电路基础2分解

1、电路的物理量和参考方向i = dQ/dtQ 为电荷量。I = Q/T u = dW/dQ W 电场力， U = W/QE 为电动势， E = W/Q dW = ui dt dW = u dQdW 单位为焦耳 J能量相对时间的变化率为电功率，P = dW/dt = ui线性电阻以及欧姆定律R = p l/s p 为电阻率， l 为长度， s 为横截面积。u = Ri 有时候也用电导表示一个电阻元件的性质， 电导定义为电阻的倒数，G = 1/R基尔霍夫定律 电阻： u = iR 电感： u = L di/dt 电容： i = C du/dt基尔霍夫电流定律 KCLE出 = E 入 基尔霍夫电压定律

2、 KVLEU 升 = EU 降 二：电路的等效变换和一般分析方法 电路 Y 型和 A 型电路的等效变换 1：将 Y 转换为 A 型连接时候 R12 = (R1R2+R1R3+R2R3)/R3 R13 = (R1R2+R1R3+R2R3)/R2R23 = (R1R2+R1R3+R2R3)/R1 当 R1 = R2 = R3 时，RA = 3RY 2：将 A 型转换为 Y 型连接时R1 = R12R13/(R12+R13+R23)R2 = R12R23/(R12+R13+R23)R3 = R32R13/(R12+R13+R23)当 R12 = R13 = R23 时RY = RA 1/3单节点偶电

3、路弥尔曼定理， 在多个电流源和多个电阻组成的单节点偶电路中，两节点之间的电压等于流入高电位节点 的电流源之代数和除以所有电阻倒数之和。叠加原理 在含有多个电源的电路中，各支路的电流以及元件两端的电压是多个电源共同作用的结果。 对于线性电路， 任何一条支路的电流或任何一个元件两端的电压， 都可以看成是由电路中各 个电源分别单独作用时，在此支路中所产生的电流或在此元件两端所产生的电压代数和。电压源 = 短路电流源 = 开路戴维南定理任何一个线性有源二端网络都可以用一个恒定电压 Us 和内阻 Rs 串联的电压源来等效代替， 等效电源的电压 Us 就是有源二端网络的开路电压，等效电压源的内阻 Rs 就

4、是有源二端网 络中所有电源为零后所得到的无源二端网络的等效电阻。电压源 = 短路电流源 = 开路最大功率传输定理PL = I2 RL = ( Us/(Rs+RL ) 2 RL 数学分析，要使 PL 最大，应使 dPL / dRL = 0 负载获得最大输出的条件是 RL = Rs RL = Rs 时，称为功率匹配，此时负载获得的功率是 PLmax = Us2/4Rs三：正弦稳态电路 i = Im sin( t + )f = 1/T = 2/T = 2 f幅值和有效值Q = i2 R dt （0T ）Q' = I2 R T 由上式可得出周期电流的有效值I = 1/T （） i2 R dti

5、 = Im sin tI = Im/ 2同理U = Um/ 2E = Em/ 2 相位和相位差t+ 称为正弦量的相位或相位角u = Um sin（ t+ ） i = Im sin（ t+ ）正弦量的表示方法复数A = a+jba，b 分别为复数 A 的实部和虚部， j = -1 为虚数单位。复数 A 可以用实轴与虚轴组成的复平面上的有向线段 OA 向量来表示r = a2+b2r 是复数的大小，称为复数的模， = arctan b/a是复数与实轴正方向间的夹角，称为复数的辐角 a = r cos b = r sin 复数的三角函数形式为A = r(cos +j sin ) 将欧拉公式 ej =

6、cos +j sin A = r ej 实用上，常把指数形式写成极坐标形式A = r复数的 4 种表示形式可互相转换， 加减运算A1+A2 = （a1+a2） +j（b1+b2） 乘除运算A1A2 = r1 1 * r22 = r1r2 （ 1+ 2）A1/A2 = r1 1 / r22 = r1/r2（1-2）作为两复数相乘的特例，是一复数乘以 +j 或 -jcos90 +jsin90 = 0 +j = jj 是模为 1，辐角为 90 的复数。只有正弦量才能用相量来表示，相量不能表示非正弦周期量。单一元件的正弦电路u = Ri = 2 Ri sin(t+) = 2 U sin( t+) 功率

