根轨迹分析法习题解答

1、第四章 根轨迹分析法4.1 学习要点1根轨迹的概念；2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用；3根轨迹绘制法则与步骤；4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。4.2 思考与习题祥解题4.1 思考与总结下述问题。（1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。（2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。（4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。根轨迹法研究当系统

2、的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。（2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。（3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。考察开环放

3、大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。正反馈系统的闭环特征方程与负反馈系统的闭环特征方程存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（）是根轨迹，正反馈系统的相角条件（）是根轨迹。因此，绘制正反馈系统的

4、根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变角度为。（4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零、极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。一般地，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。如果系统期望主导极点在

5、根轨迹左侧时，可通过增加开环零点（超前校正），使闭环系统的根轨迹向左弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求；如果系统期望主导极点在根轨迹右侧时，可通过增加开环极点（滞后校正），使闭环系统的根轨迹向右弯曲，通过期望主导极点，满足系统动态要求。题4.2 已知负反馈控制系统的开环传递函数,试绘制各系统的根轨迹图。（1）（2）（3）解： （1）1）起点：三个开环极点 。2）终点：无有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5) 求分离点 因为实轴上的根轨迹 在 区间内，所以分离点为。 6) 根轨迹与虚轴的交点 系统的闭环特征方程为: 造劳斯表： 为使S1 行为零，应有 由S2 行得

6、辅助方程： 解得: 根轨迹如图4.1所示。图4.1 题4.2（1）根轨迹（2）1）起点：三个开环极点 。2）终点：无有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5) 求分离点 因为实轴上的根轨迹 在 区间内，且-2为系统开环重极点，所以分离点为。6) 根轨迹与虚轴的交点 系统的闭环特征方程为: 将代人，整理得： 由此可得下列联立方程： 解得: 根轨迹如图4.2所示。图4.2 题4.2（2）根轨迹（3）1）起点：三个开环重极点 。2）终点：无有限开环零点 ，因此，根轨迹分成3条，它们均由 -2 出发趋向无限远点。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5) 求分离点 实轴上的

7、分离点为-2。6) 根轨迹与虚轴的交点 系统的闭环特征方程为: 将代人，整理得： 由此可得下列联立方程： 解得: 可见，根轨迹与其渐近线重合。根轨迹如图4.3所示。图4.3 题4.2（3）根轨迹题4.3 已知负反馈控制系统的开环传递函数为（1）（2）（3）试绘制各系统的根轨迹图。解：（1）1）起点：两个开环极点 。2）终点：有一个有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 即：系统根轨迹分成两条，一条从点出发，终止于有限开环零点，另一条从点出发，沿正实轴方向趋于无限远点。根轨迹如图4.4所示。图4.4 题4.3（1）根轨迹（2）1）起点：三个开环极点 。2）终点：一个有限开环零

8、点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5) 求分离点 因为实轴上的分离点应该在 区间内，利用凑试法可得。根轨迹如图4.5所示。图4.5 题4.3（2）根轨迹（3）1）起点：三个开环极点 。2）终点：一个有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 即渐近线为虚轴。5) 根轨迹的出射角 根轨迹如图4.6所示。图4.6 题4.3（3）题4.4 有一个开环传递函数为的负反馈系统，试绘制系统的根轨迹。解： 1）起点：三个开环极点 。2）终点：一个有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 根轨迹如图4.7所示。图4.7 题4.4根轨迹题4.5 已知负反馈控制系

9、统的开环传递函数为，试证明是该系统根轨迹上的一点，并求出相应的值。解： 系统有三个开环极点，无开环有限零点。开环零极点与点的分布如图4.8所示。图4.8 题4.5 系统开环零极点分布1） 若为根轨迹上的点，则必满足相角条件，即： 是根轨迹上的一点。2） 求与相应的值。根据幅值条件：所以 4.6 设负反馈系统的开环传递函数为，试证明该系统根轨迹为一圆形，并指出其圆心和半径。证明: 设为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有：即：整理得：利用反正切公式，可得：等式两端取正切：整理得：可知，上式为一圆的方程，圆心，半径为。题4.7 有一开环传递函数为的负反馈控制系统，试用根轨迹法求使闭环系统主导极点的

10、衰减系数等于时的值，并求出此时闭环系统的特征根。解： 系统的根轨迹如图4.9所示。当时，阻尼角为，此时阻尼线与根轨迹的交点即为系统的闭环主导极点，而相应的值即为所求。设主导极点为代入特征方程得：取（同理），并将代入上式，得：整理并令实部与虚布分别为零，可求出：则可得到主导极点为代入特征方程可求解出图4.9 题4.7 根轨迹及阻尼角图即当时，而此时闭环系统的特征根为，。题4.8 已知负反馈系统的开环传递函数为，试讨论零点对系统根轨迹的影响。（分别取）。解： 题目要求讨论添加开环零点对系统根轨迹的影响。因此先绘制当系统无开环零点时，即时的根轨迹略图， 如图4.10(a)所示；然后添加开环零点，绘制

11、 时的根轨迹略图，分别如图4.10(b)、(c)、(d)所示。图4.10 题4.8系统根轨迹在(a)图中，当系统不具有开环零点时，与实轴成方向趋向无穷远的分支，随着值的增加，将穿过虚轴进入右半平面，系统会随之不稳定。在(b)、(c)、(d)图中，由于增加了零点，与实轴成方向趋向无穷远的分支，拐向直角方向延伸，其结果是改善了系统的稳定性。并且可以看出：当开环零点由左向右移动时，根轨迹会向相反的方向，即朝左移动，使稳定性进一步得到改善。题4.9 已知负反馈系统的开环传递函数为，试求时，以为参变量的根轨迹。解： 时，系统的闭环特征方程为即 可得以为参变量时的等效开环传递函数为图4.11 题4.9 根

12、轨迹绘制以为参变量时系统根轨迹：1）起点：三个开环极点 。2）终点：无开环有限零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5) 根轨迹的分离点解得 。6) 根轨迹与虚轴的交点以为参变量时，系统的闭环特征方程为: 将代人，整理得： 由此可得下列联立方程： 解得: 。根据以上信息，可绘制根轨迹如图4.11所示。题4.10 试绘制如下图所示系统以为参变量的根轨迹。 题4.10系统结构图解：（1）找等效传递函数由系统结构图，可知系统开环传递函数为：因此，闭环系统的特征方程式为可得以为参变量时的等效开环传递函数为（2） 绘制根轨迹1）起点：三个开环极点 。2）终点：一个有限开环零点 。3）实轴上

13、 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5）根轨迹的出射角根据以上信息，可绘制根轨迹如图4.12所示。图4.12 题4.10根轨迹题4.11 已知正反馈系统开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。解： 应按零度根轨迹规则，绘制系统的根轨迹。1）起点：两个开环极点 。2）终点：一个有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹的分离点 解得 5）根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为: 将代入上式，整理得： 由此可联立方程： 解得: 。可以证明系统的根轨迹时以开环零点为圆心，以开环零点到分离点的距离为半径的圆。如图4.13所示。图4.13 题4.11根轨迹题4.12 已知系统的开环传递函数为，试绘制系统的正、负反馈两种根轨迹。解： （1）正反馈系统的根轨迹。（此时应该按零度根轨迹规则绘制）1）起点：四个开环极点 。2）终点：一个有限开环零点 。3）实轴上 为根轨迹区间。4）根轨迹渐近线 5) 根轨迹的分离