概率论与数理统计第二考点习题答案

1、如果再前面页码有遗漏的习题答案，请在倒数的页码中查找。（这文档是汇总了几篇文档搞出来的）习题22.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据，得，即。 故 2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2= (2)甲比乙投中的次数多PX>Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=2.4解:（1）P1X3= PX=1

2、+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5<X<2.5=PX=1+ PX=2=2.5解：（1）PX=2,4,6,=（2）PX3=1PX<3=1PX=1- PX=2=2.6解：设表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2=2.7解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则XB(4,0.4)(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则YB(5,0.4)2.8 （1）XP()=P(0.5×3)= P(1.5) =（2）XP()=P(0.5×4)= P(2)2.9解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。依题意，设备发生故障能及时维

3、修的概率应不小于0.99，即，也即因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为2.11解：(1) (2) 2.12解：(1)由及，得，故a=1,b=-1.(2) (3) 2.13（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：2.14解:要使方程有实根则使解得K的取值范围为

4、,又随机变量KU(-2,4)则有实根的概率为2.15解：XP()= P()(1) （2）（3）2.16解：设每人每次打电话的时间为X，XE(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。所求的概率为2.17解：(1)(2)2.18解：设车门的最低高度应为a厘米，XN(170,62)厘米2.19解：X的可能取值为1,2,3。因为； ；所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21（1）当时，当时，当时，X-

5、112P0.30.50.2（2）Y120.80.22.22（1）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则对求关于y的导数，得 （2）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，有对求关于y的导数，得 （3）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，对求关于y的导数，得 2.23 （1）对求关于y的导数，得到 （2），,对求关于y的导数，得到 （3）， 对求关于y的导数，得到 习题3参考答案3.1 P1<X2,3<Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 3.2YX1220=3=03.4（1）

6、a=（2）（3） 3.5解：（1）（2）3.6解：3.7参见课本后面P227的答案3.8 3.9解：X的边缘概率密度函数为：当时，当时，Y的边缘概率密度函数为： 当时， 当时，3.10 （1）参见课本后面P227的答案（2） 3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1） 对于时，所以 对于时，所以 3.14X Y025X的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X与Y不独立3.15X Y123X的边缘分布12ab

7、+a+bY的边缘分布a+b+1由独立的条件则可以列出方程解得 3.16 解（1）在3.8中 当， 时，当或时，当或时，所以，X与Y之间相互独立。 （2）在3.9中， 当，时， ，所以X与Y之间不相互独立。3.17解：故X 与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案习题4参考答案4.1 解：甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，54.3参见课本230页参考答案4.4解：4.6参考课本230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则 4.8解 500+1000 1500 4.9参见课本后

8、面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为,方差为,则XN(,)根据题意有: ,解得t=2即=12所以成绩在60到84的概率为 4.124.13解：4.14解：设球的直径为X,则： 4.15参看课本后面231页答案4.16解: 4.17解X与Y相互独立，4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是独立同分布的，又所以4.22参看课本后面232页答案4.234.244.25 4.26因为XN(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故：Var(X+Y

9、)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4.27参看课本后面232页答案4.28后面4题不作详解习题5参考答案5.3解：用表示每包大米的重量，则, 5.4解：因为 服从区间0,10上的均匀分布， 5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则5.6略 习题6参考答案6.16.3.1证明:由=+b可得，对等式两边求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因为 所以有6.2 证明：6.3（1）（2）由于所以有两边同时除以（n-1）可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又

10、 根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：(2)根据题意有6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）（2）根据题意有：6.7证明：因为T ，则，随机变量的密度函数为 显然，则为偶函数，则6.8 解：记，则XN(,),n=25故6.9 解：记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：（1）（2）（3）6.1

11、0 解：根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量为n=5 （1）依题意有（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有即样本的最小值小于10的概率是0.5785.（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有即样本的最大值大于15的概率是0.2923习题7参考答案7.1解因为:是抽自二项分布B（m,p）的

