高等数学第12章课后习题答案(科学出版社)

1、 习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:.解 (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4) 是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1），； （2），；（3），； （4），解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是; (4) 不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数(C为任意常数)是方程的通解, 并求满足初始条件的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将求一阶导数,得把和代入方程左边得 因方程两边恒等

2、,且中含有一个任意常数,故是题设方程的通解.将初始条件代入通解中，得 从而所求特解为 4写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点，并且它在处的切线斜率等于;(2) 一曲线通过点，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解：由题意，解：设该曲线的方程为，为其上任意一点，该点处的切线斜率为，过该点的切线方程为。令，解得切线的纵截距，由题意，则得该曲线满足的微分方程：以及初值条件。习 题 12-21求下列微分方程的通解：（1）； （2）； （3）； （4）答案1(1) ； (2)； (3) ； (4) ； 2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）；（2），；（3）（4

3、），；（5），；（6），；答案:(1) ； (2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；3. 设一物体的温度为100，将其放置在空气温度为20的环境中冷却. 试求物体温度随时间的变化规律.答案: (物体冷却的数学模型).4. 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度(水面与孔口中心间的距离)随时间的变化规律. (水从孔口流出的流量为)答案: 5. 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C0, 为了降低车间内空气中C0的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.

4、03%的C0的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C0百分比降低到多少?答案: 故6分钟后，车间内的百分比降低到 习题12-31求下列微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）；（6）；答案 ：(1) ；(2) ； (3) ； (4) ； (5) ;（6）2求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1），； （2） ；（3），； （4），；（5），；（6） 答案 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ； （6）3求解方程 是的已知函数.解 原方程实际上是标准的线性方程，其中直接代入通解公式，得通解4. 质量为的质点受

5、力的作用沿轴作直线运动. 设力仅是时间的函数: 在开始时刻时 随着时间的增大, 此力均匀的减少, 直到时, 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设在时刻质点的位置为由牛顿第二定律，得质点运动的微分方程 (1)由题设, 随增大而均匀地减少,又于是方程(1)可以写成 (2)其初始条件为在方程(2)式两端积分,得代入初始条件得于是将条件代入上式,得于是所求质点的运动规律5 求的通解.解 两端除以得令得解得故所求通解为6求方程的通解.解 以除方程的两端,得即 令则上述方程变为 解此线性微分方程得 以代得所求通解为 习题12-41. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全

6、微分方程的通解: (1) (2) (3) (4) ；(5)y(x-2y)dx-x2dy=0; (6)(x2+y2)dx+xydy=0. 答案: (1) (x2-y)dx-xdy=0; 解 这里P=x2-y, Q=-x . 因为 ,所以此方程是全微分方程, 其通解为 , 即 . (2) (xcos y+cos x)y¢-ysin x+sin y=0; 解 原方程变形为(xcos y+cos x)dy-(ysin x+sin y)dx=0. 这里P=-(ysin x+sin y), Q=xcos y+cos x. 因为 ,所以此方程是全微分方程, 其通解为 , 即 xsin y+ycos

7、 x=C. (3)eydx+(xey-2y)dy=0; 解 这里P=ey, Q=xey-2y. 因为 ,所以此方程是全微分方程, 其通解为 , 即 xey-y2=C. (4) 解 原方程是全微分方程,将左端重新组合原方程的通解为 (5) y(x-2y)dx-x2dy=0; 解 这里P=y(x-2y), Q=-x2. 因为 , , 所以此方程不是全微分方程. (6)(x2+y2)dx+xydy=0. 解 这里P=x2+y2, Q=xy. 因为 , , 所以此方程不是全微分方程. 2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解: (1) (x+y)(dx-dy)=dx+dy; (2) ydx

8、-xdy+y2xdx=0; (3) y2(x-3y)dx+(1-3y2x)dy=0;(4) xdx+ydy=(x2+y2)dx; (5) (x-y2)dx+2xydy=0; (6)2ydx-3xy2dx-xdy=0. 答案: (1)(x+y)(dx-dy)=dx+dy; 解 方程两边同时乘以得 , 即d(x-y)=dln(x+y), 所以为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x-y=ln(x+y)+C. (2)ydx-xdy+y2xdx=0; 解 方程两边同时乘以得 , 即, 所以为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 . (3)y2(x-3y)dx+(1-3y2x)dy=0;

9、解 原方程变形为 xy2dx-3y3dx+dy-3x2dy=0, 两边同时乘以并整理得 , 即, 所以为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 . (4)xdx+ydy=(x2+y2)dx; 解 方程两边同时乘以得 , 即, 所以为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x2+y2=Ce2x. (5)(x-y2)dx+2xydy=0; 解 原方程变形为 xdx-y2dx+2xydy=0, 两边同时乘以得 , 即, 所以为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 , 即xln x+y2=Cx. (6)2ydx-3xy2dx-xdy=0. 解 方程两边同时乘以x得 2xydx-x2dy-

