二次函数与几何综合压轴题题型归纳-学生版

1、实用文档二次函数综合压轴题型归类教学目标:重点、难点:1、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、掌握特殊图形面积的各种求法1、利用图形的性质找点2、分解图形求面积一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总1、两点间的距离公式：AB =d(yA yB f+(xA xB f2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为： xA + xB yA + yB < 22 J直线y=k1x + b1 (匕#0)与丫 = k2x +b2 ( k2 # 0 )的位置关系：(1)两直线平行 u k1 =k2且bi =b2(2)两直线相交 u

2、 k1 # k2(3)两直线重合 =k1 =k2且b1 = b2(4)两直线垂直 u k1k2 =-13、一元二次方程有整数根问题 ，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；(两种形式：分式、二次根式) 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程 x22(m+1 X + m2= 0有两个整数根， m<5且m为整数，求 m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。(方法同上)例：若抛物线y = mx2+(3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，试确定 此抛物线的解析式。5、方程

3、总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:2已知关于X的方程mx -3（m-1）x+2m-3 = 0 （ m为实数），求证：无论 m为何值，方程总 有一个固定的根。解：当m=0时，x=1;当 m#0 时，A=（m3f 之 0, x = 3Uz2A x1=2士、x2 =1 ;2mm综上所述：无论 m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y=x2 -mx+m-2 （ m是常数），求证：不论 m为何值，该抛物线总经过一个固 定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 m的方程y x2+2 = m（1 x ）；y-x2 21 x =0&

4、#176;,解得:y - -1 x =1文案大全抛物线总经过一个固定的点（1, 1）。（题目要求等价于：关于 m的方程y -x2 +2 = m（1 -x及论m为何值，方程恒成立）小结：关于x的方程ax = b有无数解u7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线11、12,点A在12上，分别在 h 12上确定两点M、N ,使得AM +MN之 和最小。（2）如图，直线|12相交，两个固定点 A、B,分别在11、12上确定两点 M、N ,使得BM +MN + AN之和最小。(3)如图，A、B是直线l同旁的两个定点，线段 a,在直线l上确定两点E、F ( E在F的左侧)，使得四边

5、形 AEFB的周长最小。三角形的面积求解常用方法：如右图,Skpae=1/2 - PM- x=1/2 - ANI- Ay8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法29、函数的交点问题： 二次函数(y=ax +bx+c)与一次函数(y=kx+h)(1)解方程组2 ,y=ax +bx+ cy=kx+ h可求出两个图象交点的坐标。-2 .(2)解方程组y=ax bx c,即ax2+ (b kx+c h = 0 ,通过可判断两个图象的交点、y= kx+ h的个数有两个交点 >0仅后,个交点二0没启交点 <010、方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示：用含同一

6、未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时, 利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的 图形平移 .,Vi N 211 / l2 = k1= k2、k =X1- X2平行四边形矩形梯形跟直角有关的 图形勾股定理逆定理 利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等ac二2，2AB = J(yA _yB ) +(XA XB )直角三角形 直角梯形 矩形跟线段有关的 图形利用几何中的全等、 中垂线的性质等。._J22AB =l(yA - yB ) *

7、(XA - XB )等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图 形利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等【例题精讲】一基础构图：2y= x -2x-3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点 P,使得PB+PC的和最小，求出 P点坐标在对称轴上找一点 P,使得PB-PC的差最大，求出 P点坐标求面积最大连接AC,在第四象限找一点 P,使彳# AACP面积最大，求出 P坐标 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,使得AACP为直角三角形,x求出P坐标或者在抛物线上求点 P,使 ACP是以AC为直角边的直角三角形. 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,

8、使得AACP为等腰三角形, 求出P坐标 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点 F在抛物线上,且以B, A, F, E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F的坐标二综合题型例1(中考变式)如图，抛物线 y = X2 +bx+c与x轴交与A(1,0),B(-3 , 0)两点，顶点为 d交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使AMBC是以/ BCM为直角的直角三角形，若存在,求出点P的坐标。若没有，请说明理由若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与A、B重合），过E作EF与X轴垂直，交BC 于F,设E点横坐标为x.EF的长度为

9、L,求L关于X的函数关系式？关写出 X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时 E点的坐标？（4）在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点 D为顶点的四边形为平行四边形？H。当E点运动到什么位置时，以点E、F、H、（5）在（5）的情况下点 E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?x= 1例2 考点:关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（1,0）、（0, V3）,点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过 A、B、C三点，且它的对称轴为直线 x = 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点 P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交

10、 BC于点F.（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段（3）求 PBC面积的最大值，并求此时点 P的坐标.例3 考点：讨论等腰如图，已知抛物线 y= 1x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2, 0), 2点C的坐标为(0, 1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点 E作DE，x轴于点D,连结DC,当 DCE的面积最大时，求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点 说明理由.例4考点：讨论直角三角如图，已知点 A (一 1, 0)和点B (1, 2),在坐标轴上确定点P,使得 ABP为直角三角形，则满足

11、这样条件的点P共有().(A) 2个 (B) 4个(C)6个(D) 7个 已知：如图一次函数 y=1x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点21bx+ c图象与一次函数 y= -x+ 1图象父于B、C两点，与x轴父于D、E两点且D点坐标为(1,0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.例5考点:讨论四边形 已知：如图所示，关于 x的抛物线y=ax2+x+ c (aw0)与x轴交于点A ( 2, 0),点B (6, 0), 与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的

12、解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点 D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线 AD的 解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点 M,抛物线上有一动点 P, x轴上有一动点 Q.是 否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.x综合练习:|1H面直角坐标系 xOy中，抛物线y =ax2 4ax+4a+c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴 交于点C,点A的坐标为(1, 0), OB=OC,抛物线的顶点为 D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足/ APB = Z AC

13、B ,求点P的坐标；(3) Q为线段BD上一点，点A关于/ AQB的平分线的对称点为 A ,若QA-QB = V2,求点Q的 坐 标和此时 QAA'的面积。221在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数y =ax2+2ax+c的图像与y轴交于点C(0,3),与x 轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0(1)求二次函数的解析式及顶点 D的坐标；OM把四边形ACDB分成面积为1 : 2的P在何处时 CPB的面积最大？最大面积(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线两部分，求出此时点 M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点是多少？并求出此时点 P的坐标。2 o .口

14、口图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = x2 -2x与x轴负半轴交于点 A,顶点为B, m且对称轴与x轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含 m的代数式表示)；(2) D为OB中点，直线AD交y轴于E,若E (0, 2),求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点 M在直线OB上，且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。区知关于 x 的方程(1m)x2+(4m)x+3 = 0。(1)若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围;(2)若正整数m满足82m >2,设二次函数y = (1 m)x2+(4 m)x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一 个新的图象；请你结合这个新的图象回答： 当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时, 求出k的值(只需要求出两个满足题意的 k值即可)。8 1C (