12、样本，故都独立同分布所以有用样本均值代替总体均值，则p的矩估计为7.2解： 用样本均值代替总体均值，则的矩估计为由概率密度函数可知联合密度分布函数为： 对它们两边求对数可得 对求导并令其为0得 即可得的似然估计值为7.3解:记随机变量x服从总体为0,上的均匀分布，则 故的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计（示性函数I= ，=min =max）7.4解:记随机变量x服从总体为,上的均匀分布，则 所以的矩估计为X的密度函数为故它的是似

13、然函数为要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计7.5 解:似然函数为:它的对数为:对求偏导并令它等于零有 解得的似然估计值为 7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知 (1) 故这四个估计都是的无偏估计.（2）故有 7.7证明（1）因为X服从上的均匀分布，故 故样本均值不是的无偏估计（2）由（1）可知的矩估计为 又 故它是无偏估计.7.8解;因为要使最小则对关于c求一阶导并令其等于零可得解得 因为对关于c求二阶导可得 故当时达到最小。7.9 解(1)根据题意

14、和所给的数据可得,所以的置信区间为(2) 即所以的置信区间为7.10解:根据所给的数据计算: , 则X 和Y构成的总体的方差为 所以置信系数的置信区间为=-0.002,0.0067.11 解: 则比例p的区间估计为：=7.12 解：根据题意有， 则的置信区间为：补充：第四章作业题解4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:X0 1 2 3 P0.4 0.3 0.2 0.1Y0 1 2 3 P0.3 0.5 0.2 0如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 因为 ，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙

15、机床生产的零件质量较好。4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的最大编号，求E(X).解：X的可能取值为3,4,5.因为；所以 4.3 设随机变量X 的概率分布其中是个常数，求解: ，下面求幂级数的和函数，易知幂级数的收敛半径为，于是有根据已知条件，因此，所以有.4.4 某人每次射击命中目标的概率为, 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.解：因为的可能取值为1,2,。依题意，知的分布律为 所以4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15分, 中2弹

16、得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则XB(4,0.6)因为 所以Y的分布律为Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分为 = 44.644.6 设随机变量 X 的概率分布为说明的期望不存在。解:级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为X，依题意，知XB

17、(3,0.4) 故 4.8 设随机变量X的概率密度函数为, 求解：4.9设随机变量X的概率密度函数为又,求常数的值.解： 由，得 因为 所以，由，得 又 由 ，得 解联立方程，得，4.10 设随机变量X的概率密度函数为说明的期望不存在.解:积分,显然,积分发散,根据连续型随机变量期望的定义, 的期望不存在.4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.解：设，依题意得，又 ，则即有 所以 得 所以 故所求的概率为 4.12 对习题4.1 中的随机变量

18、X, 计算.解：4.13 设随机变量X的概率密度函数为, 分别计算的期望和的期望解：因为 ，其中 ，所以 故 4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间内, 求球体积的均值.解：设球的直径测量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为因此,球体积的均值为.4.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且, 求该游客等候时间的期望.解: 用随机变量表示游客的等候时间(单位:分钟),则,其函数关系为 由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为 4.16设二维随机向

19、量的概率密度函数为, 求.解：因为，当时，当时，所以，又 故 4.17 设随机变量X 与Y 相互独立, 概率密度函数分别为和求.解： ， 因为X和Y相互独立，所以 .4.18 设二维随机向量服从圆域上的均匀分布,求 .解: 根据二维随机向量的计算公式：此积分用极坐标计算较为方便，于是有4.19 设随机变量X 与Y 相互独立,并且均服从,求.解：由于X 服从，故其分布函数为同理，Y服从，故其分布函数为于是根据公式，的分布函数为求到后得密度函数因此4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的

20、概率是等可能的, 求汽车的平均停车次数.解：用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记显然，均服从两点分布，且，于是有由此求得.4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望.解：设Xi表示第i次掷出的点数(i =1,2,10)，则掷10次骰子的点数之和为。因为Xi的分布律为 (k =1,2,6)，所以 故 .4.22 在习题4.4中, 若直到命中目标次为止, 求射击次数的期望.解：设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为 记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此4.23求习题4.1 中随机变量的方差.解：由T4.1知 ，由T4.12知又 故 .

