恒定磁场讲义

1、7-2 磁场磁场 磁感应强度磁感应强度.1. 第七章第七章 恒定磁场恒定磁场7-3 毕奥毕奥-萨伐尔定律及应用萨伐尔定律及应用7-4 磁通量磁通量 磁场的高斯定理磁场的高斯定理7-5 安培环路定理安培环路定理7-6 带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动7-7 载流导线在磁场中的应用载流导线在磁场中的应用7-1 基本磁现象基本磁现象(magnetism) 磁性：能吸引铁、钴、镍磁性：能吸引铁、钴、镍等物质的性质。等物质的性质。SN 磁极磁极(pole)：磁性最强的区域，：磁性最强的区域，分磁北极分磁北极N和磁南极和磁南极S。1 1 基本磁现象基本磁现象 磁力磁力(magnetic f

2、orce)：磁极间存在相互作用，同号：磁极间存在相互作用，同号相斥，异号相吸。相斥，异号相吸。5 .11磁偏角磁偏角 地球是一个巨大的地球是一个巨大的永磁体。永磁体。奥斯特实验（奥斯特实验（1819年）年）2. 2. 电流的磁效应电流的磁效应1820年安培的发现年安培的发现SN 放在磁体附近的载流导线或线圈会受到力放在磁体附近的载流导线或线圈会受到力的作用而发生运动。的作用而发生运动。-S+磁场对运动电荷的作用磁场对运动电荷的作用电子束电子束N安培指出（安培指出（安培分子电流假说（安培分子电流假说（18221822年）年） ）：）：天然磁性的产生也是由于磁体内部有电流流动。天然磁性的产生也是由

3、于磁体内部有电流流动。电荷的运动是一切磁现象的根源，即电荷的运动是一切磁现象的根源，即磁性来自于磁性来自于运动电荷运动电荷。运动电荷运动电荷磁场磁场二、物质磁性的电本质物质磁性的电本质对运动电荷有磁力作用对运动电荷有磁力作用磁磁 场场一一 磁磁 感感 强强 度度 的的 定定 义义B 带电粒子在磁场中运动所受的力与运带电粒子在磁场中运动所受的力与运动方向有关动方向有关. 实验发现带电粒实验发现带电粒子在磁场中沿磁场方向子在磁场中沿磁场方向运动时不受力；运动时不受力；当带电当带电粒子沿垂直于磁场的方粒子沿垂直于磁场的方向运动时受力最大。向运动时受力最大。xyzo0F+v+vvv2 2 磁场磁场 磁

4、感应强度磁感应强度FFFmaxvqFmax大小与大小与 无关无关v, qvqFmax在垂直磁场方向改变速率在垂直磁场方向改变速率 v ，改变点电荷电量，改变点电荷电量 q，发现：发现：vqFBmax磁感强度大小磁感强度大小:（1 1）规定小磁针在磁场中）规定小磁针在磁场中N N极的指向为该点磁感强度极的指向为该点磁感强度B B的方向。若正电荷沿此方向运动，其所受磁力为零。的方向。若正电荷沿此方向运动，其所受磁力为零。（2 2）正运动电荷沿与磁感强度）正运动电荷沿与磁感强度B B垂直的方向运动时，垂直的方向运动时，其所受最大磁力其所受最大磁力F Fmaxmax与电荷电量与电荷电量q q和运动速度

5、大小和运动速度大小v v的乘的乘积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。积的比值，规定为磁场中某点磁感强度的大小。B单位单位 特斯拉特斯拉m)N/(A1)T( 1+qvBmaxF运动电荷在磁场中受力运动电荷在磁场中受力BqFv高高 斯斯T10)G(14磁感强度磁感强度B B是描写磁场性质的基本物理量。若空间各点是描写磁场性质的基本物理量。若空间各点B B的大小和方向均相等，则该磁场为的大小和方向均相等，则该磁场为均匀磁场均匀磁场；若空间各；若空间各点点B B的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为的大小和方向均不随时间改变，称该磁场为稳恒磁场。稳恒磁场。 3 3 毕奥毕奥 萨伐尔定律萨伐尔定律

6、rrIB 一、毕奥一、毕奥 萨伐尔定律萨伐尔定律 002dd4I lrBr sind 4d20 rlIB 大小：大小： 方向：方向：BddB总是垂直于总是垂直于Idl与与r组成的平面，并服从右手定则。组成的平面，并服从右手定则。 30d4drrlIBB 任意载流导线在点任意载流导线在点 P 处的磁感强度处的磁感强度磁感强度磁感强度叠加原理叠加原理IP*lIdBdrlIdrBd例例 判断下列各点磁感强度的方向和大小判断下列各点磁感强度的方向和大小.1、5点点 ：0dB3、7点点 ：204ddRlIB02045sin4ddRlIB2、4、6、8 点点 ：30d4drrlIB毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔

7、定律12345678lIdR 例例1 载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场.解解20sind4drzIBCDrzIBB20sind4d二二 毕奥萨伐尔定律应用毕奥萨伐尔定律应用( (重点重点 : :计算计算B B的方法之一的方法之一) )yxzIPCDo0r*Bd1r2zzd 方向均沿方向均沿 x 轴的负方向轴的负方向Bdsin/,cot00rrrz20sin/ddrz21dsin400rIByxzIPCDo0r*Bd1r2zzdCDrzIBB20sind4d)cos(cos42100rI 的方向沿的方向沿 x 轴的负方向轴的负方向B002rIB021)cos(cos42100rIB无限长无限

8、长载流长直导线载流长直导线yxzIPCDo12BrIBP40221半无限长半无限长载流长直导线载流长直导线 无限长载流长直导线的磁场无限长载流长直导线的磁场IB002rIBIBX X 电流与磁感强度成电流与磁感强度成右螺旋关系右螺旋关系2. 2. 圆电流轴线上的磁场圆电流轴线上的磁场 ( (已知已知: : R R 、I I ) ) 建立坐标系建立坐标系 Oxy 如图如图： 任取电流元任取电流元 d lI分析对称性：分析对称性： d 4d20 rlIB 大小：大小： 方向：方向： drlI 0d BB IROx yBdlIdr P BdxBd解：解： 其在其在 P 点的磁感应强度点的磁感应强度

9、BdBd sindd BBx cosdd BB sind 4 d 20 rlIBBxxrRrlI20 d4 d 4 30 lrIR 2 4 30 RrRI ) ( 2 23222 0 xRRI 结论结论： ) ( 2 23222 0 ixRRIiBBx （1）圆电流圆心处的磁场：圆电流圆心处的磁场： 2 0 RIBO （2）一段圆弧电流在圆心处的磁场：一段圆弧电流在圆心处的磁场： 4220 0 RIRIBO IRO IROx ylIdr Px BROI 求圆心求圆心O O 点的磁场点的磁场 。 OB3 3如图如图，解：解： )cos(cos 4210 aI )30cos0(cos60cos 4

10、 0 RI ) 231 ( 20 RI RO60Iabcd cdabBB cdbcabOBBBB 6) 231 ( 0 0 RIRI 32 40 RI RI60 40 RIBbc 载流螺线管轴线上的磁场 )cos(cos2120nIB（1）“无限长”螺线管： （2）半“无限长”螺线管： nIB0nIB021 应用毕奥应用毕奥- -萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具体步萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具体步骤为：骤为：1.1.首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元段电流元I Id dl l，并标出，并标出I Id dl l 到场点到场点

11、P P 的位矢的位矢r r，确定两，确定两者的夹角（者的夹角（I Id dl l，r r ） 2.2.根据毕奥根据毕奥- -萨伐尔定律的公式，求出电流元萨伐尔定律的公式，求出电流元I Id dl l 在场点在场点P P所激发的磁感强度所激发的磁感强度d dB B的大小，并由右手螺旋法的大小，并由右手螺旋法则决定则决定d dB B的方向的方向3.3.建立坐标系，将建立坐标系，将d dB B 在坐标系中分解，并用磁场在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称性分析，以简化计算步骤叠加原理做对称性分析，以简化计算步骤4.4.最后，就整个载流导线对最后，就整个载流导线对d dB B的各个分量分别积分的各个

12、分量分别积分 1. 1. 磁感应线画法规定：磁感应线画法规定： SNBd d用一簇空间曲线形象地描述磁场的分布。用一簇空间曲线形象地描述磁场的分布。B (1) 切向表示切向表示 的方向的方向; ; Sd (2) 密度表示密度表示 的大小。的大小。 BB 线线B4 4 磁通量磁通量 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 一 磁感应线磁感应线作法类似电场线作法类似电场线 圆电流的磁感应线圆电流的磁感应线 通电螺线管的磁感应线通电螺线管的磁感应线 直线电流的磁感应线直线电流的磁感应线 IBBIBI 2. 2. 磁感应线的性质磁感应线的性质（2 2）磁感应线是环绕电流的）磁感应线是环绕电流的闭合曲线闭合曲线；

