圆锥曲线复习（教师）

1、选修2-1：圆锥曲线复习（教师版）1在中，.如果一个椭圆通过、两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的焦距为 【答案】 【解析】设另一个焦点为，在中，所以，而，所以，又，所以，所以，即椭圆的焦距为.2已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )ABCD【答案】A【解析】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为3已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（ ）A4B6C7D14【答案】D【解析】由椭圆方程可知：由椭圆定义知：，即4已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦

2、点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是( )A2B6 C4D12【答案】C【解析】设另一焦点为，由题在BC边上，所以的周长【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.5“方程1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件是（ ）A1m2B0m2Cm2Dm2【答案】C【解析】当“方程1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”时,则有,通过四个选项可知：由一定能推出m2,但是由m2不一定能推出.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了已知椭圆焦点的位置求参数问题.6已知椭圆（）的左、右焦点分别为，点在

3、椭圆上，若（为坐标原点）是边长为的正三角形，则（ ）ABCD【答案】C【解析】连接，由题意，可得是直角三角形，由椭圆的定义，可得，则.【点睛】本题考查椭圆的定义，利用定义解题更方便，本题属于基础题。7设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是_。【答案】【解析】由题意，得，即，则，即，所以的面积为.点睛：本题考查椭圆的定义和余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及两个焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义（定和或定差）进行处理，往往再结合正弦定理、余弦定理进行求解.8已知F1，F2是椭圆上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率

4、是()A32B33C22D23【答案】B【解析】F1，F2是椭圆上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，可得|AF1|=33|F1F2|，即b2a=332c，即3b2=2ac，3(a2-c2)=2ac，即：3(1-e2)=2e，解得e=33【点睛】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取9已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若且，则C的离心率为_【答案】【解析】由椭圆的定义有，又，则，又，则，离心率【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，同时考查平面向量的数量积及勾股定理，属于基础题10已知F是椭圆C：x22+y2=1的左焦点，P为

5、椭圆C上任意一点，点Q(4,3)，则|PQ|+|PF|的最大值为()A52B32C34D42【答案】A【解析】由题意，点F为椭圆C：x22+y2=1的左焦点，F(-1,0)，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，设椭圆C的右焦点为F'(1,0)，|PQ|+|PF|=|PQ|+22-|PF'|=2 2+|PQ|-|PF'|，|PQ|-|PF'|QF'|=32，|PQ|+|PF|52，即最大值为52，此时Q，F'，P共线，故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义

6、和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。11已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.由椭圆定义可知,且为正三角形，所以则由正三角形性质可知为直角三角形，所以即,化简可得，所以 【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程与几何性质的综合应用,椭圆离心率的求法,属于中档题.12已知，为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的方程是（ ）A

7、BCD【答案】C【解析】因为过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，不妨设点位于第一象限，因为，所以为直角三角形，因此；又与轴正方向的夹角为，所以，即；所以，解得：，所以；因此，又，由解得：，因此所求椭圆方程为.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.13如图所示，分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得焦点为F1（c，0）、F2（c，0），点M的坐标为（c，b），RtMF1F2中，F1F2M

8、F2，|F1F2|2+|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2，根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|2a，可得|MF1|2（2a|MF2|）2（2ab）2，（2ab）24c2b2，整理得4c24a2ab，可得3（a2c2）2ab，所以3b22ab，解得ba，ca，因此可得e，即该椭圆的离心率等于【点睛】本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小，着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题14椭圆的两焦点分别为F1，F2，以椭圆短轴的两顶点为焦点，长为虚轴长的双曲线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】由椭圆方程可得双曲线的两焦点为,虚轴长

9、为,所以双曲线的虚半轴长为,长半轴长为,所以双曲线方程为,即.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的几何性质,注意区别椭圆和双曲线中的关系,本题属于基础题.15已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ） ABCD【答案】A【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为，则，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，即，故选A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于的方程从而求出e，求双曲线渐近线方程则只需构造的方程，从而解出，便可得到渐近线方程。16设F1,F2为曲线C1 :x26+y22=1的焦点，P是曲线C2:x23-y2=1与C1的一个交点，

