调区间a、9、已知函数f(x)=(1 )ex(x>0),其中e为自然对数的底数. x(i)当a =2时，求曲线y = f(x)在(1,f (1)处的切线与坐标轴围成的面积；(n)若函数f (x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5,求a的值.M 已知函数 f (x) =ax3 3(a+2)x2+6x-3.2(1)当a=1时，求函数f(x)的

5、极小值；(2)试讨论曲线y = f (x)与x轴的公共点的个数。11、已知函数f(x) = ex, g(x)=ax+1 (a是不为零白常数且 aR)。(1)讨论函数F(x)=f(x)g(x )的单调性；(2)当a = -1时，方程f(x”g(x)= t在区间-1,1上有两个解，求实数t的取值范围；(3) 是否存在正整数 N , 使得当 nwN*且 nN 时，不等式f(一1 f 1 - "1+ f 1 - 1+HI + f 1 - 1<n 2011恒成立，若存在，找出一个满足条件的N ,并证明；,231. n若不存在，说明理由。12、设函数 f (x) = ax(a+1)ln(

6、x+1)(a a1).(1)求f (x)的单调区间；(2)当a>0时，设f(x)的最小值为g(a),若g(a)<t恒成立，求实数t的取值范围。13、设函数 f(x)=ax3-( a+b)x2+bx+c,其中 a>0, b, cC R.(1)若f (1)=0,求函数f(x)的单调增区间； 3(2)求证：当 0wxw1 时，| f'(x)| w max f'(0), f'(1).(注：maxa, b表示 a, b 中的最大值)14、已知函数 f (x) = p ln x 十(p1 k2 +1 .(I )讨论函数 f (x)的单调性；(n)当p=1时，f (

7、x) Wkx恒成立，求实数k的取值范围；111*(出)证明：ln(n 1)：二 1(n N).2 3 n15、已知f(x)是二次函数，f (x)是它的导函数，且对任意的xW R, f'(x)= f (x+1)+x2恒成立.(I )求f (x)的解析表达式；(n)设t>0,曲线C： y = f(x)在点P(t , f (t)处的切线为l , l与坐标轴围成的三角形面积为S(t).求S(t)的最小值.2.1 . 16、设函数f(x)=x alnx与g(x) =x _JX的图象分别交直线 x =1于点A, B,且曲线y=f(x)在点A处的切 a线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行。(

8、1)求函数f(x),g(x)的表达式；(2)当a>1时，求函数h(x) = f (x) _g(x)的最小值；1 1 1(3)当2=时，不等式f(x)m g(x)在xw,上恒成立，求实数 m的取值范围。2 4 2函数与导数解答题1、解：(I) v f'(x) =(4x-k)e +(2x2 -kx + k)(-1)e= -2x2 +(4 +k)x 2ke" = -2(x -k)(x 2)e3 3分2k=4寸,f'(x) = Tx2)2e，W0f (x)在 R上单调递减，所以，f(x)无极值6分kk(II )当 k#4时，令 f (x) = 2(x)(x2)e=0,得

9、 x1 = ,x2 =222k 一(1)k<4 时，一<2 ,有2“ kk o k令 f (_) =0 得 2 父(_)2 _kx _ + k = 0,即 k=0. 9 分222k(2) k>4 时，一>2 ,有2令f(2)=0,得k=8所以，由(1) (2)知，k=0或8时，f (x)有极小值02、解：(I )由已知 f (x) =2 + (x >0) , 2分xf (1) =2 1=3. x故曲线y = f(x)在x=1处切线的斜率为3.4分,_、1 ax 1(n) f'(x)=a+=(x>0). 5 分x x当a至0时，由于x >0 ,故

10、ax+1>0, f '(x) >0所以，f(x)的单调递增区间为(0,).6分1当 a<0 时，由 f '(x)=0 ,得 x = 1. a1.1.在区间(0, )上，f (x) >0 ,在区间(一一，收)上f (x) < 0 , aa11 一aa7分(出)由已知，转化为f (x)max <g(x)max. 8分g(x)max =2 9分所以，函数f(x)的单倜递增区间为 (0, )，单调递减区间为(一，收).由(n)知，当a之0时，f(x)在(0,依)上单调递增，值域为 R,故不符合题意(或者举出反例：存在 f (e3) =ae3+3 ：&