7、P = ui = Um sin t Im sin t = 2 U Isin2 t = UI ( 1-cos2 t)通常说的功率是指在一个周期内电路所消耗功率的平均值，称为平均功率又称为有用功率 P = 1/T Pdt = 1/T UI(1-cos t)dt = UI = I2R = U2/R纯电容电路i = dQ/dt = C du/dt u = Um sin ti = C du/dt = CUm cost = CUm sin( t+90) = Im sin( t+90)I = CU= +90相量关系式I = j CU = U/(1/j C)U = 1/(j C) I = -j 1/( C)

8、* I正弦电路中 ,电容上的电流相位超前电压相位 90°等效阻抗为 1/ C容抗 XcXc = 1/C = 1/(2 fC)功率P = ui = Um sin t * I sin( t+90° ) = UI sin2 t 电容元件电路中 ,平均功率P = 1/T Pdt = 1/T UI sin2 t dt = 0 电容元件不消耗能量 ,能量交换的大小用 Qc 无功功率来衡量 . Qc = UI = I2Xc = U2/Xc纯电感电路u = L di/dt i = Im sin t u = L di/dt = Im Lcost = Im Lsin( t+90 °

9、) = Um sin( t+90°) U = LI = 90 °相量关系U = j LII = U/(j L) 正弦电路中 ,电感上电压超前电流相位 90° ,I = U/( L)Xl = L = 2fL 功率P = ui = Um sin( t+90°)Im sint = UI sin 2 t 平均功率P = 1/T Pdt = 1/T UI sin 2 t dt = 0 无功功率Ql = UI =I2Xl = U2/XlRLC 串联正弦电路Z = U/IZr = RZl = j L = jXlZc = 1/(j C) = -jXc i = 2 I s

10、in tI = I 0°U = Ur+Ul+Uc = RI + I jXl I jXc = (R+j(Xl-Xc) I = (R+jX)I = ZIX = Xl Xc = L 1/( C) RLC 串联电路的阻抗为Z = R+j(Xl-Xc) = R+jX阻抗角和电路的性质Z = R+jX = Z 复阻抗的模 Z = (R2+X2) = (R2+(Xl-Xc)2) = arctan X/R = arctan (Xl-Xc)/R显然 ,Z,R,X 的三者的关系 ,可用一直角三角形 阻抗三角形表示 R = Z cos , X = Z sin 正弦电路的功率以及功率因素的提高u = Um

11、sin( t+ )i = Im sin t无源单口网络是瞬时功率为P = ui = Um Im sin( t+ ) sint因为sin(t+)sint = cos/2 cos(2 t+ )/2 UmIm/2 = UI所以 P = UIcons -UIcos(2 t+)瞬时功率由两部分组成一部分为 UIcos ,是与时间无关的恒量 , 另一部分是幅值 UI,按 2t 角频率变化的正弦量 相应的平均功率为P = 1/T Pdt = 1/T (UIcos -UIcos(2 t+ )dt = UIcos 由电压三角形可知Ucos = Ur = IRP = UIcos = UrI = I2R cos称为

12、功率因素无功功率Q=Ql-Qc=Ul I UcI=UxIUx = Usin Q = UxI = UIsin = I2(Xl-Xc) 视在功率 用 S 表示S = UI = I2Z = U2/Z 有功功率 P, 无功功率 Q, 视在功率 SS = (P2+Q2)cos = P/S = Ur/U = R/ZP = Pk = Ik2 Rk复功率二端网络的 P,Q,S 之间的关系 ,可用一个复数来表示 ,这个复数称为复功率 ,为了和一般的复数 和相量相区别 ,复功率用 S_ 表示 .S_ = P+jQP = UI cos , Q = UI sin S_ = UI cos +jUIsin = UI(co

13、s +jsin )= UI = UI (u i)= Uu*I - i= U_I_ =I2R,Q=UIsin =I2Xl =I2R,Q=UIsin =-I2Xc正弦交流电路中的电压与电流的关系以及功率式子电路相位关系大小关系复数式功率式R= 0 °I=U/RI=U/RP=I2RL= 90 °I = U/XlI=U/jXlP=0,Ql = I2XlC= -90 °I=U/XcI=U/(-jXc)P=0,Qc=-I2XcRL 串联 >0°I =U/ (R2+Xl2), I=U/(R+jXl), P=UIcos RC 串联 <0°I= U/

14、 (R2+Xc2),I=U/(R-jXc), P=UIcos=I2R,Q=UIsin =I2(Xl-Xc)RLC 串联 I=U/ (R2+(Xl-Xc)2),I=U/(R+j(Xl-Xc), P=UIcos功率因素的提高I_ = U/Z = U/(R+jXl) = U 0°/Z = I- cos = R/ZIc = -U/jXc = jU/Xc基尔霍夫定律以及欧姆定律的相量形式任意一节点 i=0,u=0第四章 : 谐振电路RLC 串联电路电抗的频率特性 在正弦电压 us =Usm sin t 的作用下 , 电阻的复阻抗为Z = R+j L+1/(j C)=R+j( L-1/C)=R+

15、j(Xl-Xc)=R+jX=Z 当 X=Xl-Xc= L-1/ C=0 时,Z=R, 且 =arctan(X/R) = 0 电路呈纯阻性 ,RLC 串联电路的这种工作状态称为串联谐振 .电路的谐振频率 oL- 1/ oC = 0 o = 1/ LC fo = 1/(2 LC)电路电抗的频率特性Xc = Xl = oL = L/LC =L/C = 称为串联谐振电路的特性阻抗 ,单位为 , > o 时 ,Xl>Xc, 电路程感性 < o 时 ,Xl<Xc, 电路程容性谐振条件当电路中 L 和 C 为固定值时 ,只要电源频率等于电路的固有频率 ,电路就发生谐振 . 谐振电路的

16、谐振条件是 : 电源频率等于谐振频率 ,Co = 1/ 2LLo = 1/ 2C 串联谐振的特点 串联谐振时 ,Z=R, 电路程纯电阻性 ,阻抗值最小 串联谐振时 , =0° ,电流与电压同相位 ,电路中电流最大 ,Xl=Xc, 电感电压与电容电压等值反向 ,电源电压等于电阻上的电压 .若 Xl=Xc= >>R, 则 Ul=Uc>>Ur, 电感或电容上的电压远大于电源电压 , 这是串联谐振特有 的.故串联谐振又称为电压谐振 ,电阻为 0 时 ,Z=jX=j(Xl-Xc)=j( L-1/ C) LC 串联组合相当于短路 .串联谐振电路的谐振曲线和选择性RLC 串

17、联电路中电流I=U/ (R2+(Xl-Xc)2)=U/(R2+( L-1/C)2)=Io/ (1+( L/R-1/ CR)2)=Io/ (1+( /R)2*( /o-o/)2)当电流下降到 0.707Io 时对应的上限频率和下限频率之差称为通频带的带宽 在实际 LC 谐振电路中 , 频带宽度是有具体要求的 ,Q = /R = oL/R = 1/ oCRQ 称为谐振回路的品质因素 , 它是一个无量纲的量 .RLC 并联谐振电路电路的导纳为 , 注意以导纳为计算 !Y = 1/R+1/j L+j C = 1/R-j(1/ L- C) = G j(BL - BC)=G jB =Y 当 BL = BC

18、 时 ,Y=G,电路呈阻性 , =-arctan B/G = 0 电压与电流同相位 ,电路发生谐振 .电路的谐振频率o = 1/ LCfo=1/(2 LC)并联谐振的特点1: 并联谐振时 ,电路呈现阻性 ,Y=G 即 Z=R, 复导纳最小 ,阻抗值最大2: = 0, U=Uo=IR, 电压值最大 ,3:并联谐振时 ,BL=BC, 电感电容电流等值相反 ,电源电流 Is 全部流过 R,4:并联谐振时 ,BL=BC>>G ,电感支路和电容支路电流将远大于电源的电流,这是并联谐振特有的.5:并联谐振时 ,电路的总无功功率为 0,并联谐振的品质因数Q = Ico/I=ILo/I=BL/G=

19、R/ oL= oCR当 ICo=ILo=IQ, 当 BL=BC>>G 时 ,Q>>1电容三点式 LC 振荡电路 .回路总电容C=C1C2/(C1+C2)U2/U1 = C/C2fo = 1/(2 LC1C2/(C1+C2)= 1/(2 LC)串并联电路的谐振复阻抗的频率特性Z = 1/(j C1)+(j L*1/j C)/(jL+1/jC)= (1- 2LC- 2LC1)/(j C1(1- 2LC)=(j 2(LC+LC1)-1)/( C1(1-2LC)1:当 1-2LC = 0 时 ,式中的分母为 0,可得并联谐振频率 1=1/LC,2:当 =0 时分母也为 0,也可

20、看做是并联谐振频率 ,3:当式中分子为 0 时,即2(LC+LC1)-1 = 0 时,可得串联谐振频率 2 = 1/ (LC+LC1) 此时电路中阻抗 Z=0, 相当与短路 .谐振频率的计算1:根据电路写出电路的复阻抗表达式 2:令表达式中复阻抗的虚部为 0,并计算出相应的频率 . 3:如果表达式中复阻抗的虚部为分数形式,则当分子为 0 时,计算出的频率为串联谐振频率 ,当分母为 0 时,计算出的频率是并联谐振频率 .谐振电路分析说明1:LC 串联谐振相当于短路2:LC 并联谐振相当于开路3:注意通频带宽和品质因素的关系 ,通频带宽宽些 ,则品质因素下降 ,第六章 二端口网络二端口网络按其内部

21、是否含有电源 ,分为含源二端口网络和无源二端口网络 二端口网络按其内部电路是否含有非线性元件,分为非线性二端口网络和线性二端口网络.二端口网络的 Y 参数方程和 Z 参数方程U=I2Z 线性二端口网络 Y 参数 (导纳 )Y11 输出端短路 ,输入端的入端导纳Y21 输出端短路 ,输出端对输入端的转移导纳Y12 输入端短路 ,输入端对输出端的转移导纳Y22 输入端短路 ,输出端的入端导纳Y 参数是在短路情况下确定的 ,又称为短路参数 ,Y 参数的单位为 S 对于线性无源二端口 ,可以证明 两个转移导纳相等 Y12=Y21 意义是电源在输入端作用 ,在输出端产生的电流 ,等于电源在输出端作用 ,

22、在输入端产生的电 流.这种性质称为互易特性 .对于线性无源二端口网络 ,只有三个独立参数 Y11,Y12,Y21=Y12二端口网络的 Z 参数方程Y 参数是用端口的电压 U1,U2 来表示端口电流 I1,I2 的一种参数 如果已知端口的电流 I1,I2,求端口电压 U1,U2,要用 Z 参数方程 . U1 = I1 Y22/Y I2 Y12/YU2 = I2 Y11/Y I1 Y21/YZ11 = Y22/Y, Z12 = -Y12/YZ21= -Y21/Y, Z22 = Y11/YU1 = Z11 I1 + Z12 I2U2 = Z21 I1 + Z22 I2 线性无源二端口网络的复阻抗Z

23、参数方程Z 参数方程是用开路法确定的Z11=U1/I1Z21=U2/I1Z12=U1/I2Z22=U2/I2Z 参数和 Y 参数都是 UI 的比例系数 ,是与网络内部结构 ,元件参数 ,信号源的频率有关的物理 量 , 而与信号源的电压的幅值和负载无关 .Z11 输出端开路 , 输入端的入端复阻抗 ,称为输入阻抗Z21 输出端开路 , 输出端对输入端的转移阻抗 ,称开路转移阻抗Z12 输入端开路 , 输入端对输出端的转移阻抗Z22 输入端开路 , 输出端的输入阻抗二端口网络的 A 参数方程和 H 参数方程U1 = -U2 Y22/Y21 + I2/Y21I1 = (Y12-Y11Y22/Y21)