21、4.24 求习题4.9 中随机变量X 的方差解: 由T4.1知 ，故 4.25 设二维随机向量的概率密度函数为, 求和.解：因为，当时，即 所以 ，由对称性得 ，4.26 设随机变量,并且X 与Y 相互独立,求和.解：因为， 所以 ，又X和Y相互独立，故 .4.27 设二维随机向量的概率分布如下表:XY-101010.10.30.10.10.10.3求解容易求得的概率分布为：的概率分布为：的概率分布为：，于是有，4.28设二维正态随机向量的概率密度函数为问与是否互不相关?解：二维随机变量具有概率密度的标准形式为：其中均为常数,且,由此得到：因为所以与互不相关。4.29设二维随机向量的概率密度函

22、数为, 求.解：因为，当时，所以 于是 由对称性得 ，又因为 所以 故 .4.30 设二维随机向量的概率密度函数为, 求和.解：由二维随机向量的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：，显然，所以与相互独立，从而互不相关。4.31 设,求和.解：由 得因为 所以 4.32 设服从求.解：因服从所以.于是有是关于随机变量的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积分为0,于是=0.第四章 定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设是离散型随机变量， （要求绝对收敛）设是连续型随机变量，其概率密

23、度为，（要求绝对收敛）函数的期望 方差，标准差， 矩定义 设和为随机变量, 为正整数, 称 为阶原点矩(简称阶矩阵); 为阶中心矩;为阶绝对原点矩;为阶绝对中心矩; 为和的阶混合矩;由左边定义可知:(1) 的数学期望是的一阶原点矩;(2) 的方差是的二阶中心矩;(3)协方差是和的二阶混合中心矩.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质1. 设是常数, 则 2若是常数，则3. 4. 设独立, 则;（3）方差的性质1. 设常数, 则;2

24、. 若是随机变量, 若是常数, 则3. 设是两个随机向量,则特别地, 若相互独立, 则注: 对维情形, 有: 若相互独立, 则（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n>2)（5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。|1，当|=1时，称X与Y完

25、全相关：完全相关1. 2. 若和相互独立, 则.3. 若,则当且仅当存在常数 使, 而且当时, ;当时, .注: 相关系数刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.当时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.当时, Y与X之间不是线性关系.协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质,其中是常数;为任意常数;(6) 若与相互独立时,则（7）独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。（ii） 若（X，Y）

26、N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章作业题解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，由切比雪夫不等式，得.5.2 设随机变量服从参数为的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 .解：因为，所以。故由切比雪夫不等式，得不等式得证.5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解：设第i袋大米的重量为Xi

27、，(i =1,2,100)，则100袋大米的总重量为。因为 ， 所以 ，由中心极限定理知，近似服从故 5.4 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是相互独立的随机变量，并且都服从区间上的均匀分布。记，求的近似值。解：，由定理1，得 即有 5.5 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成, 在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1, 为了使整个系统起作用, 至少要有85个部件正常工作. 求整个系统起作用的概率解：设正常工作的部件数为X，因为部件正常工作的概率为，所以 ，有，由中心极限定理知，近似服从故所求的概率为5.6 银行为支付某日即将到期的债券需准备一笔现金. 这批债券共发放了50

28、0 张, 每张债券到期之日需付本息1000元. 若持券人(一人一张) 于债券到期之日到银行领取本息的概率为0.4,问银行于该日应至少准备多少现金才能以99.9% 的把握满足持券人的兑换?解：设领取本息的人数为X，则。有，由中心极限定理知，近似服从又设要准备现金x元，则满足兑换的概率为依题意，要满足 ，即要 解之得 故应准备234000元的现金。第五章大数定律和中心极限定理定义、定理、公式小结及补充：切比雪夫不等式设随机变量有期望和方差,则对于任给, 有. （1）大数定律切比雪夫大数定律设随机变量相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：(),则对于任意的正数，有特殊情形：若具有相同的数学期

29、望，则上式成为伯努利大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设是相互独立同分布的随机变量序列，则对于任意的正数有（2）中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有（