11、gt;2 ,故不符合题意.)1 1 当a<0时，f(x)在(。,_1)上单调递增，在(_1,也)上单调递减，aa11八故f(x)的极大值即为最大值，f(_)= _1 + g(一)= _1nn(_a), 11分a-a所以 21 -ln(-a),1解得a < 1 2分3e3、解：(I) f (x) =1 -aexJL 1分当a£0时，f (x) >0, f (x)在R上是增函数 2分当a>0时，令(*)=0得乂=1一g2 3分若x <1 ln a则f (x) >0 ,从而f (x)在区间(叫1 -ln a)上是增函数若x>1Ina则f'(

12、x)<0,从而f (x)在区间(1Ina,+8)上是减函数综上可知：当aM0时，f(x)在区间(m，+a)上是增函数。当a>0时，在区间(吗1 ln a)上是增函数，f (x)在区间(1ln a,+)上是减函数 4分(II)由(I)可知：当aW0时，f(x)W0不恒成立 5分又当a >0时，f (x)在点x=1 -lna处取最大值,且 f (1ln a) =1ln aaena =ln a 6分令 一ln a W0得 a >1故若f(x)M0对xWR恒成立，则a的取值范围是 1,+2)7分(III )证明：(1)由(II )知：当a =1时恒有f (x) =xex，E0成

13、立. a - 4即 x We* <eA 9分Aala2an 1(2)由(1)知：-1 <eA ； -2<eA ；-n-<eA AAAa a a2 ”1 an _n把以上n个式子相乘得aa ian Me A =1，An2-1a2川anAn故 A - n -i-2 l|lan 124、解：(i) f (x) =ax2 -(a +1)x +1 , 1 分由导数的几何意义得 f (2) =5 ,于是a =3. 3 分由切点P(2, f(2)在直线y =5x4上可知2+b = 6,解得b =4. -5 分所以函数f (x)的解析式为f (x) = x32x2+x+ 4 . 6 分

14、21(n) f(x)=ax (a+1)x+1 =a(x)(x1), 7 分a1 一. 1当0<a<1时，>1,函数f (x)在区间(一 °°, 1)及(一，+如i)上为增函数； aa 1在区间(1, _)上为减函数； 9分1当a=1时，一=1,函数f(x)在区间(比，+8)上为增函数； 10 分a1- 1-当a>1时，一<1,函数f(x)在区间(笛，一)及(1, 十七)上为增函数； aa 1在区间(-,1)上为减函数. 12分a命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。2x5、解：(I)当 a=1

15、 时，f(x)=(x -2x +1) e ,f '(x)=(2x2) e” (x2 -2x+1) e，=-(x-1)(x-3) e， 2分当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下表：所以，当a=1时，函数f(x)的极小值为f(1)=0,极大值为f(3)=4e,. 5分(II ) f (x) =(2ax -2) e 二-(ax2 -2x +1) e4 = -e'ax2 -2ax -2x +32令 g(x) = ax -2(a 1)x 3若 a=0,则 g(x)=2x+3,在( 1,1)内，g(x) >0 ,即 f'(x)<0,函数 f (x)在区间

16、 1,1上单调递减.7分2 a 1右a >0,则g(x) =ax -2(a+1)x+3 ,其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=>1 ,a当且仅当 g(1)之0 ,即 0 <a M1 时，在( 1,1)内 g(x) >0 , f '(x) <0 ,函数f (x)在区间1,1上单调递减 9分若a <0,则g(x) =ax2 -2(a +1)x +3 ,其图象是开口向下的抛物线，'g(T)之 05,当且仅当 V' 7 ，即5 Wa<0时，在(1,1)内 g(x) >0, f (x) <0, 、g(1)至 03，、 一 ，

17、函数f (x)在区间-1,1上单调递减.11分.、,， 一 ,一、 5综上所述，函数 f(x)在区间-1,1上单调递减时，a的取值范围是 _5Eaw1.12分 36、解：(I)因为 f'(x) =(x2 3x+3) ex+(2x3) ex =x(x1) ex1 分由 f(x)>0= x >1或* <0；由(x)M0=0cx<1,所以f(x)在(口,。),。，依)上递增，在(0,1)上递减3 分要使f (x)在L2,t 上为单调函数，则2 <t < 04 分(n)因为f(x)在(*,0),(1,代)上递增，在(0,1)上递减，f (x)在x=1处有极小