24、U2 + I2 Y11/Y21二端口网络的 T 形等效电路U1 = I1Z1 +(I1+I2)Z3 = I1(Z1+Z3)+I2Z3二端口网络的 形等效电路U2 = 0I1 = U1(1/Za + 1/Zb)Y11 = I1/U1 |U2 = 0 = 1/Za+1/Zb I2 = -U1/ZbU1 = 0I2 = U2(1/Zb+1/Zc)二端口网络的 T 形网络和 形网络互换 .第七章 非正弦周期信号 产生非正弦周期信号的原因 f(t)=u=u1+u2=U1sin t+U2sin3 t电路中存在非线性元件 , 若电源电压为正弦波 ,但电路中存在非线性元件 ,电路中的电流将是非正弦的 .傅里叶

25、级数分析非正弦周期电路 ,需利用傅里叶级数将非正弦电压电流分解成一系列不同频率的正弦电 压电流之和 . 分解后的各量称为谐波分量 . 然后分别计算各谐波分量单独作用于电路时产生 正弦电压或电流 ,根据叠加原理将各正弦电压或电流进行叠加,得到最终结果 .这种分析方法称为谐波分析法f(t) = a0+a1cos t+ +b1sin t+b2sin t+=a0+ (akcos t+bksin t)a0 为直流分量 , a1cost+b1sin t 称为基波或一次谐波 . a2cost+b2sin t 称为二次谐波 系数 a0,ak,bk 的计算式为a0=1/Tf(t)dt ak=2/T f(t)co

26、sk tdtk=1,2,3bk=2/T f(t)sink tdtk=1,2,3非正弦周期函数的另外一种傅里叶级数表示形式为 f(t)=A0+ Akm sin(k t+k) 根据三角函数知识Akm= ak2+bk2 k = arctan ak/bk a0 = A0,ak=Akm sin t, bk = Akm cos t,这样就大大方便了傅里叶波形对称性和傅里叶级数的关系 如果函数的波形具有某种对称性 ,则傅里叶级数中的某些项将为零 级数的计算 .关于原点对称的奇函数 波形对称于原点 ,在数学上称为奇函数 ,则 f(t) = -f(-t) 因函数f(t) = a0+ (akcosk t+bksi

27、nk t)则函数-f(-t) = -a0+ (-akcosk t+bksink t) 要两函数相等 ,必须是 a0=0,ak=0 由此可知 ,原点对称的奇函数不含直流和其余弦分量,即f(t) = bksink t关于纵轴对称的偶函数波形对称于纵轴 ,在数学上称为偶函数 ,则 : f(t) = f(-t)因函数f(t) = a0+ (akcosk t+bksink t)则函数f(-t) = a0+ (akcosk t-bksink t) 要使两函数相等 ,必须是 bk=0, 由此可知 ,纵轴对称的偶函数不含各正弦分量 ,即 f(t) = a0+ akcosk t奇次谐波函数当两个相差半个周期的函

28、数值大小相等,符号相反 ,波形后半周对横坐标轴的镜像是前半周的 重复,称为奇次谐波函数 (奇函数 ) f(t) = -f(t+T/2)因 f(t)=a0+ (akcosk t+bksink t)-f(t+T/2) = -a0+ (akcosk t+bksink t)(k=1,3,5 ) - (akcos t+bksink t)(k=2,4,6 ) 显然要满足奇次谐波函数条件 ,必须有 a0,a2,b0,b2为零即f(t) = (akcosk t+bksink t)(k=1,3,5 ) 式中只有奇次谐波项 ,故称为奇次谐波函数 .偶次函数当一个非正弦周期函数的两个相差半个周期的函数值大小相等,符