10、则PF1F2的面积为 （ ）A14 B1 C2 D22【答案】C【解析】由曲线C1 :x26+y22=1的方程可得a=6,c=2，即F1-2,0,F22,0，再由椭圆的定义可得PF1+PF2=26，又因曲线C2:x23-y2=1与C1的焦点泪同，再由双曲线的定义可得PF1-PF2=23，PF1=6+3,PF2=6-3，在PF1F2，由余弦定理可得16=6+32+6-32-26+36-3cosF1PF2 ， 解得cosFP1F2=13，sinF1PF2=223，PF1F2的面积为12PF1PF2sinF1PF2=126+36-3sinF1PF2=2，故选C.【点睛】本题主要考査双曲线和椭圆的定义

11、、准方程，以及简单性质的应用，考查了余弦定理的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度与应用，属于中档题.17若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，椭圆的离心率为，则有，即，则双曲线的渐近线方程为，即，点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，、的意义与相互间的关系.18已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是_【答案】【解析】为等腰三角形，只可能 ，即，又因为点在直线上，即又因为椭圆 所以【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线与轴的交点 、点、点

12、构成的三角形中，是解本题的关键，属于中档题。19已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线,切点为,使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，解得，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是；考点：椭圆方程及性质20已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】直线，即为，可得直线恒过定点（1，1），圆的圆心为（1，1），半径为2，且、为直径的端点，由，可得AB的中点为（1，1），设A（x1，y1），B（x2，y

13、2），则，两式相减可得，由x1+x22y1+y22，可得k，由，即有1，则椭圆的离心率e（0，【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围，注意运用直线恒过圆心，以及点差法求直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为A1BC2D【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，所以， 联立、可得：，该双曲线的虚轴长2，【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等

14、双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.22双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线的方程为：其中，又因的顶点为, 且经过抛物线的顶点,所以有,即，所以，故即为所求；【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型.23在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2。【解析】由得。，即，解得【考点】双曲线的性质。24已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】

15、因为抛物线的焦点为，所以双曲线的右焦点也为,则有，因为双曲线的渐近线方程为,所以可设其方程为,因为,则 ,解得，则双曲线的方程为,【点睛】本题主要考查抛物线的方程与与性质，以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.25已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于ABC3D5【答案】A【解析】因为抛物线的焦点是，所以双曲线的半焦距，所以一条渐近线方程为，即，【考点】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能

16、力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想26已知直线，为双曲线：的两条渐近线，若，与圆：相切，双曲线离心率的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】设渐近线方程，即，与圆：相切，圆心到直线的距离，所以.【点睛】此题考查双曲线离心率的求法，其中涉及渐近线斜率关系的转化，和直线与圆相切的相关问题，考查数形结合思想，对运算能力要求较高.27如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A4BCD【答案】B【解析】为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，为双曲线上一点,由在中运用余弦定理得：，,点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角

17、形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。28以双曲线：（，）的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】渐近线取即，圆心到它的距离为，又，【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线，离心率，考查直线与圆相交弦长问题解题关键是用表示出弦长29直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为_【答案】【解析】因为直线与轴，轴交点的坐标分别为：，又直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，所以为双曲线的焦点，为双曲线虚轴的一个端点，因此，所以，所以离心率为.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.3

18、0在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_【答案】2【解析】因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.31点是抛物线上一点，则到的焦点的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为抛物线的准线方程为，点是抛物线上一点，由抛物线的定义可得：.【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到到焦点的距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础题型.32已知点是抛物线上的动点，则的最小值为A3B4C5D6【答案】B【解析】由题意知：= 表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，又F（1

19、，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P到F（1，0）的距离等于到x=-1的距离，只需要过A作x=-1的垂线交抛物线于P，交准线于M，则AM=4即为所求.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题33若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（ ）ABCD【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，解得，故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义，在求解抛物线上的点到焦点的距离，通常将其转化为该点到抛物线准线的距离求解，考查运算求解能力，属于中等题.34设抛物线的焦点为,点在上,若以为直径的圆过点,则的方程为（ ）A或

20、 B或 C或 D或【答案】C【解析】抛物线 方程为,焦点，设,由抛物线性质,可得，因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.35

