第3课时解一元二次方程-配方法

1、i第 3 课时解一元二次方程-配方法一、知识回顾1形如(n0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+m-士丽，从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”2如果方程能化成x-p或(m升n) p(p 0)的形式，那么利用直接开平方法可得x士Jp或m灶n-士JP二、新知讲解问题 1 要使一块长方形场地的长比宽多6m 并且面积为 16m2，场地的长和宽应各是多少？解：设场地的宽为 xm,则长为 根据长方形面积为 16m2，得：x(x+6)-16即 x 2+6X-16-0怎样解方程 x 2+6x-16-0 ?能把方程 x 2+6x-16-0 转化成(mx+ n)2-a 的形

2、式吗？认真阅读课本第 6 至 9 页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程(1)x2+ 10 x +() ( X+)2；分析：x2+ 2 x 5 + 52- ( x + 5 )2(2)x2- 12x +() ( x-)22 2x + 5x +() ( x+);2 2x - x +() ( x-)从这些练习中你发现了什么特点？我们研究方程 x2+6x-16-0 的解法先把常数项移到右边，得x2+ 6x 162将方程视为 x +2 x 3-16,222即 x +2 x 3+3 -16+3 ,2 (x+3) -25,/ x+3-即 x+3-或 x+3-,.X1, X2把一兀二次方程的左边配成一个

3、完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一兀二次方程的方法叫做配方法三、典例探究1.配方法解一兀二次方程【例 1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是()A. x2 2x - 99-0 化为(x 1)2-100 B .X2+8X+9-0 化为(x+4)2-25C. 2t2 7t 4-0 化为(t -)2旦D. 3x2 4x 2-0 化为(x -)2出41639总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)把二次项的系数化为 1;(2) 把常数项移到等号的右边；(3) 等式两边同时加上一次项系数一半的平方.(4)用直接开平方法解这个方程.2练 1 用配方法解方程：2 2x - 2x - 24=0;

4、(2) 3x+8x-3=0 ; (3) x (x+2) =120.2用配方法求多项式的最值【例 2】(2015 春?龙泉驿区校级月考)当 x, y 取何值时，多项式 x2+4x+4y2求出最小值.-4y+1 取得最小值，并总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.四、总结归纳总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.一、选择题1. 1.将一元二次方程 X2-2X-4-0 用配方法化成(x+a) 2=b 的形式为，

5、？所以方程的根为。 .2.关于 x 的二次三项式x2 +4x+k 是一个完全平方式，则k 的值是3. 右 x2mx+49 是一个元全平方式，贝 U m=。4. 用配方法将二次三项式a2-4a+5 变形结果是()A. (a-2 )2+1B. (a+2)2-12 2C. (a+2) +1D. (a-2 ) -15. 用配方法解方程 x +4x=10 的根为()二、 填空题3.(2015春?盐城校级期中)一元二次方程x2- 6x+a=0，配方后为(x- 3)24.(2014 秋?营山县校级月考)当 x= 时，代数式 3x2- 6x 的值等于 12.三、 解答题5.(2015?东西湖区校级模拟)用=1

6、，则 a=.6.右 x2+6x+m2 是一个元全平方式，则m的值是()A . 3 B . -3 C . 3 D .以上都不对7. 如果关于 x 的方程 x2+kx+3-0 有一个根是-1 ,那么 k=，另一根为8. 若 a2+2a+b2-6b+10=0,则 a=, b=。.9.用配万法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 3k+ 5 的值必疋大于零.10.证明：代数式 x2+4x+ 5 的值不小于 1.11. 用配方法解下列方程：(1) x2 -3x-1=0(2) x2 1/2x-1/2=0(3) (x-1)(x+2)=1229.(2014 春?乳山市期末)已知代数式 x - 2mx- m+

