非线性科学1复习进程

1、非线性科学1分类按系统组成要素：自然系统、人工系统、复合系统按系统在时空中存在的状态： 动态系统、静态系统、稳态系统、非稳态、态系系统与外部环境的关系：开放系统、封闭系统 自然系统：以自然物质作为要素构成的，在自然界发展中自然而然形成的。如生态平衡系统、生命机体系统、天体系统、气象系统 人工系统:为达到一定目的而人为建造的系统交通系统、电力系统、计算机系统、教育系统、医疗系统、企业管理系统等等。 复合系统：复合系统是自然系统和人工系统的组合。 复合系统包括气象预报系统、导航系统、交通管理系统、和人一机系统等等。系统论的基本原则：整体性原则层次性原则有序性原则开放性原则系统方法：逻辑维时间维知识

2、维 二、线性科学与非线性科学二、线性科学与非线性科学线性科学：线性科学：n线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。 n例如：例如：0ss=v0+atv0t1、线性科学的成就、线性科学的成就 由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的然的 。 例如：经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想例如：经典物理学中，首先考察的

3、是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。 理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。线性效应

4、。 经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成

5、绩。自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。 2、线性科学的局限、线性科学的局限n 线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论

6、说，扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。性现象的圈子里进行的。所谓线性系统是指输出与输入成正比的系统所谓非线性系统是指除线性系统以外的所所谓非线性系统是指除线性系统以外的所有系统有系统。即输出与输入不成正比的系统。非线性与线性存在着本质的差别非线性与线性存在着本质的差别: 对于线性系统输入有小的变化必定引起输出小的变化，大的输出变化对应于大的输入变化。而非线性系统则不然。小的输入

7、变化可引起大的输出变化，大的输入变化倒不一定引起大的输出变化。 例如某人作长途旅行：先乘公共汽车到火车站， 然后乘高速火车到机场，最后乘飞机到达目的地。整个系统是非线性的，几分钟的初始误差逐渐放大，最后到达目的地相差一天，小的输入变化会引出大的输出变化。外语学习外语学习3、线性科学和非线性科学的差异、线性科学和非线性科学的差异 线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。 1、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因

8、素单独作用和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续

9、的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。 2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和

10、维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。 第二节 混沌现象混沌现象1、什么是混沌、什么是混沌 n 它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这）。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。规律。n 混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加

11、以处理和应用。n 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。成为一门新兴学科。 n 科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研

12、究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的！在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的！ 2、混沌的特征、混沌的特征 1、内在随机性内在随机性 2、初值敏感性性（蝴蝶效应）初值敏感性性（蝴蝶效应） 3、非规则的有序（周期倍化现象）非规则的有序（周期倍化现象）蝴蝶效应 19

13、791979年年1212月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓象。从此以后，所谓“蝴蝶效应蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬之说就不胫而走，名声远扬了。了。 “ “蝴蝶效应蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的不但

14、在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。科学内涵和内在的哲学魅力。 从科学的角度来看，从科学的角度来看，“蝴蝶效应蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 周期倍化现象 3、通向混沌的三条道路:n倍周期分岔道路n阵发道路n茹勒太肯道路第三节 分形与分维在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使

15、用的尺度。时所使用的尺度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用用直线把它们连起来，

16、得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。分形：分形： 狭义在结构上具有自相似性的几何对象称为分形，研究狭义在结构上具有自相似性的几何对象称为分形，研究这种分形特性的几何称为分形几何这种分形特性的几何称为分形几何 广义在形态、功能和信息方面具有自相似性的研究对广义在形态、功能和信息方面具有自相似性的研究对 象称为分形象称为分形 自相似性：局部形态与整体是相似的，或者这部分与那自相似性：局部形态与整体是相似的，或者这部分与那一

17、部分之间是相似的。一部分之间是相似的。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。分形的分类分形的分类n自然分形：几何分形、自然分形：几何分形、 功能分形、和信功能分形、和信息分息分 、能量分形、能量分形n社会分形社会分形n思维分形思维分形n时间分形时间分形n哲学分形哲学分形分维定义：分维也叫分形维数或分数维，是描述分形的定量参数，它可以是整数，也可以是分数。种类n欧氏空间维数n拓扑维n豪斯道夫维数分形学的应用意义n分形学的开发应用简介n生物、生命科学中的分形应用n物理、化学

18、中的分形应用n分形数学的研究n混沌中的分形n分形在地质、水文和气象科学中的应用n分形在地理、人文和社会科学中的应用分形方法的意义n分形是观察无穷的有形思维方法n分形是理解各学科内复杂性的新语言、新工具：递归、嵌套、自相似第四节 耗散结构理论与自 组织现象背景n可逆的微观方程和不可逆的宏观现象的 矛盾n进化与退化的矛盾n动力学规律是必然的决定论的，而统计规律是概率性的、随机的、非决定论的自组织现象 定义： 自组织在是指系统在没有外部指令或外力干扰的条件下，自行按某种规则形成一定时空的和功能的结构。自组织现象分类n生命系统的自组织现象n无生命系统的自组织现象 贝纳德对流现象 激光 贝洛索夫扎 鲍廷斯基反应 耗散结构理论n一个远离平衡态的非线性的开放系统(不管是物理的、化学的、生物的乃至社会的、经济的系统)通过不断地与外界交换物质和能量，在系统内部某个参量的变化达到一定的阈值时，通过涨落，系统可能发生突变即非平衡相变，由原来的混沌无序状态转变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡的