202X202X学年高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系课件新人教B版必修1

1、-1-3.2函数与方程、不等式之间的关系首页课前篇自主预习一二三四知识点一、函数的零点1.思考(1)二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实根的条件是什么?提示:当0,即b2-4ac0时,二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根.(2)一次函数y=kx+m(k0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?提示:交点坐标为 ,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.课前篇自主预习一二三四2.填空填空(1)定义定义:一般地一般地,如果函数如果函数y=f(x)在实数在实数处的值等于零处的值等于零,即即f()=0,那么那么叫叫做这个函数的零点做这个函数的零点.

2、(2)性质性质:当函数的图像通过零点且穿过当函数的图像通过零点且穿过x轴时轴时,函数值变号函数值变号.两个零点把两个零点把x轴分为三个区间轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值在每个区间上所有函数值 保持同号保持同号.课前篇自主预习一二三四解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,假设存在,那么f(x)有零点,假设不存在,那么f(x)无零点.答案:D 课前篇自主预习一二三四知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系1.思考(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0)课前篇自主预习一二三四3.做一做

3、做一做(1)-1是函数是函数f(x)= +b(a0)的一个零点的一个零点,那么函数那么函数g(x)=ax2-bx的的零点是零点是()A.-1,1B.0,-1 C.1,0 D.2,1A.x|x3B.x|-4x3C.x|x-4或或x3D.x|-4x3课前篇自主预习一二三四解析:(1)-1是f(x)= +b的一个零点,b-a=0,即a=b.g(x)=ax2-bx=ax2-ax.g(x)的零点为0和1.(2)要使函数有意义,只需x2+x-120.方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).故原不等式的解集为x|x-4或

4、x3.答案:(1)C(2)C课前篇自主预习一二三四知识点三、三、零点存在的判断方法及分类1.思考对于函数f(x),假设满足f(a)f(b)0,那么f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?假设f(x)在区间(a,b)内有零点,那么f(a)f(b)0一定成立吗?提示:对于函数f(x),假设满足f(a)f(b)0,那么f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图(1)所示;假设函数f(x)在区间(a,b)内有零点,那么不一定有f(a)f(b)0,如图(2)所示.课前篇自主预习一二三四2.填空填空(1)函数零点存在定理函数零点存在定理:如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图像是连续不断的

5、上的图像是连续不断的,并且并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号即在区间两个端点处的函数值异号),那么函数那么函数y=f(x)在在区间区间(a,b)中至少有一个零点中至少有一个零点,即即x0(a,b),f(x0)=0.(2)分类分类:课前篇自主预习一二三四3.做一做做一做假设函数假设函数f(x)唯一的一个零点同时在区间唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上上,那么以下命题中正确的选项是那么以下命题中正确的选项是()A.函数函数f(x)在区间在区间(0,1)内有零点内有零点B.函数函数f(x)在区间在区间(0,1)或或(1,2)内有零点内有零点

6、C.函数函数f(x)在区间在区间2,16)内无零点内无零点D.函数函数f(x)在区间在区间(1,16)内无零点内无零点解析解析:由题中条件易知函数由题中条件易知函数f(x)的零点必在的零点必在(0,2)内内.应选应选C.答案答案:C课前篇自主预习一二三四知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法二分法1.填空:(1)二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法求函数零点的一般步骤:函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零

7、点x0的近似值x,使它满足给定的准确度.用二分法求函数零点的一般步骤:在D内取一个闭区间a0,b0D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)f(b0)0,零点位于区间a0,b0中.课前篇自主预习一二三四计算f(x0)和f(a0),并判断:如果f(x0)=0,那么x0就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a0)f(x0)0,那么零点位于区间x0,b0中,令a1=x0,b1=b0.计算f(x1)和f(a1),并判断:如果f(x1)=0,那么x1就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a1)f(x1)0,那么零点位于区间x1,b1上,令a2=x1,b2=b1;继续实施上述步骤,直到区间an,bn,

8、函数的零点总位于区间an,bn上,当区间的长度bn-an不大于给定的准确度时,这个区间an,bn中的任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.课前篇自主预习一二三四2.思考用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间a,b内,都不满足f(a)f(b)0;(2)x2-4x+40;(3)-x2+2x-30.分析分析:根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及根

9、本方法求解及根本方法求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测解:(1)0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=- ,x2=2,不等式2x2-3x-20的解集为 .(2)=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,不等式x2-4x+40的解集为x|x2.(3)原不等式可化为x2-2x+30,由于0,方程x2-2x+3=0无解,不等式-x2+2x-30的解集为R.(4)原不等式可化为3x2-5x+20;课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测判断函数的零点个数判断函数的零点个数例例3 (1)函数函数f(x)=ax2+bx+c满足满足ac0(因因a

10、c0,a0时,设f(x)=ax2-2x+1,方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测反思感悟解决根的分布问题的一般步骤1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.2.结合草图考虑三个方面:(1)与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.3.写出由题意得到的不等式(组).4.由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测延伸探究求证延伸探究

11、求证:方程方程5x2-7x-1=0的根一个在区间的根一个在区间(-1,0)内内,另一个另一个在区间在区间(1,2)内内.分析分析:可由函数零点的性质证明可由函数零点的性质证明5x2-7x-1=0的两根分别位于的两根分别位于(-1,0)和和(1,2)内内,即证明在即证明在(-1,0)和和(1,2)内分别有一个零点内分别有一个零点.解解:设设f(x)=5x2-7x-1,那么那么f(-1)f(0)=11(-1)=-110,f(1)f(2)=(-3)5=-150.又二次函数又二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的的图像是连续的,故故f(x)在在(-1,0)和和(1,2)内分别有零点内分别有零

12、点,即方程即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间的根一个在区间(-1,0)内内,另一个另一个在区间在区间(1,2)内内.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测利用二分法求函数零点的近似值利用二分法求函数零点的近似值例例5 借助计算器借助计算器,用二分法求函数用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正零点的一个正零点(准准确到确到0.1).分析分析:此题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成此题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测反

13、思感悟1.二分法求函数零点近似值的一般步骤2.二分法应用时的本卷须知二分法应用时的本卷须知(1)要选好计算的初始区间要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点这个区间既要包含函数的零点,又要又要使其长度尽量小使其长度尽量小.(2)在求解过程中在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度所在区间的长度.(3)根据给定的准确度根据给定的准确度,及时检验所取区间长度是否到达要求及时检验所取区间长度是否到达要求,以以及时终止计算及时终止计算.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测答案:D 课堂篇探究学习探究一探究二

14、探究三探究四探究五标准解答当堂检测二次函数的零点综合问题典例 二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;(2)假设-1和-3是函数的两个零点,求k的值;(3)假设函数的两个不同零点是,求2+2关于k的关系式h(k).思路点拨:此题考察对二次函数零点的理解及零点的性质.此题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五

15、标准解答当堂检测变式训练变式训练设函数f(x)=ax+2a+1(a0)在-1,1上存在一个零点,求实数a的取值范围.解:一次函数f(x)在-1,1上存在零点,f(-1)f(1)0.(-a+2a+1)(a+2a+1)0,即(3a+1)(a+1)0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测1.(多项选择多项选择)以下函数图像与以下函数图像与x轴均有交点轴均有交点,其中能用二分法求函数其中能用二分法求函数零点的图像是零点的图像是()答案答案:ACD课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测2.假设关于假设关于x的方程的方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根有

16、两个实根1,2,那么实数那么实数f(x)=cx2+bx+a的零点为的零点为()解析:方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根1,2, 答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测3.不等式6x2+x-20的解集为.解析:因为6x2+x-20(2x-1)(3x+2)0,所以原不等式的解集为4.下面是连续函数f(x)在1,2上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(准确到0.1) 解析:由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间1.406 5,1.438上,由准确度可知近似解可为1.4.答案:1.4课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五标准解答当堂检测5.(1)当当m为何值时为何值时,f(