定稿：平衡的稳定性与状态分布

1、平衡的稳定性与状态分布摘要：本文从统计的角度研究了物体的稳定性与物体的重心位置及底面积的关系，发现这三者之间存在着明显的定量关系。从力学的角度进行分析，发现物体的稳定性大小是物体的底面积大小的的单调增加函数，而是其重心高度大小的单调减少函数，并根据实验结果给出了具体函数的近似形式。我们的结果在建筑和机械设计方面具有一定的应用价值。关键词：稳定性，稳度，定量分析1.引言：平衡是物理系统乃至一般系统的重要概念。从力学的角度看，物体受到几个力的作用，仍保持静止状态，或匀速直线运动状态，就叫做物体处于平衡状态，简称平衡。处于平衡状态的物体，总要放在或挂在另一物体上，它们的接触可能是一个点、一个轴线、一

2、个面所以可把力学平衡归纳为三种形式：有支点物体的平衡、有支轴物体的平衡、有支面物体的平衡。有支点或有支轴的物体，在遇到无限小扰动时就会偏离原来的平衡状态，我们可以根据它对扰动的响应，分为稳定平衡、不稳平衡和随遇平衡等三种情况。而有支面的物体，在遇到无限小扰动时不会偏离原来的平衡状态，因此它的平衡可以认为总是稳定的。在遇到有限扰动时，有支面的物体有时也会脱离原来的稳定平衡状态，跃迁到另一个稳定平衡状态。在同样的扰动下，难以跃迁的物体稳定程度高，容易跃迁的物体稳定程度低，因此我们可以定义一个衡量物体平衡稳定程度的力学量稳度。我们从经验中知道，物体的支面越大，重心位置越低，就越稳定。然而这只是给了我

3、们一个定性的关系，并没有明确指出它们之间的定量规律。稳度与其他力学量的定量关系是什么？这在文献中还没有记载，下面我们就从实验出发，对这个问题进行定量的探索。2. 理论分析hab2.1 模型为了简化问题的讨论，我们考虑一个长方体，如右图。不失一般性，我们假定该长方体的长为a，宽为b，高为h，稳度用表示，底面积用S表示，根据经验，我们有一般关系 （1）22公式的简化由于对同一物体而言，当它的长，宽，高同时扩大l倍时，它的稳度的大小不应该发生变化。即 （2）这说明稳度应该是其长，宽，高的齐次函数。由齐次函数的欧拉定理，我们不难得到 （3）这就是稳度与其它力学参数之间的函数关系，从经验可以知道函数g为

4、自变量的单调增加函数，但其具体形式应该由理论分析和实验来确定。23 理论分析 从力学角度分析，要使该长方体在b边翻倒，需要的最少力矩为： （4），设该力水平作用于长方体的重心，即力臂为h/2，因此扰动的作用力为 （5）由于稳度应该是一个无量纲的物理量，我们可用扰动作用力DF与物体重力mg之比来表示稳度的大小，即 （6）同理，要使使该长方体在a边翻倒，稳度的表达式应该为 （7）当 a ¹ b时，上面两式可以统一为 （8）这与上一小节的一般分析完全一致。24 极限情况 根据上面的公式，当边长a或b很小时，稳度也很小，这与我们的经验完全一致；另一方面，当高度h很小时，稳度却很大，这也与我们

5、的经验完全一致。3. 稳定性与分布31 单状态的分布假设物体只有一个稳定状态，其稳度为 h 时，在随机扰动的情况下，该状态出现的概率应该与稳度 h 有关，随着稳度的增大而增大，即概率p 是稳度的单调增函数，可以写成 （9）显然当 h = 0时，概率p = 0；当 h = ¥ 时，概率 p = 1。函数 f (h) 必须是自变量的单调增函数，具体形式由实验确定。32 多状态的分布当物体具有多个稳定状态，由于概率具有归一化的要求，各个状态的概率不完全取决于该状态对应的稳度，而是应该与其他状态的稳度也有关系。这就要求在多状态的情况下，实际概率存在一个归一化因子A。这时在随机扰动的情况下，该

6、状态出现的概率应该为 （10）其中，归一化因子A由归一化条件 （11）确定。即 （12）4.实验验证我们在第2节进行的理论分析得出了物体稳定性大小与物体底面面积以及重心位置大小的定量关系, 第3节又进一步得到了稳定性与状态分布概率的关系。上述的理论结果是否正确，必须通过实验来进行检验。4.1实验方案我们先找来长、宽、高各不相同的麻将和军棋，各10个，分别用游标卡尺测出它们的长、宽、高，然后在距地面一定高度无初速掷下，实验发现平躺着的物块最多，横着的次之，站着的最少。这些长方体在与地面碰撞时，情况很复杂，受到多种偶然因素得影响，很难用力学知识来直接进行处理，只能用统计的方法进行分析。4.2实验环

7、境物体的下落会受到风的影响,为排除这一影响,纯化问题,应把实验置于无风的环境中,最好在室内,另外,地面环境也影响实验的结果,实验场地的地面若起伏较大,无疑也影响物体的状态分布,所以应选择平稳干净的水泥地面和平坦坚硬的泥地面。4.3 实验过程在一无风的室内找一块平整的水泥地面，和干燥的硬泥地面，使各组物快分别在距地面15cm高处无初速度落下，记录各次平，横，站着的物块个数，每组做1000次，每次使10个物块同时下落。即，总数为10000个。4.4 实验数据及其处理以稳度为变量，以概率的对数Ln P为自变量，利用数学工具（Mathematica）进行描点，并在同一坐标系上进行曲线拟合。拟合规律为

8、（13）拟合的结果如下：1）双色麻将：a=3.304cm b=2.402cm h=1.510cm水泥地面状态平横站个数8785111699概率(P)87.85%11.16%0.99%LnP=1.86565,0.929898,0.5764153LnP=-0.157356,-2.05338,-4.057053 干燥硬泥地面状态平横站个数85441283173概率(P)85.44%12.83%1.73%LnP=1.86565,0.929898,0.576415LnP=-0.157356,-2.05338,-4.0570532）军棋： a=2.374cm b=1.820cm h=0.900cm水泥地面

9、状态平横站个数916773697概率(P)91.67%7.36%0.97%Ln P=2.30958,0.803138,0.5391093LnP=-0.086975,-2.60911,-4.635633干燥硬泥地面状态平横站个数8954898148概率(P)89.54%8.98%1.48%LnP=2.30958,0.803138,0.5391093LnP=-0.110485,-2.41017,-4.213133）单色麻将：a=3.288cm b=2.260cm h=1.290cm水泥地面状态平横站个数909784459概率(P)90.97%8.44%0.59%LnP=2.11315,0.9112

10、81,0.5192993LnP=-0.0946404,-2.47219,-5.1328干燥硬泥地面状态平横站个数88161057127概率(P)88.16%10.57%1.27%LnP=2.11315,0.911281,0.5192993LnP=-0.126017,-2.24715,-4.36615345拟合结果的分析：我们通过对以上六个图的观察发现，实际各点相当接近我们拟合的曲线，差距很小，这些差距可能是实验误差，也有可能是此次曲线拟合不够优化，但它却能够直观的反映出概率与稳度之间的单调递增的关系，从总体上来说，这种理论分析和推导还是有一定的参考价值。5.小结：本文通过实验方法从力学角度研究了物块稳定状态的稳定程度，即稳度的定量定义，并从统计的角度研究了物块的概率与稳度之间的定量关系。在此基础上，我们对理想的模型进行了实验验证。