用向量方法解立体几何地地题目

1、用向量方法求空间角和距离前言：在高考的立体儿何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点向量进入高中教材，为立体 儿何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角;直线和平面所成的角;（平面和平面所成的角）二面 角.（1）求异面直线所成的角设a、乙分别为异面直线3、b的方向向量，则两异面直线所成的角a =arccos I Iab（2 ）求线面角设7是斜线1的方向向量，是平面&的法向量, 则斜线与平盹所成的角nl市I（3 ）求二面角方法

2、一：在aN丄/,在0%丄/,其方向如图，则二面角a-1-p的平面角aba =arccosab方法二设兀，云是二面角a-l-0的两个半平面的法向量，其方向一个指向侧，另一个指向外侧，则二面角a-/-0的平面角a二arccosI q II n212.求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求.（1）求点面距离方法一：设2是平面&的法向量，在q取一点B,则A到a的距离 t/=IABIIcos/2I BCX II n I BG和面EFBD所成的角为冬.4(III) 点Q到面EFBD的距离d等于向量画在面EF

3、BD的法向量上的投影的绝对值，;I丽;亦 2(1 = =-l/zl 3点评：1 作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体一正方体为载体， 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方 法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求).3完成这3道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立儿题，无论求角、距离还是证 明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程 序化，不需技巧.例2如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形AA8B是矩形，平

4、而人433丄平ffnABCDo(I) 若必=1 ,求直线AB到面DAC的距离.(II) 试问：当必的长度为多少时，二面角D-AC-A的大小为6(r?解：(I )如图建立空间坐标系4-补_则 04=(70 DC = (0,1,0)设面DAC的法向量为兀=（x,y, 1）则 型=DC - q = 0得 77； =（67,0,1）直线AB到面DAC的距离d就等于点A到面DAC的距离,也等于向量丽在面D4C的法向量上的投影的绝对值，ADy/2d =1/2,1 2（II）易得面AAC的法向量 = （-1,1,0）二向量斤兀的夹角为60由 cos“i ”=上 2 = _=得 a = l IIIn2 I2当

5、/VV=1时，二面角D-AfC-A的大小为60 .点评：】.通过（I ）,复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投 影的绝对值的解题思路与方法.2. 通过（II）,复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么 这两个角相等或互补，就没有其他情况.例3.正三棱柱ABC-A/C的所有棱长均为2, P是侧棱側上任意一点.（I） 求证：直线不可能与平面ACC/】垂直；（II）当Bq丄时，求二面角C-B.P-C,的大小. 证明：（I ）如图建立空间坐标系O-勺乂，设AP = a则 A,C,BP 的坐标分别为（0,-1,0）,（0丄0）,（少,0,2）（0,-1卫

6、）.AC = （0,2,0）,坊戸=（一馆,一l,d - 2）4讪=一2工0,不垂直4C直线Bf不可能与平面ACC垂直.（II）陌=（一馅丄2）,由BG丄B、P,得磅丽=0即 2 + 2（a 2） = 0:.a = 乂 BG 丄 B.C :. BC、丄面CBfBC； = （J 丄2）是面C$P的法向量设面GBf的法向量为齐=（1, ”z）,由丄J :一 得心（1, JI-2 JJ）,设二面角C _ B、P - Cx的大小为a则COS 卫IBC/ilnl 4.二面角C_B、P_C的大小为arccos点评：1 前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题x、z轴需要自己添加（也可不 这样建立）.2.