13、（1 1）任两条磁感应线不相交。）任两条磁感应线不相交。（3 3）磁感应线绕行方向与电流方向成右手关系。）磁感应线绕行方向与电流方向成右手关系。 S SBSm dScosBSdBm dScosBSdBm SBn ndS S二、磁通量二、磁通量穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数BBB cosBSSBm ndS SBm iS)ji( 23S3 021 SS 021 )RB(S 21RBS 2. 在均匀磁场在均匀磁场jiB23 中，过中，过YOZ平面内平面内面积为面积为S的磁通量。的磁通量。XOYZSnBRO1S2SB1. 求均匀磁场中求均匀磁场中半球面的磁通量半球面的

14、磁通量课课堂堂练练习习三、磁场中的高斯定理三、磁场中的高斯定理0 SdB穿过穿过任意任意闭合曲面的磁通量为零闭合曲面的磁通量为零SB SdBm磁场是无源场。磁场是无源场。0 SdBlRIlBld2d0oIRl 设闭合回路设闭合回路 为圆为圆形回路形回路（ 与与 成成右右螺螺旋旋）IllIlBl0dBldRIB20 5 5 安培环路定理安培环路定理0 l dE静电场静电场磁磁 场场 l dB?一、一、圆形积分回路圆形积分回路oIRBldlIIlBl0200d2dd2d2d00IrrIlB若若回路绕向为回路绕向为逆逆时针时针对任意形状的回路对任意形状的回路IlBl0drBlIdldd2dd0221

15、1IlBlB0dd2211lBlB0dlBl电流在回路之外电流在回路之外20210122rIBrIB，Ild1dl1r2r2dl1B2B推广：推广： (1) (1) 可以证明无论回路可以证明无论回路 L L 形状如何，形状如何， 电流的形状如何电流的形状如何 ( (直、曲、面、体直、曲、面、体) )上式都成立。上式都成立。 (2) (2) 多根电流的磁场多根电流的磁场 (3) (3) 电流处于回路之外，则电流处于回路之外，则 0d LlB iiIII0 20 10 ddd 21 LLLlBlBlB(4) (4) 同一电流与回路有同一电流与回路有 N N 次套和，则次套和，则 INlBL d 0

16、 (5) (5) 电流方向与回路绕行方向成右手关系时电流方向与回路绕行方向成右手关系时 I I 取正，取正， 例：例： 如图如图 L1I2I3I )2 (d120 IIlBL 反之取负。反之取负。 安培环路定理安培环路定理niiIlB10d 在真空的恒定磁场中，磁感强度在真空的恒定磁场中，磁感强度 沿任一闭合路径的积分的值，等于沿任一闭合路径的积分的值，等于 乘以乘以该闭合路径所穿过的各电流的代数和该闭合路径所穿过的各电流的代数和.B0 电流电流 正负正负的规定的规定 ： 与与 成成右右螺螺旋时，旋时， 为为正正；反反之为之为负负.IILI注意注意二二. . 讨论讨论 0d LlB0 B(2)

17、 (2) 该定理适用于稳恒电流的磁场。该定理适用于稳恒电流的磁场。 (1) (1) 定理中的定理中的 指环路上各点的磁感应强度，是空间指环路上各点的磁感应强度，是空间所有电流共同产生的所有电流共同产生的 并非回路上各点的并非回路上各点的 B d 0 iiLIlB 安培环路定理安培环路定理: : （3 3）安培环路定理表明：稳恒磁场不是保守场。）安培环路定理表明：稳恒磁场不是保守场。 0 l dE静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场 iiIl dB0 0 SdB isqSdE01 磁场没有保守性，它是磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场非保守场，或无势场电场有保守性，它是电场有保守性，它是保守场，或有

18、势场保守场，或有势场电力线起于正电荷、电力线起于正电荷、止于负电荷。止于负电荷。静电场是有源场静电场是有源场 磁力线闭合、磁力线闭合、无自由磁荷无自由磁荷磁场是无源场磁场是无源场1. 1. 无限长均匀载流圆柱体的磁场无限长均匀载流圆柱体的磁场 安培环路定理是普遍成立的，但用其求磁感应强度安培环路定理是普遍成立的，但用其求磁感应强度 B B 却却 要求磁场分布具有对称性，这样才能把要求磁场分布具有对称性，这样才能把 B B 从积分号中拿出从积分号中拿出， 因而要求电流的分布具有对称性因而要求电流的分布具有对称性。IRP Lr三、安培环路定理应用举例三、安培环路定理应用举例 （计算（计算B B的方