7、5m- 5 的最小值是-23,10. 用配方法解下列方程：求 m 的值.3(3) (x-1)(x+2)=1五、作业设置1. 必做题：课本第 9 页练习第 2 ( 1) (2)题，课本第 17 页习题 21.2 第 3 ( 1) (2) (3)题。2. 选做题：(2014 秋?江阴市期中)配方法可以用来解一元二次方程， 还可以用它来解决很多问题. 例 如：因为3a20,所以3a2+1 1,即： 3a2+1有最小值1,此时a=0;同样， 因为-3 (a+1)20这一性质即可证得.解：-8x2+12x-5=-8(x2-_Lx)-5=-8x2-_2x+(_2)2-5+8X(=)2=-8(x-二)224

8、44-:?2( x- ；)20,4.- 8 (x-二)2w0,42 -8(x-)- v0,42即-8x2+12 - 5 的值一定小于 0.点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值.练 3.【解析】(1)将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；(2)将等式右边的项移至左边，然后配方即可.解：(1) a2- b2+c2- 2ac= (a- c)2- b2= (a - c+b) (a - c - b)/a、b、cABC 三边的长，(a-c+b)0, (a-c-b)v0,2 2 2 a-b +c-2acv0.(2) 由 a2+

9、2b2+c2=2b (a+c)得：a2- 2ab+b2+b2- 2bc+c2=0配方得：(a- b)2+ (b- c)2=0 a=b=c7 ABC 为等边三角形.点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方.课后小测答案：一、选择题1.【解析】二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方.解：x - 2x+3=x - 2x+1+2= (x- 1) +2.故选：B.点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值.2.【解析】先移项，得x2-8x=1，然后在方程的左右两边同时加上16,即可得到完全平方 的形式.解：移项，得 x2- 8

10、x=1，配方，得 x - 8x+16=1 + 16,即（x- 4）2=17.故选 A.点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方， 不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握.二、 填空题3.【解析】禾U用完全平方公式化简后，即可确定出a 的值.解：（ x- 3）2=x2- 6x+9，二 a=9;故答案为：9.点评：此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.4.【解析】根据题意列出方程，两边除以3 变形后， 再加上 1 配方后，开方即可求出解.解：根据题意得：3x2- 6x=12，即 x2- 2x=4,配方得：x2-

11、 2x+1=5，即（x - 1）2=5,开方得：x- 1 = 匸，解得：x=1 :.故答案为：1 .点评：此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.三、 解答题5.【解析】按照配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ; （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是 2 的倍数.解：把方程 x2- 2x - 4=0 的常数项移到等号的右边，得到x2- 2x=4,方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2- 2x+仁 4+1,配方得（x- 1）2=5

12、, x -仁_匸，_ X1=1 7, X2=1+7 .8点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握.6.解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值. 解：原式=x - 2x+1+4y +4y+1+32 2=（x - 1） + （2y+1 ） +33,当 x=1, y=-匸时，x2+4y2- 2x+4y+5 有最小值是 3.点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关 键.7.【解析】对于 x2+4x - 3 和 x2- 3x+4 都是同时加上且减去一次项系数一半的平

13、方.配成一 个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值.解：（1）正确（2 ）能.过程如下：x2- 3x+4=x2- 3x+= - +4= （x - -）2+4 424(X-；)20,2所以X -3x+4 的最小值是4点评：此题考查配方法的运用， 配方法是常用的数学思想方法不仅用于解方程，还可利用它解决某些代数式的最值问题. 它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方.同时要理解完全平方式的非负数的性质.&【解析】(1)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最小值；(2)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值.解: (1) m+m+4= (m+ )2,24(m+ )20,2(m+)2+ UA 2.244则 m+m+4 的最小值是42 2(2) 4 - x +2x= -( x - 1) +5,2-( x- 1)0,当 x=1 时，(x- 1)2的最小值为 0,则当 x=1 时，代数式-2 ( x- 1)2+3 的最大值为 3;2代数式-x +4x+3= -( x - 4x+4) +7= -( x - 2) +7,则当 x=2