7、第（1 ）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直 线与这个面的法向量不平行.例4（卷）如图，在四棱锥O A3CD中,底而ABCD四边长为1的菱形，ZABC = -9 Q4丄底面ABCD.OA = 2.M为OA的中点，N为BC的中点（I ）证明：直线MN 平面OCD :（II）求异面直线AB与MD所成角的大小；（III）求点B到平而OCD的距离。解：作AP丄CD于点P,如图扮别以所在直线为x, y,乙轴建立坐标系A（0.0,0）, B（l、0,0）、P（0,至 0）. Q（至至，0）, 0（0,0,2）. M （0,0.1）, （1 並遲，0）,设平而OCD的法向量

8、为n = (x, z)，则nOP = 0,nOD = 0B N C P y取z = 2M得舁=（04血）_x+t2z = 0VM/Vew=（l-44:.MN 平面OCD设丽与MD所成的角为0,。,。)恥=(-孚拿-1)ABMDAB MD(3)设点B到平面OCD的距离为d,则d为面 在向量朴=(0,4,、伍)上的投影的绝对值,OB - n O2由03 = (1,0,-2),得 =所以点B到平而OCD的距离为二 例5 (理18题)如图，正三棱柱ABCABC的所有棱长都为2, D为CC】中点。(I )求证：ABi丄而ABD；(II) 求二而角A-AQ-B的大小：(III) 求点C到平WA,BD的距离

9、；解：(I )取BC中点O,连结AO. .ABC为正三角形，./!O丄BC.在正三棱柱ABC A&iG中，平面ABC丄平而BCCQ , :.AD丄平面BCCB(II)设平面AAD的法向量为w = (x, y, z).VBy而=(-1丄-馆)，A4, = (0,2,0)/1AD = O, J-x+y 一辰=0, Jy = 0 ifAA = 0, 2y = 0,-V =-羽z,令远=1得=（一点0,1）为平而AAD的一个法向量.迥为平面人BD的法向量.由（I ）知丄平而A/D,二而角A 一 AD 一 B的大小为arccos4（III ）由（II）, 迥为平而 A.BD 法向呈:，.说=（一2,0,

10、0）,刁瓦= （1,2, JJ）.| 氏西 |_2| J2.点 C 到平面 BD 的距离d = J , 1 =-L-L = .AB 2 近 2总结：通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式：引COS&）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的 （例2）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立儿以纯儿何解决问题带来的高度的技 巧性和随机性.向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体儿何教学和学习中的难点，是解决立体儿何问题的重要工具.充分体现出新教材新思想、新方法 的优越性.这是继解析儿何后用乂一次用代数的方法研究儿何形体的一块

11、好容，数形结合， 在这里得到淋漓尽致地体现.1. 计算异面直线所成角的关键是壬移（补形）转化为两直线的夹角计算2. 计算直线与平而所成的角关键是能而的垂线找射影，或问量迭（直线上向量与 平而法向量夹角的余角），三余弦公武（最小角定理,COS & = cosq cos2）或先运用 等积法求点到直线的距离后而舌角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足 为顶点的角的两边所成角相等n斜线在平面上射影为角的平分线.3. 计算二面角的大小主要有：定义法（先作其平面角后计算大小）、公式法 （cos 字）、11量迭（两平而法向量的夹角）、等价转换法等等.二而角平而角的主 要作法有：定义法（取点.作垂、构角）、三

12、垂线法（两垂一连，关键是第一垂（过二面角一个而一点，作另一个面的垂线）、垂面法.4. 计算空间距离的主要方法有：定义法（先作垂线段后计算）、等积法、转换（平行 换点、换面）等.5培间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行， 模式是：线线关系二线面关系目面面关系，请重视线而平行关系、线面垂直关系（三 垂线定理及其逆定理）的桥梁作用.注意：书写证明过程需规.特别声明：证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中 位线、重心”等知识转化. 在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化（构造）为特殊 几何体（如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问题，并获

13、得去解 如果根据己知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此 为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积（转换）法、比例（性质转 换）法等.练习：1 .在正四面体S-ABC中，棱长为a, E, F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF2所成的角.（arccos ）3折起后BD= 1 ,2在边长为1的菱形ABCD中，ZABC = 60,将菱形沿对角线AC折起，使求二面角B-AC-D的余弦值.（*）P3 .在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD丄底面，且 / 1PD = AD = a，问平面与平面P3C能否垂直？试说明理由.（不 / 、垂直） 4.在直三棱柱 ABC