18、值 e5 分13又 f (-2) =<e,ef (x)在1-2,收 州的最小值为 f (-2)7从而当 t A2时，f (-2) < f (t),即 m <n8(m)证:f (%)2x0= x0 x0 ,e又f (x0)e"22= 3(1),即 f (1)=(2 1)(a+1)=0,a = 1 . 5分222,-婷 =-(t-1)2,3,222. 222.令g(x) =x x (t1)，从而问题转化为证明方程g(x)=x x (t1) =0在(2,t)上有解，并讨论解的3 3个数9 分222 g(-2) =6-(t-1) =-(t 2)(t-4),332 91g(t

19、) =t(t 1)-(t-1)2 =-(t +2)(t -1),10 分3 3 当 t a4或一2 <t <1 时，g(-2) g(t) <0,所以g(x) =0在(-2,t)上有解，且只有一解 11 分2 c当 1ct <4 时，g(-2)>。且 g(t)”,但由于 g(0) = -(t-1)2<0,所以g(x) =0在(2,t)上有解，且有两解12分当 t =1 时，g(x) =x2 -x =0= x = 0或x =1 ,故 g(x) =0在(一2,t)上有且只有一解; 当 t=4 时，g(x) = x2x-6 = 0= x = 2 或 x=3,所以g(

20、x)=0在(2,4)上也有且只有一解 13分'综上所述，对于任意的t 2,总存在x° W(2,t),满足上察 = 2(t1)2,e3且当t24或一2<t W1时，有唯一的x0适合题意；当1 <t <4时，有两个x0适合题意.14 分2 o(说明：第(3)题也可以令 邛(x) =x2 x, x (2,t),然后分情况证明 一(t1)2在其值域内) 37、解：(I) f(x) =lnxax2+(a2)x, .函数的定义域为 (0,收).1 分21f (x) = - -2ax (a -2) x1-2ax (a-2)x _ -(2x-1)(ax 1)xxf(x)在x

21、=1处取得极值,i ，1, 一，一当 a = _1 时，在(1)内 fx) <0,在(1,收)内 f'(x)>0, 2，. x =1是函数y = f(x)的极小值点.a = 1. 6分(n) a2 <a , .,.0 <a <1 , 7 分11 . x (0,+=c), ax+1>0, f (x)在(0,)上单倜递增；在(一，收)上单调递减，9分22-1当0 <a M 时，f (x)在a , a单倜递增，232一 fmax(x) = f (a) =lnaa +a 2a； 10 分1-2 1-1f (x)在(a2,万)单调递增，在(,a)单调递减

22、, a > 一当J 2 ,即l<a<Y2时,2122a :2_1_aa - 2a _,./(刈/号"一代一丁亍二一1/2;191 2 t；2. 一 . ._ 2 _当一 Ma，即Wa<1时，f (x)在a, a单调递减,2 22532 fmax(x) = f (a ) =2ln a-a +a -2a . 12 分1O QO综上所述，当0<a-时，函数y=f(x)在a, a上的最大值是lna a +a 2a； 2 1.2_, . 2 .a , .一当一 <a<时，函数y = f(x)在a,a上的最大值是一一1一此2；224r- 22532当a之

23、时，函数y = f (x)在a ,a上的最大值是2ln a -a +a -2a . 13分28、解：(I)当 a=0 时，f(x)=xxlnx, f'(x)=lnx, 2分所以 f(e)=0, f'(e)=1, 4分所以曲线y = f(x)在(e, f (e)处的切线方程为 y = x+e. 5分(II )函数f(x)的定义域为(0,y)2、1f'(x)=(ax x) 十(2ax1)ln xax+1 = (2ax1)ln x , 6分x当 aE0 时，2ax 1 <0 ,在(0,1)上 f '(x) >0 ,在(1,依)上 f'(x) <

24、;0所以f (x)在(0,1)上单调递增，在(1,收)上递减； 8分1 . 一 1.1当 0 <a <-时，在(0,1)和(一，收)上 f '(x) >0 ,在(1,一)上 f '(x) <02 2a2a11所以f (x)在(0,1)和(,，")上单调递增，在(1,，)上递减； 10分2a2a1 一，,当a =,时，在(0, 十均上f '(x) >0且仅有f'(1)=0,所以f (x)在(0,收)上单调递增； 12分2 11当a>1时，在(0,)和(1,y)上f '(x) >0 ,在(,1)上f'

25、;(x)<03 2a2a所以f(x)在(0,3_)和(1,y)上单调递增，在(5,1)上递减 14分29、解：(I) f (x) = x -ax*aex, 3分x2当 a=2 时，f'(x)=yex, f'(1)=2xe1=e, f(1)=-e,x1所以曲线y = f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=ex2e, 5分切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0), (0, -2e), 6分1所以，所求面积为 一父2父-2e =2e.7分2(n)因为函数f (x)存在一个极大值点和一个极小值点,所以，方程x2-ax+a=0在(0, 十无)内存在两个不等实根，8分2:二 a