19、法之二）的方法之二） 例例1 无限长载流圆柱体的磁场无限长载流圆柱体的磁场解解 （1）对称性分析对称性分析（2）Rr rIB20IlBl0dRIRLrRBIBdId.BIRrlBRrl220d0202RIrB,0Rr ,Rr 202RIrBrIB20RIRI20BRor 的方向与的方向与 成右螺旋成右螺旋BI0B例例2 无限长载流圆柱面的磁场无限长载流圆柱面的磁场rIB20IlBl0d,Rr ,0Rr0dllBRI1Lr2LrBRorRI20解解小结：小结：（1 1）严格把握定理成立条件和解题条件的区别；）严格把握定理成立条件和解题条件的区别；（2 2）解题步骤：）解题步骤： 根据电流对称性分

20、析磁场分布对称性；根据电流对称性分析磁场分布对称性； 选取适当安培回路，使选取适当安培回路，使B B能以标量形式从积能以标量形式从积分号内脱出。分号内脱出。（3 3）安环与毕萨的区别：）安环与毕萨的区别：毕萨普适。原则上可求任意电流的磁场：电流元的、毕萨普适。原则上可求任意电流的磁场：电流元的、一段电流的、整个电流的。缺点是叉积、投影、积分都比一段电流的、整个电流的。缺点是叉积、投影、积分都比较困难；较困难；安环容易。但是不能求一段或部分电流的磁场。安环容易。但是不能求一段或部分电流的磁场。 带电粒子在电磁场中的运动带电粒子在电磁场中的运动一、洛仑兹力一、洛仑兹力 洛仑兹力洛仑兹力 磁场对运动

21、电荷的作用力。磁场对运动电荷的作用力。 oxyzBf v v sin Bvqf v+q Bvqf 洛仑兹力洛仑兹力 f大小：大小： 方向：方向：右手法则右手法则 sin Bvqf )( , 0Bvfq )( , 0Bvfq Bvq 1. 1. 洛仑兹力与运动电荷的速度有关。洛仑兹力与运动电荷的速度有关。( (而静电力与电荷速度无关而静电力与电荷速度无关) ) ; 0 , 0 fv磁场对静止电荷无作用力。磁场对静止电荷无作用力。( (而电场有而电场有) ) 2. 2. 洛仑兹力垂直磁场：洛仑兹力垂直磁场： Bf 3. 3. 洛仑兹力垂直电荷的运动速度：洛仑兹力垂直电荷的运动速度： vf 洛仑兹力

22、的特点洛仑兹力的特点： 不改变电荷速度的大小只改变其运动方向；不改变电荷速度的大小只改变其运动方向； 对电荷不做功。对电荷不做功。 4. 4. 洛仑兹力的方向与电荷的正负有关：洛仑兹力的方向与电荷的正负有关： vq+Bffvq -B（而而 ) EFe , 0 , maxfBvqfBv fBv ；二二、带电粒子在均匀磁场中的运动带电粒子在均匀磁场中的运动 1.1. , Bv , 0 f匀速直线运动匀速直线运动 。 B vq2.2. , Bv , 2RvmqvBf 匀速率圆周运动。匀速率圆周运动。 半径：半径： qBmvR 周期：周期： 频率：频率： 2 2qBmvRT mqBT 21 B v q

23、foR3.3. 与与 成任意角成任意角 vB（1） cos vv 使粒子沿使粒子沿磁场的方向作匀速直线运动；磁场的方向作匀速直线运动； （2） sin vv 使粒子在使粒子在磁场的平面内作匀速圆周运动。磁场的平面内作匀速圆周运动。 粒子合成运动是作粒子合成运动是作螺旋运动螺旋运动。 BqvmTvh cos 2 半径：半径： qBmvR sin BqmT 2 周期：周期： 螺距：螺距： Bv q v v Rh三三、带电粒子在电磁场中受力公式带电粒子在电磁场中受力公式 洛仑兹公式洛仑兹公式 )( BvEqF 四、应用四、应用 1。质谱仪研究、分析同位素组成的仪器。2。滤速器质谱仪的重要配件。2.