21、已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹为（ ）A抛物线B双曲线C椭圆D以上都不对【答案】A【解析】由题意，动点的坐标满足方程，变形为，可得上式表示动点到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，结合抛物线的定义：动点轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中把方程变形为，结合抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力36过的直线与抛物线交于、两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）ABCD【答案】B【解析】抛物线的焦点为，由抛物线的定义得，可得.所以，弦的中点到直线的距离为.【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质

22、，利用抛物线的定义得出两点坐标之间的关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.37抛物线的一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）A4B5C6D7【答案】B【解析】设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.38如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）ABCD【答案】B【解析】设点A,B在准线上的射影分别为M,N，准线与轴交于点H，则，由已知F是AC的中点，,，设，则，即，解得，所以，点睛：办呢体主要考查抛物线的

23、定义及其应用，抛物线的几何性质，过抛物线的焦点弦问题，平面几何知识，转化化归的思想方法，属于中档题。39已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则=（ ）A B CD【答案】B【解析】抛物线C：y22x的焦点为F（，0），准线为l：x，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为dM，dN，由抛物线的定义可知|MF|dMx1+，|NF|dNx2+，于是|MN|MF|+|NF|x1+x2+1，则，易知：直线MN的斜率为±，F（，0），直线PF的方程为y±（x），将y±（x），代入方程y22x，得3（x）22x，化简得12x

24、220x+30，x1+x2，于是|MN|x1+x2+11【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题40已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】设为抛物线的焦点，则，拋物线：准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，又，即双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求法，本题关键是根据先求出的值，试题综合性强，属中等难度题.41点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（

25、 ）AB2CD【答案】D【解析】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）则F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PA|AF|=【点睛】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，-1）的距离与P到焦点F的距离之和.42已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )A3B4CD【答案】ABD【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,所以

26、过焦点作直线的垂线,则到直线的距离为的最小值,如图所示：所以,选项ABD均大于或等于3.【点睛】本题考查抛物线的定义,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.利用点到直线的距离公式即可求解.43抛物线x24y上的点到直线yx+50的距离的最小值是（ ）A3B2C1D0【答案】C【解析】设抛物线上一点的坐标为，可得点到直线的距离为，当时，取得最小值.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.44已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M

27、，AM的中点为N，若，则_.【答案】16【解析】，为的中点，且，则直线的倾斜角为，斜率为由抛物线，得，则直线的方程为联立，得则，【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题45以下三个关于圆锥曲线的命题中：设为两个定点，为非零常数，若,则动点的轨迹是双曲线；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线与椭圆有相同的焦点；已知抛物线，以过焦点的一条弦为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故错误；方程2x2

28、5x+2=0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；双曲线=1的焦点坐标为（±，0），椭圆y2=1的焦点坐标为（±，0），故正确；设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，AP+BP=AM+BNPQ=AB，以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故正确46已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.【答案】（1） ；（2）.【解析】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，；（2）设斜率为的直线的方程为，且、，椭圆的方程为，由，.消去得，又有.，解得：满足，直线的方程为.故到直线

29、的距离，.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.47在直角坐标系中，点到两点，的距离之和为4，设点的轨迹为，直线与轨迹交于两点.（1）求出轨迹的方程；（2）若，求弦长的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，满足，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，且长轴为4的椭圆，即，则，所以曲线的方程.（2）设，联立方程组，整理得，则，因为，所以，又由，所以，于是，化简得，即，又由.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用问题,解答此类题目

30、，通常求得的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，再通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力.48已知椭圆：的短轴长为2，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线交椭圆于，两点，且，若直线上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，则，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，由得.令，得，则，.因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴，过作的垂线，则垂足为线段的中点.设

31、点的坐标为，则.由方程组解得，即.而，所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆相交时根据有关条件求直线的方程问题，试题综合性强，计算量大，属中等难度题.49已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.（1）求椭圆的方程；（2）过焦点斜率为（）的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题设，则，.由，解得，所以.所以椭圆的方程为.（2）依题直线的方程为.由得.设,弦的中点为，则，所以.直线的方程为，令，得，则.若四边形为菱形，则，.所以.若点在椭圆