10、3x2y2dx=0, 即yd(x2)-x2dy-3x2y2dx=0, 再除以y2得 , 即所以为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 . 3. 验证是微分方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的积分因子, 并求下列方程的通解: 解 方程两边乘以得 , 这里, . 因为, 所以是原方程的一个积分因子. (1)y(x2y2+2)dx+x(2-2x2y2)dy=0; 解 这里f(xy)=x2y2+2, g(xy)=2-2x2y2 , 所以 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以得全微分方程 , 其通解为 , 即 , 或. (2)y(2xy+1)dx+x(1+2xy-x3y3)dy=0. 解

11、 这里f(x y)=2x y+1, g(x y)=1+2x y-x3 y3 , 所以 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以得全微分方程 , 其通解为 , 即 . 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程: (1)xy¢+2y=4ln x; 解 原方程变为, 其积分因子为 ,在方程的两边乘以x2得 x2y¢+2xy=4x ln x, 即(x2y)¢=4xln x, 两边积分得 , 原方程的通解为. (2)y¢-tan x×y=x. 解 积分因子为, 在方程的两边乘以cos x得 cos x×y¢-sin x×y =xc

12、os x, 即(cos x×y)¢=xcos x, 两边积分得 , 方程的通解为. 习 题12-51. 求下列各微分方程的通解（1）； （2） ；（3）； （4） ；（5） ； （6） .答案1、（1）（2）（3）（4）（5）（6）2. 求下列各微分方程满足所给出初始条件的特解（1）, ；（2） ；（3），；(4) ， ;(5), .答案2、(1) (2) （3） （4）(5) 3、 求微分方程满足 且当时，有界的特解.答案解法1 所给方程不显含属型,令则代入方程降阶后求解, 此法留给读者练习.解法2 因为即这是一阶线性微分方程，解得因为时，有界,得故由此得及又由已知条件得

13、从而所求特解为4、求满足下列条件的可微函数 （1） ；（2） 答案4、5 设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.解 设绳索的最低点为取轴通过点铅直向上，并取轴水平向右，且等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为考察绳索上点到另一点间的一段弧设其长为假定绳索的线密度为则弧的重量为由于绳索是柔软的，因而在点处的张力沿水平的切线方向，其大小设为在点处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为其大小为(如图). 因作用于弧段的外力相互平衡，把作用于弧段上的力沿铅直及水平两方向解得 两式相除得 由于代入上式即得 将上式两端对求导

14、，便得满足得微分方程 (1)取原点到点的距离为定值即则初始条件为对方程(1)，设则代入并分离变量得： 由得 即 将条件代入上式，得 于是该绳索的曲线方程为 这曲线叫做悬链线.习题12-61.下列函数组在其定义域内哪些是线性相关的，哪些是线性无关的? 答案: (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. (1)验证及都是方程的解. 并写出方程的通解;(2)验证是方程的通解.3. 已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足的特解.解 (1) 由题设知, 是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且是非齐次线性方程的

15、一个特解，故所求方程的通解为，其中(2) 因 所以从这两个式子中消去即所求方程为 (3) 在, 代入初始条件得从而所求特解为 4. 已知是方程的一个解, 试求方程的通解.解 作变换则有代入题设方程，并注意到是题设方程的解,有将代入，并整理,得故所求通解为其中为任意常数. 从而得到对应齐次方程的通解为求非齐次方程的一个解将换成待定函数设根据常数变易法, 满足下列方程组积分并取其一个原函数得于是，题设原方程的一个特解为从而题设方程的通解为习题12-71、 求下列微分方程的通解(1) y3y2y0; (2) 3y2y0; (3) y4y0; (4) 4d2x/dt220 dx/dt25x0;(5)

16、; (6) ; (7) ; (8）; (9）y(4) y0;其中 （10）;（11）; (12) (13) (14) y(4)2y(3) y0答案: (1) y3y2y0解 特征方程:r23r20 即：（r1）(r2) 0得特征根: r1-1, r2-2所以线性无关的特解为: y1e-x ,y2e-2x 所以方程的通解为: yC1e-xC2e-2x(2) 3y2y0解 特征方程: 3r22r0 即: r(3r2) 0 r10, r2-2/3所以 yC1e0xC2e-2/3xC1C2e-2/3x(3) y4y0解 特征方程: r240, r±2i, 所以yC1cos2xC2sin2x(

17、4) 4d2x/dt220 dx/dt25x0解 分析此题t 为自变量,x是t的函数,依然是二阶常系数齐次方程特征方程: 4r220r250 即(2r5)20, r1r25/2所以x(C1C2t) e5t/2为所求 (5)求方程的通解.解 所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为(6）求方程的通解.解 特征方程为解得故所求通解为(7）求方程的通解.解 特征方程为解得故所求通解为(8)求方程的通解解 特征方程为 特征根为， 所以原方程的通解为(9) y(4) y0解 特征方程: r410 (r21)( r1)( r1）0 r12±i, r31, r4-1所以yC1