30、3）二项定理若当，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当，则其中k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。一、第六章习题详解6.1 证明（）和(6.2.2)式.证明： (1) (2) 6.2设是抽自均值为、方差为的总体的样本, 与分别为该样本均值。证明与. 证：6.3 设是抽自均值为、方差为的总体的样本,证明: (1) (2) 证：(1) (2) 6.4 在例 中, 设每箱装n瓶洗净剂. 若想要n瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n至少应该等于多少？解：因为依题意有，即于是 ，解之得 所以n应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻

31、器的阻值服从均值 200 欧姆, 标准差10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.(1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率;(2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率.解：由抽样分布定理，知近似服从标准正态分布N(0,1)，因此(1) (2) 6.6 假设某种设备每天停机时间服从均值4 小时、标准差0.8小时的分布.(1) 求一个月(30天) 中, 每天平均停机时间在1到5小时之间的概率;(2) 求一个月(30天) 中, 总的停机时间不超过115 小时的概率.解：(1)(2) 6.7 设，证明证：分布的概率密度为: ，=6.8 设总体X

32、N(150，252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, .解： 已知，6.9 设某大城市市民的年收入服从均值1.5万元、标准差0.5万元的正态分布. 现随机调查了100 个人, 求他们的平均年收入落在下列范围内的概率:(1) 大于1.6万元;(2) 小于1.3万元;(3) 落在区间1.2，1.6 内.解：设X为人均年收入，则，则，得(1) (2) (3) 6.10 假设总体分布为N(12，22), 今从中抽取样本. 求(1) 样本均值X 大于13的概率;(2) 样本的最小值小于10的概率;(3) 样本的最大值大于15的概率.解：因为 ，所以，得(1) (2)  设样本的最小值为Y

33、，则，于是(3)  设样本的最大值为Z，则，于是6.11设总体，从中抽取容量样本, 为样本方差. 计算.解因为 由定理2, 得所以于是当时, 且第六章 样本与统计量定理、公式、公理小结及补充：（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指

34、任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设为总体的一个样本，称（）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩，,其中，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中表示自由度为n-1的分布。F分布设为来自正态总体的一个样本

35、，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。（3）正态总体下分布的性质与独立。习题七解答7.1.设 为抽自二项分布B(m,p) 的样本 试求p 的矩估计和极大似然估计。 解:（1）求p 的矩估计。，因此总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此p 的矩估计 （2）求p 的极大似然估计。参数P的极大似然函数为令即 由此得P的极大似然估计 7.2设总体为指数分布 其概率密度函数为 求参数的矩估计和极大似然估计。 解 设为X的一个样本。（1）求的矩估计。因为总体为指数分布，因此总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此的矩估计（2）求的极大似然估计。参数的极大似然函数

36、为 lnL=似然方程为 =0解得 7.3设总体为上的均匀分布 求参数的矩估计和极大似然估计。 解 设为X的一个样本。（1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此的矩估计。（2）求参数的极大似然估计。由总体X的密度函数知的似然函数为 由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须 所以的极大似然估计为 7.4设总体为上的均匀分布 求参数的矩估计和极大似然估计。解：设为X的一个样本。（1）求的矩估计。总体的一阶原点矩为 按矩法估计有 因此的矩估计。（2）求参数的极大似然估计。由总体X的密度函数知的似然函数为 由此可以看出，要使似然函数达到最大，必须 所以的极大似然估计为 7.5假设为来自正态

37、总体的样本，其中已知，求 的极大似然估计。解 似然函数为 于是 似然方程是 解得的极大似然估计量为 7.6设总体的概率密度函数为（这是指数分布的另一种形式）.从该总体中抽出样本,考虑的如下四种估计 (1)这四个估计中，哪些是的无偏估计？ （2试比较这些估计的方差。 解：(1)因为是从总体中抽出的样本，所以因此都是的无偏估计。(2) 由上述各式知：。 7.7一个电子线路上电压表的读数X服从上的均匀分布,其中是该线路上电压的真值,但它是未知的，假设是此电压表上读数的一组样本，(1)证明样本均值不是的无偏估计。(2) 求的矩估计，证明它是的无偏估计。解：（1）因为是总体的一组样本，所以 因此样本均值不是的无偏估计。(2)令得的矩估计为 因为所以是的无偏估计。 7.8 设都是的无偏估计，且