24、质谱仪质谱仪(mass spectrograph)质谱仪是研究物质同位素的仪器。N ：离子源离子源P：速度选择器速度选择器BEvqBmRvBRBEmq 荷质比：荷质比： q、v、B不变，不变，R与与m成正比，同位素按质量大小排列成正比，同位素按质量大小排列+- + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - -离子源离子源1. 速度选择器速度选择器(selector of velocity)FmFeBqqEvBEv相同速度相同速度带电粒子带电粒子B+一一、安培定律安培定律 d d BlIF 反映反映电流元电流元在磁场中受到的安培力的规律。在

25、磁场中受到的安培力的规律。 安培力安培力 磁场对载流导线的作用力（磁力）磁场对载流导线的作用力（磁力）。 安培力公式：安培力公式： IB dlI 大小：大小： sin d d BlIF 方向：方向： 右手法则。右手法则。 Fd d LBlIF载流导线受到的安培力载流导线受到的安培力 （矢量积分（矢量积分 ） FdI例例 1. 1. 载流直导线在均匀磁场中受的安培力载流直导线在均匀磁场中受的安培力 lIdB FdI例例1. 1. 解解 : : 载流直导线在均匀磁场中受的安培力载流直导线在均匀磁场中受的安培力 lId取电流元取电流元 ， lId sin d d LLBlIFF B Fd d d B

26、lIF 受安培力：受安培力： sin d sin LIBLlIB sin ILBF （1） , , 0 导线导线 , B. 0 F（2） , 2 导线导线 , B . maxILBFF , sindd lBIF 例例 2 2： OxyabIFd dxF dyF 求：任意形状载流导线求：任意形状载流导线 在均匀磁场中受的磁力。在均匀磁场中受的磁力。 ab B lIdOxyabIFdd xFd yF 解：解： 取电流元取电流元 ， lId受力受力 ： Fd d 2sin ddlIBBlIF cos dcosdd lIBFFx sindsindd lIBFFy dyIB dxIB B 大小：大小：

27、方向如图：方向如图： 选选 连线方向为连线方向为 轴，轴， abx建立坐标系如图：建立坐标系如图： d d yIBFFxx abba d d xIBFFyy abab 0 abIB 0 d yIB0 d xIB0ablId比较比较 间的直载流导线的力：间的直载流导线的力： ab jabIBF F 结论：结论： 在均匀磁场中任意形状载流导线所受的磁力在均匀磁场中任意形状载流导线所受的磁力 = 该导线起点与终点间直载流导线所受的磁力。该导线起点与终点间直载流导线所受的磁力。 jabIBFab I B abI F思考：求匀强磁场中闭合电流回路受安培力? 已知：已知： 1IOxxdL2IablId2F

28、d B 例例 3 3： , , , , 21dLIIab直导线直导线 垂直于长直导线。垂直于长直导线。 求：无限长直载流导线的磁场对另一直载流求：无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线导线 的磁力。的磁力。 ab已知：已知： *解：解： d d2BlIF d 2210 xxII LFFd ln2210 dLdII d 2 210 xxII 1IOxxdL2IablId2Fd B , , , , 21dLIIab直导线直导线 垂直于长直导线。垂直于长直导线。 无限长直载流导线的磁场：无限长直载流导线的磁场： 210 xIB 建立坐标系如图：建立坐标系如图： 取电流元取电流元 ， lId受力受力

29、： Fdd Ld d 2 dd1210 1121laIIlIBF , 210 1aIB 二二、两无限长平行直电流导线间的相互作用两无限长平行直电流导线间的相互作用 2dddd210 2211aIIlFlF 单位长度导线间所受的相互作用磁力：单位长度导线间所受的相互作用磁力： 1B2dF d1F1I2Ia11dlI d22lI2B d 2 dd2210 2212laIIlIBF 220 2aIB 分别取电流元分别取电流元 ， 。 11dlI d22lI, 21II , 21II 引力引力 斥力斥力 “ “ 安培安培 ”的定义。的定义。 三三、磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用 1. 1.

30、载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩 ISmnmISn载流线圈平面的单位正法向载流线圈平面的单位正法向 n与电流与电流 I 成右手关系。成右手关系。 (1) 规定：规定： (2) 定义：定义： m载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩 为为： nSIm 单单匝线圈匝线圈： N 匝线圈匝线圈： nSINm 其中：其中： S 载流线圈包围的面积载流线圈包围的面积 。 (3) 磁矩磁矩 是矢量，仅与载流线圈本身有关，与外磁场无关。是矢量，仅与载流线圈本身有关，与外磁场无关。 m(4) 定义使用于任意形状的平面载流线圈。定义使用于任意形状的平面载流线圈。 2. 2. 磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用 磁力矩磁力矩 M以均匀磁场对矩形载流线圈的作用为例。以均匀磁场对矩形载流线圈的作用为例。 BIabcdI2l1ln 2F 2F 1F 1F各边所受的磁力分别为：各边所受的磁力分别为： : ab : cd : bc : da sin 12 BlIF ) sin( 12 BlIF 2sin 221BlIBlIF 2sin 221BlIBlIF sin