32、上，则.整理得，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.50（本小题14分）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，问是否存在直线与椭圆交于不同的两点，且的垂直平分线恰好过点？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1） 连接，在中， 由椭圆定义可知即，又，从而， 椭圆的标准方程为（2） 由题意可知，若的垂直平分线恰好过点，则有，当与轴垂直时，不满足；当与轴不垂直时，设的方程为，由，消得 ， ， ，式 令，的中点为，则 ， ， 又 ， 即，化简得， 结合式得，即，解之得：，综上所述，存在

33、满足条件的直线，且其斜率的取值范围为 .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系51 分别为等轴双曲线的左、右焦点，且到双曲线的一条渐近线的距离为1，（1）求双曲线的标准方程；（2）是双曲线上一点，若，求的面积.【答案】（1） （2） 【解析】（1）设等轴双曲线,到双曲线的一条渐近线的距离为双曲线的标准方程为： （2）是双曲线上一点，若,即，且.解得，解得， .52双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中，.（1）求双曲线的方程；（2）若是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求时，直线MN的方程.【答案】(1) (2) 【解析】（1）设直线，由题

34、意，双曲线方程为.（2）由（1）得，设，设直线，整理得， ，.，即，解得，代入有解，.【点睛】本小题主要考查根据双曲线渐近线方程求双曲线方程，考查点到直线距离公式，考查直线和双曲线相交、韦达定理的运用，考查平面向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题.53已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为5，虚轴长为4（）求双曲线的标准方程；（）过点0,1 ，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A,B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【答案】（）x2-y24=1;（）43.【解析】解：()依题意可得ca=52b=4c2=a2+b2，解得a=1,b=2,c=5，双曲

35、线的标准方程为x2-y24=1()直线l的方程为y=x+1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)由y=x+14x2-y2=4可得3x2-2x-5=0，由韦达定理可得x1+x2=23，x1x2=-53即|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=249+203=823原点到直线l的距离为d=22，于是SOAB=12|AB|d=12×823×22=43， OAB的面积为43考点：1双曲线的方程,简单几何性质;2直线与双曲线的位置关系问题.54已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出直

36、线方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) 存在，【解析】（1）设动圆圆心，半径为，根据题意得：，所以，则动点轨迹为双曲线（右支），所以，所以轨迹方程为.（2）设，代入双曲线的方程得两式相减得，因为是线段的中点，所以所以，所以的方程为.【点睛】本题考查双曲线的定义，点差法的应用，注意求出的双曲线方程要进行验证，只是双曲线的右支，考查逻辑推理能力和运算求解能力.55（1）点A(-2,4)在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；（2）已知双曲线经过点，它渐近线方程为，求双曲线的标准方程.【答案】（1）或（2）【解析】（1）点A(-2,4)在第二象限，则抛物线的图像过第二象限

37、，则可设抛物线方程为或，将点A(-2,4)代入解得，将点A(-2,4)代入解得，所以抛物线的方程为或，(2)由双曲线渐近线方程为，设双曲线的方程为，又双曲线经过点，将点（1，1）带入可得故双曲线C的标准方程为：.【点睛】本题考查了抛物线方程的求法及双曲线方程的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.56已知圆，直线，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且，求证：直线AB恒过定点.【答案】（1）； （2）见解析【解析】（1）由题意动圆P与相切,且与定圆外切所以动点P到的距离与到直线的距离相等由抛物

38、线的定义知,点P的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线故所求P的轨迹方程E为（2）证明：设直线,将直线AB代入到中化简得,所以,又因为，所以则直线AB为恒过定点【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程求法,直线与抛物线的位置关系及直线过定点问题,属于中档题.57已知抛物线的焦点为，为抛物线上不重合的两动点，为坐标原点，过，作抛物线的切线，直线，交于点（1）求抛物线的方程；（2）问：直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；（3）三角形的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值【答案】（1）；（2）是，；（3）是，.【解析】（1）由得，所以抛物线方程为（2）当斜率不存在时，与对称轴平行，没有两个交点， 当斜率存在时，设直线方程为，由得，则，又，得，即，所以直