球的表面积和体积

1、球的表面积与体积-集中训练球:球的半径是R，则其体积,其表面积；球的半径（R），截面圆半径（），球心到截面的距离为（）构成直角三角形，因而有关系：，它们是计算球的关键所在。球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.请各位同学推导： 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.1、在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为 ()2、(2015·山西四校联考，15)已知一

2、个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为_【解析】设该三棱锥的外接球的半径是R.依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB平面BCD，AB2，CD2，BCBD2，BCBD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R2，R，所以该三棱锥的外接球体积为×()34.3、(2015·课标，10，中)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90°，C为该球面上的动点若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为() A36 B64 C144 D256【答案】C设球O的半径为R，由题知当OC平面OAB时，三棱锥O

3、3;ABC的体积最大，VOABCR336，所以R6，所以S球4R2144.4、(2012·课标全国，8，中)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4 C4 D6【答案】B如图，设平面截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|，|O1A|1，球的半径R|OA|. 球的体积VR34.故选B.5、(2014·大纲全国，10，中)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.【答案】A由题意易知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，则(4R)2()2R2，解得R，所以球的表面积为4&

4、#215;，故选A.6、(2013·天津，10，中)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为_【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的外接球半径Ra.因为球的体积为，所以·R3，即Ra，所以a.7、(2013·课标，15，难)已知正四棱锥O­ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_【解析】设底面中心为E，则|AE|·|AC|，体积V|AB|2·|OE|OE|，|OA|2|AE|2|OE|26.从而以O为球心，OA为半径的球的表面积S4·|OA|224.8、(2013

5、83;课标，15)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为 解析：平面截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AHHB12得OHR，由圆H的面积为，得圆H的半径为1，所以12R2，得R2，所以球O的表面积S4R24·.9、(2013·课标，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3 解析：设球的半径为R，则球的截面圆的半径

6、是4，且球心到该截面的距离是R(86)R2，故R2(R2)242R5.VR3(cm3)10、(2015·四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.【答案】D蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.11、(2015·辽宁沈阳一模，6)已知四面体P

7、73;ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB平面ABC，ABAC，且AC1，PBAB2，则球O的表面积为()A7 B8 C9 D10【答案】CPB平面ABC，ABAC，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即2R3，R，球O的表面积S4R24×912、(2015·河南驻马店调研，13)在三棱柱ABC­ABC中，已知AA平面ABC，AA2，BC2，BAC，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为_【解】依题意可知，球心到平面ABC的距离为AA1，平面ABC所在圆的半径为BC，则球的半径为2，

8、则球的体积为××23.13、(2014·宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥D­ABC的外接球表面积等于_【解析】设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4×2216.14、若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为（）ABCD15、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此

9、几何体的外接球的体积为 。16、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积和体积分别为12和24,且AB=AD,求该长方体外接球的表面积 .解析:设AB=a,AA1=b,则a2b=12,4ab=24,解得a=2,b=3,设长方体外接球的半径为r,则4r2=22+22+32=17,所以长方体外接球的表面积S表=4r2=17.17、高和底面直径相等的圆柱的表面积和球O的表面积相等,则该圆柱与球O的体积之比为A.23 B.21 C.13 D.32解析:设圆柱底面半径为r1,球O的半径为r2,由题意得6r12=4r22,故r1r2=23, 则V柱V球=2r1343r23=23.18、若一个底面是正三

10、角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.163 B.1912 C.193 D.43解析:由正视图可得该三棱柱的底面边长为2,高为1,易得底面外接圆的半径等于233,设该球的半径为r,则r2=(12)2+(233)2=14+43=1912,该球的表面积为4×1912=193. 答案:C19、已知A、B、C、D是表面积为6的球O上的四点,且DA平面ABC,三角形ABC是B=90°的等腰直角三角形,且AC=2,则VD-ABC的体积为. 解析:由条件可求得球O的半径R=62,BC=AB=2,可证得球心O为DC的中点,则DC为球O的直径,则DC=6,在直角三角形DAC中,DA=DC2-AC2=2,所以VD-ABC=13×2×12×2×2=23. 答案:2320、直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为（ ）A B C D 21、三棱锥的侧棱两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是 cm222、边长是的正内接于体积是的球，则球面上的点到平面的最大距离为 .第10题图23、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为AA BC D24、某几何体的三视图如图，其顶点都在球O的球面