第二讲初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.4 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.5 实物交换实物交换2.5 启帆远航启帆远航2.7 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化2.1 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.

2、000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），），代表会议共代表会议共20席，按学生人数的比例分配，三个系席，按学生人数的比例分配，三个系分别为分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34

3、17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1

4、/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度例如：例如：p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，

5、若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+

6、1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给该席给ArA, rB的定义的定义)1()1(11212222nnpnnp该席给该席给A否则否则, 该席给该席给B, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法minnpQiiii,2 , 1,)1(2计算，三系用三系用Q值方法重新分配值方法

7、重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席3 .964334, 5 .947663, 4 .961110103232221QQQ第第21席席3221, 4 .801211103QQQ同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，第最大，第20

8、席给甲系席给甲系进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知: m方人数分别为方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有自然应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi /P, i=1,2, , m, ni 应是应是 N和和 p1, , pm 的函数，即的函数，即ni = ni (N, p1, , pm )若若qi 均为

9、整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi qi=Npi /P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi =floor(qi) 向向 qi方向取整；方向取整； qi+ =ceil(qi) 向向 qi方向取整方向取整.1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m) 即即ni 必取必取qi , qi+ 之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时， ni不应减少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足

10、 2）, , 但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？2.2 录像机计数器的用途录像机计数器的用途经试验，一盘标明经试验，一盘标明180分钟的录像带分钟的录像带从头走到尾，时间用了从头走到尾，时间用了184分，计数分，计数器读数从器读数从

11、0000变到变到6061。录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带从左向右运动录像带从左向右运动录像带运动录像带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录像带运动速度是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！模型假设模型假设 录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v ； 计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn； 录像带厚度（加两圈间空隙）

12、为常数录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r ； 时间时间 t=0 时读数时读数 n=0 .建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v, ,k, ,w , ,r为已知参数）为已知参数）模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi, m圈的总长度圈的总长度等于录像带在时间等于录像带在时间t内移动的长度内移动的长度vt, 所以所以knm nvrknvwkt222mivtwir1)(22. 考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚

13、度变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即wvtrwknr)(22nvrknvwkt2223. 考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有vdtkdnwknr2)(模型建立模型建立思思 考考nvrknvwkt2223 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数模型中有待定参数,kvwr一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。mivtwir1)(2wvtrwknr)(22vdtkdnwknr2)(思思

14、考考参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作,2bnant只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组再有一组(t, n)数据即可数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得.1045.1,10

15、61.226ba模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：bnant2)1045.1,1061.2(26ba模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时时 t = 116.4分，分，剩下的录像带能录剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。分钟的节目。揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内

16、 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的

17、热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最

18、保守的估计，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比，可减少可减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2, , 而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。dlhhQ

19、Q,18121双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大2.4 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t (分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b (米米) (米米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w

20、0(kg) 浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变基本不变问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进

21、动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正比成正比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 浆手数浆手数 n,

22、浆手功率浆手功率 p, 浆手体重浆手体重 w, 艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验tn1

23、2487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0, 作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y

24、0 -y) xyyo0 xo2.5 实物交换实物交换xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，MN将所有与将所有与p1, p2无差别的点连接无差别的点连接起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN, 线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无

25、差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）xyOg(

26、x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质（形状可以不同）性质（形状可以不同） 双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标坐标系系xOy, 且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作ABABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案

27、交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩形内任一点形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x帆船在海面上乘风远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝

28、向最佳的航行方向及帆的朝向简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定起航时的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.6 启帆远航启帆远航模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积s1成正比，成正比，p与船迎风面积与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且成正比

29、，比例系数相同且 s1远大于远大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行，可忽略与帆面平行，可忽略 f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求

30、 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 当当 固定时求固定时求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 时时 f1=w(1-cos )/2最大最大= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt备注备注 只讨论起航时的航向，是静态模型只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程

31、中终点航行过程中终点B将不在正东方将不在正东方 记记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s22.7 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的

32、量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比3

33、3212TLMT120033210002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(F设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (

34、ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mn