18、cosxC2sinxC3exC4e-x为所求（10）求方程的通解.解 特征方程为即特征根是和因此所给微分方程的通解为（11）求方程的通解, 其中解 特征方程为由于特征方程为特征根为因此所给方程的通解为(12) 解 特征方程为即特征根通解为 (13)解 特征方程为即特征根通解为(14) y(4)2y(3) y0解 特征方程: r42r3r2r2(r22r1) r2(r1)20r1r20 r3r41 所以 yC1C2x(C3C4x)ex为所求说明 解二阶常系数齐次线性方程: ypyqy0时,必须能正确的写出特征方程,求出特征根,尽而求得通解(5)(6)是四阶常系数齐次方程通解中应含有4个独立的任意

19、常数2. 设函数连续且满足: 求分析 此题未知函数Q(x)出现在积分号内,这样的方程称为积分方程在积分方程中,令x适当取值,可以得出未知函数满足的初始条件，利用变上限定积分的导数公式，还可以得到未知函数满足的微分方程从而可以把求未知函数的问题化为求微分方程满足初始条件的特解的问题解 记: 为(1)，方程两边求导,得: (2)再求导得: (x)ex(x) 即(x)(x)ex 这是二阶常系数非齐次方程当x0 时 由(1)得: (0)1; 由(2)式, 当x0 时,得: (0)1 此题转化为求(x)(x)ex 满足(0)1, (0)1的特解由特征方程 r210 r±i (x)C1cosxC

20、2sinx (x)Aex代入 (x)(x)ex 得 2Aexex 设A1/2 所以*(x)1/2ex 所以(x)C1cosxC2sinx1/2ex (3)(x)C1sinxC2cosx1/2ex (4)将(0)1代入(3) (0)1代入(4)得:1C1+ 1/2 C11/2; 1C2+ 1/2 C21/2 所以(x)1/2(cosxsinxex)为所求答案23. 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为求这个四阶微分方程及其通解.解 由与可知，它们对应的特征根为二重根由与可知，它们对应的特征根为一对共轭复根所以特征方程为即它所对应的微分方程为其通解为4.设圆柱形浮筒，直径为0.

21、5m，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s，求浮筒的质量略.习题12-81.下列方程具有什么样形式的特解?(1) (2) (3) (4).解 (1) 因不是特征方程的根,故方程具有特解形式：(2) 因是特征方程的单根,故方程具有特解形式:(3) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：(4) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：2.求下列方程的一个特解.(1) ； (2) .（1）解 题设方程右端的自由项为型，其中对应的齐次方程的特征方程为 特征根为由于不是特征方程的根，所以就设特解为把它代入题设方程,得 比较系数得解得于是，所求特解为（2）其对应齐次

22、方程的特征方程为解得特征根为由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和: (1) (2)因特征方程有重根所以设方程(1)的特解 将其代入方程并消去整理后得即于是得特解又因特征方程有重根所以设方程(2)的特解为 求导后代入方程，解出得特解 所以题设方程的特解为：3.求下列方程的通解. (1) ； (2) ；(3) ；(4) .（5）解 (1) 题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为于是，该齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得于是，求得题没方程的一个特解从而，所求题设方程的通解为 (2) 特征方程为特征根为故对应齐

23、次方程的通解为 观察可得, 的一个特解为的一个特解为为由非齐次线性微分方程的叠加原理知是原方程的一个特解，从而原方程的通解为 (3)对应的齐次方程的特征方程为特征根所求齐次方程的通解由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得故所求方程的通解为(4)求方程的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程是单根,故设代入上式得取虚部得所求非齐次方程特解为从而题设方程的通解为或型（5）求方程的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程不是特征方程的根，故设代入辅助方程得取实部得到所求非齐次方程的一个特解:所求非齐次方程的通

24、解为4求y4y1/2 (xcos2x)满足条件: y(0) y(0) 0的特解解 特征方程: r240 r±2i YC1cos2xC2sin2xf1(x)x/2 f2(x)1/2 cos2x 设y1*Ax+B,将代入y4yx/2 得 04Ax4B1/2x 解出: A1/8 B0 所以y1*1/8 x 设 y2*x(Ccos2xDsin2x) y2*Ccos2xDsin2x2Cx sin2x2Dx cos2xy2*-4Csin2x4Dcos2x4Cx cos2x4Dx sin2x 将y2* y2*y2*代入y4y1/2 cos2x 比较两边同次幂系数 得:C0 D1/8 所以y2*x/