29、号相同 ,称为偶谐函数f(t) = f(t+T/2)f(t) = a0+ (akcosk t+bksink t) (k=1)而f(t+T/2) = a0- (akcoskt+bksinkt)(k=1,3,5) + (akcost+bksink t)(k=2,4,6 ) 显然要满足偶次谐波函数条件 ,必须有 a1,a3,b1,b3 为零即f(t) = a0+ (akcosk t+bksink t)(k=2,4,6 ) 式中只有直流量和偶次谐波项 ,故称为偶次谐波函数 .几种常见的非正弦周期信号波形及傅里叶级数表达式方波f(t) = 4Am/ * (sin t+1/3(sin3 t)+1/5(si

30、n5 t) 有效值 Am,平均值 Am,锯齿波f(t)=Am(1/2-1/ (sint+1/2(sin2 t)+1/3(sin3 t) 有效值 Am/ 3平均值 Am/ 2 三角波f(t) = 8Am/ 2(sin t-1/9(sin3 t)+1/25(sin5 t) 有效值 Am/ 3平均值 Am/ 2梯形波f(t)=4Am/(a ) (sina.sin t+1/9(sin3a.sin3 t)+1/25(sin5a.sin5 t) 有效值 Am (1-4a/3 )平均值 Am(1-a/ )单相全波整流f(t)=4Am/ (1/2-1/3 cos2 t-1/15 cos4 t-1/35 cos

31、6 t )有效值 ,平均值和平均功率有效值 非正弦周期函数的有效值与正弦函数的有效值其定义是一样的 . 以正弦电流i=Imsin( t+ )其有效值为I= (1/T i2dt)设有一非正弦周期电流 ,其傅里叶级数表达式为I = Io+ Ikm sin(k t+ ) 非正弦周期电流的有效值为I = (1/T + (Io+ Ikm sin(k t+ )2dt)= (Io2+ Ik2) = (Io2+I12+I32 )同理 ,非正弦周期电压有效值为U= (Uo2+ Uk2) = (Uo2+U12+U22 )非正弦周期函数的有效值等于它的直流分量与各次谐波分量有效值平方和的平方根直流分量的有效值就是其

32、本身 , 各次谐波分量的有效值等于其最大值的1/2平均值假设非正弦周期函数的平均值为Aav,有Aav=1/T f(t) dt即非正弦周期函数 f(t)的平均值为 f(t) 的绝对值在一个周期的平均值平均功率 u=Uo+ Ukmsin(k t+ ) i=Io+ Ikmsin(k + )P=uiP=1/TP(t)dt =UoIo+U1I1cos 1+U2I2cos 2.电路的暂态分析初始值的确定 . 基本初始公式Ur=iRUl=L dIL/dtIc=C dUc/dtRC 电路的充放电RC 充电电路过渡过程RC 电路充电过程的微分方程 uR+uC=Us uR=iR,i=Cduc/dtRC duc/d

33、t +uC = Us 上式为一节常系数线性非齐次微分方程 . 它的解由待解 u'C 和相对应的齐次微分方程的通解 u'C'组成 ,即 uC=u 'C+u 'C'.取电容电压充电至新的稳态时的值 Us 作为方程的一个特解 ,即 u'C=Us 再由齐次微分方程求通解 u'C'齐次微分方程为RCduc/dt+uC=0 特征方程为RCp+1=0 特征根为 p=-1/RC 齐次方程通解为 u'C'=A.e(-t/RC)初始值 uC(0)=0, 方程为uC=u'C+u'C'=Us+A.e(-t/RC)即0=Us+A得到积分常数 A=-UsRC 充电电压 uC=Us(1-e(-t/RC) 充电电流为i=C duc/dt = Us/R * e(-t/RC) = RC, 称为时间常数 , 单位时间为秒 (s), 则充电电路的电流电压方程为uC=Us(1-e(-t/ ) i=C Us/R * e(-t/ )RC 放电电路uC=A.e(-t/RC)A=UsRC 放电电路电压为 uC=Us*e(-t/ ) 电流方程为 i=-Us/R * e(-t/ )RC 电路的时间常数.F = V/A *C/V =