26、 -4a 0则，a 4a 9分所以a>4 .10分a 0.设x1, x2为函数f (x)的极大值点和极小值点,则 x1 + x2 = a , x1x2 = a , 11 分因为，f(x1)f(x2)5x1 - a )1 x2 - a x,=e ,所以，e、父e2即虫-a(x x2) a ex1 x2xj2xx2225 a-a a a 5=e , e =e ,a,12分5=e ，解得，a =5,此时f(x)有两个极值点，所以a=5.14分22.（本小题满分12分）（I）函数的定义域为（-1. +»）,2K1+ 2)1 + 1由广（工）>0,得40;由广0）口，得-1工e口

27、. 3分f （，）的递噌区间是（口,+8），递滥区间是0）4 分（11）：由.（©= 2双工）= 口,得 jfO,jf-2 （舍去）x+1由（I）知f G）在Lloj上递减 在0,-1上述隐 &又 /（l_） = l + 2. y（e-l） = e-2,且/ 223+2- e 夕&-，当在己T-1时，f G）的最大值为 g10、故当咱 :电：-2时，不等式f（M）.恒成立 8分(出)方程 f (x) =x2 x a, x - a 1 -2ln(1 x) =0.t己 g(x) =x -a +1 2ln(1 +x),g/ (x) =12-=3,1 x x 1由 g/(x)

28、 >0 ,得 x>1 或 x<-1 (舍去).由 g/(x)<0,得 一 1<x<1.10分- g（x）在0,1上递减，在1,2上递增.为使方程f（x）=x2+x+a在区间0,2上恰好有两个相异的实根,g（0） 0,只须g（x） = 0在0,1和（1,2上各有一个实数根，于是有jg0g（2） -0.2 -2ln 2 <3 -2ln3 , 11分实数a的取值范围是 22ln 2 <a W32ln3 . 12分11、解：(1)因为 F(x)=(ax+1 )ex,所以 F ' x = aex、ax 1 ex = aex1当 a>0 时，F

29、'（x»0u x>-1-, a1 1 -所以F （x ）在区间（*, -1 -）上是减函数，在区间（-1-，）上是增函数; aa1当 a<0 时，F'（x）<0u x > -1,a1 1所以F （x ）在区间（一叱一1 一一）上是增函数，在区间（一1 一一，十£）上是减函数;aa（2）当a = 1时，由（1）知道F（x盾区间（-00,0 ）上是增函数，在区间（0,口）上是减函数，所以当 x=0时取得极大值F (0) = 1 , 7分2又F (1 )= , F (1 )=0,万程f(x),g(x)=t在区间1,1上有两个解， e实数t的

30、取值范围是2,1)； 9分e(3)存在 N =24°22.由(2)知道当 a = 1 时，F 11<1 即 f =1"1+11<1D In 人 n )即 f/_(工=。=1_, 11分n 1 1 n 1 n 1 n1111111所以 f (一1 )+ f - 1+ f f+ |+ f -一 f< n - + + +|H + ITZ 分,2. 311. n 2 3 4 川 n 1当 n >2 4022 时,11111<11 ?_+ i|+> + - +2 3 4 n +12134 ,1+1+1+1214 4)(8 8 8 8)111 211

31、11+ - + + - + + -+ +678(24021+1 24021+22402211-111+ I += 4022 =20114022-4022”1-4022-rv乙乙 乙u i I：22 J 2111.八f (T )+f _ + f .一 + + f <n -2011 ° 14 分2. 3. n12、(I)解：f (x) =a -a1 =axJ11(x>-1), 1 分x 1 x 11当 a = 0时，f (x) = <0 ,x 1所以函数f(x)的减区间为(1,也)，无增区间；a(x-1)当 a#0时，f(x)=a-,x 11. 一1右 a>0,由

32、 f ( x) > 0 倚 x ,由 f(x)<0 得 一 1<x<一, aa11 一所以函数f(x)的减区间为(1,一),增区间为(一，会)；1.若-1 <a <0 ,此时一E 1,所以 f '(x)=aa1 a(x-) a- <0 ,所以函数f(x)的减区间为(-1，-)，无增区间;综上，当1<aE0时，函数f(x)的减区间为(1,+至)，无增区间，11当a>0时，函数f(x)的减区间为(T,一),增区间为(一，).-6分aa11.(n)解：由(i)得， g(a) = f() =1 (a+1)ln( 十1), 7分aa因为 a