25、8 sin2x所以yC1cos2xC2sin2xx/8x/8 sin2x (1)为原方程的通解为求满足y(0)y(0)0的特解对通解两边求导 得:y2C1sin2x2C2cos2x1/81/8 sin2xx/4 cos2x (2)将y(0)0代入(1), y(0)0代入(2) 得: 0C1 02C21/8 得: C10 C21/16所以y1/16 sin2x1/8 x(1sin2x) 为可求说明 求满足初始条件的特解时,应先求出该方程的通解然后依据初始条件求出特解在特解的表达式中,不应含有任意常数5.设函数满足求.解 将方程两端对求导，得微分方程 即特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为注意到

26、方程的右端且不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解代入方程定出从而原方程的通解为又在原方程的两端令得又在原方程的两端令得定出从而所求函数为6. 已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解, 试确定常数与及该方程的通解. 解法1 将代入原方程得比较两边同类项系数，得方程组 解此方程组,得于是原方程为其通解为解法2 将已知方程的特解改写为因对应齐次方程的解应是型的,如是对应齐次方程的解, 也可能是，因原方程的自由项是而或是原非齐次方程的解,故也是对应齐次方程的解(即也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为即于是得将代入方程得原方程的通解为 7. 求欧拉方程的通解.解

27、 作变量替换或则题设方程化为即两次积分，可求得其通解为代回原来变量，得原方程的通解8. 求欧拉方程的通解.解 作变量变换或原方程化为即 或 (1) 方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 求得特征根故所以齐次方程的通解设特解代入原方程得即故所求欧拉方程的通解为9. 设有方程 求由此方程所确定的函数解 将方程两边对求导，整理后得且有这是欧拉方程,令或将它化为常系数非齐次线性微分方程其通解为故原方程的通解为由初始条件可求得故由题设方程确定的函数为本章复习题A1. 填空题.（1）微分方程是_二_阶微分方程;（2）微分方程x2dy+(3xy-y)dx=0的通解为 ;（3）一曲线过点（e,1），且在此曲线

28、上任一点M(x,y)的法线斜率为，则此曲线方程为 ;（4）设二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为，则该二阶常系数齐次线性微分方程为_；（5）微分方程的特解可设为形如=_.2. 选择题.（1）下列微分方程是线性微分方程的是（ A ）（A） （B） （C） （D） （2） 满足方程(A) .（A） （B）为常数） （C） （D）（3）方程 （C ）A 可化为齐次方程 B 可化为线性方程C A、B都可化 D A、B都不可化（4）是(B )A 可分离变量的微分方程 B 一阶齐次微分方程C 一阶齐次线性微分方程 D 一阶非齐次线性微分方程（5）若与是某个二阶齐次线性方程的解,则 ( 、为任意常

29、数)必是该方程的（C ）A 通解 B 特解 C 解 D 全部解3. 求下列微分方程的通解.（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8）（9）； （10）；答案（1） （2） （3）；（4）（5） （6）（7） （8）（9）；（10） 4. 求下列高阶微分方程的通解.（1）； （2）；（3） （4） 答案（1）； （2） （3） （4） 5. 求下列微分方程满足初始条件的特解.（1）；（2）， ， ；（3）；（4）答案（1） （2） （3） （4）6. 设满足且答案：7. 位于坐标原点的我舰向位于轴上距原点1个单位的A点处的敌舰发射制导鱼雷，且鱼雷永远对准敌舰，设敌舰以最大速度到

30、于轴的直线行驶，又设鱼雷的速度是敌舰的5倍，求鱼雷的轨迹曲线及敌舰行驶多远时，将被鱼雷击中？答案： 作出草图，设鱼雷的轨迹曲线是，经过时间，鱼雷位于，敌舰位于由于鱼雷始终对准敌舰，故有 又鱼雷的速度是敌舰速度的5倍，故有即 由，代入式有两边关于，求导得： 初始条件， 令，代入 分离变量得： 即 由初始条件 ，得在式两边同乘以 式相加得：两边积分，再由，当时，可知当敌舰行个单位距离时，将被鱼雷击中。本章复习题B1. 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分. 把答案填在题中横线上）（1） 欧拉方程的通解为 .【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解

31、】 令，则 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解为 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程 ，可化为 yi 完全类似的例题见数学复习指南P171例6.19, 数学题型集粹与练习题集P342第六题.，考研数学大串讲P75例12. （2） 微分方程满足的解为 .【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为，于是通解为 =，由得C=0，故所求解为【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为 ，即 ，两边积分得 ，再代入初始条件即可得所求解为（3） 微分方程的通解是 ，这是变量可分离方程.（4）微分方程（x2-1）dy+(2xy-cosx)dx=0,y|x=0=1的特解为 .（5）通解为y=C1ex+C2e-2x的微分方程是 .2. 选择题（本题共5小题，每小题4分，满