33、a0,所以 g(a) <tu (a)- <0y 1(1+1)ln(1 +1)-1 <0,a a a a a a令 h(x) =x -(1 +x)ln(1 +x) -tx(x >0),则 h(x) <0 恒成立,由于 h (x) = -ln(1 +x) -t ,当t'0时，h'(x)<0,故函数h(x)在(0,y)上是减函数,所以h(x) <h(0) =0成立； 10分当t<0时，若卜'(*)>0得0<*<3,1,故函数h(x)在(0,e，-1)上是增函数,即对0 <x ce-1 , h(x) >

34、;h(0) =0 ,与题意不符；综上，t之0为所求.12分113、解：由 f (1)=0,得 a=b. 1分故 f (x)= ax3 2ax2+ax+c.由 f (x) =a(3x24x+1)=0 ,得 必=1，x2=1. 2分3列表：由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-00,1)及(1, +OO) . 4分3,2,2,(2) f (x) =3ax2-2( a+b) x+b=3a(x-b)2 -ab -ab . 3a3a当alb > 1,或albw 0时，则f (x)在0,1上是单调函数，3a3a所以 f (1)w f(x)w f,或 f(0)w 所x)w f(1),且 f + f，

35、(1)=a>0.所以 | f (x)| w maxf (0), f (1).5当 0V a士b<1 ,即-av b< 2a,则 3a22a b - ab< f (x) < max f (0), f (1).3a(i)当-av bw 时，则 0 V a+bw.所以f (1)222, 22, 222a b ab 2a b 2 ab _ 3a (a b)3a3a3a>1a2>0.412分所以 | f (x)| w maxf (0), f (1).(ii)当色 v bv 2a 时,则(b -1)(b 2a) < 0,即 a +b ab < 0.22

36、2所以b2222- ab-a-b22a +b -abjab-a -b >2 >o,即 f (0) > a +b -ab3a3a3a3a所以 | f (x)| w max f (0), f (1).综上所述： 当 OWxWl 时，| f (x) | w max(0), f (1) . 16分214、解：(I) f(x)的定义域为(0, +8), f'(x)+2(p _1 x;(p Xp-2 分 xx当p >1时，f '(x)>0,故f(x)在(0, +8)单调递增;当p M0时，f '(x) v 0,故f (x)在(0, +8)单调递减；4分

37、当 0v p V 1时，令f '(x)=0,解得x =2 p.1 j、则当x W 0,p时,< 2 2(p-1)Jf'(x)>0； xW Ip,+°o 时，f '(x) < 0.在 2(p-1),J故f(x)在0,1 pi单调递增，在p L p ,单调递减.6分、2 2(p-1)；Y 2(p-1) Jp = 11 In x(n)因为x >0,所以当 时，f (x) <kx恒成立-1 +ln xM kxu k上1x人1 In x令 h(x)=，则 k 之 h(x)max , 8分x一、.一ln x因为 h'(x)=,由 h&

38、#39;(x) =0得 x =1 , x且当 xw(0,1)时，h'(x) >0；当 xw(1, y )时，h'(x) <0.所以h(x)在(0,1)上递增，在(1,y)上递减.所以h(x)max=h(1)=1 ,故k之110分(n)由(n)知当 k=1 时，有 f(x)Wx,当 x>1 时，”*)<*即g乂<乂一1,人 n 1n 11令 x =,则 ln< 一 ,nn nrr1即 ln(n 1) - ln n : 一 n12分2131所以 ln<一，ln< 一1122，-23相加得ln2ln3ln12,n 11ln<一,n

39、 n11< 1 -, 2n一2.3. n 1.而 ln ln - ln = ln12 n2 3 T<12n 1=ln(n 1) n所以 ln(n 1) ： 11 1. .1_ *(n N ).14>15、解：(I )设 f (x) = ax2 +bx +c (a# 0),则 f' (x) = 2ax + b ,(2 分)f (x 1) = a(x 1)2 b(x 1) c= ax2 + (2a +b)x + a + b + c .由已知，得 2ax+b = (a+1)x2+(2a+b)x+a+b +c ,'a +1 =0-2a+b=2a ,解之，得 a = 1, b=0, c = 1, a b c = b1- f (x) = -x