新人教版九年级数学第22章一元二次方程教案导学案(全章)

1、第22章 一元二次方程 教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容 教学目标 1知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题 2过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析

2、，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0 （5）通过复习八年级上册整式的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它 （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型

3、解决实际问题 3情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣 教学重点 1一元二次方程及其它有关的概念 2用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程 3利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题 教学难点 1一元二次方程配方法解题 2用公式法解一元二次方程时的讨论 3建立一元

4、二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别 教学关键 1分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型 2用配方法解一元二次方程的步骤 3解一元二次方程公式法的推导 课时划分 本单元教学时间约需15课时，具体分配如下： 221 一元二次方程 2课时222 降次解一元二次方程 8课时223 实际问题与一元二次方程 3课时一元二次方程小结与复习2课时第1课时 一元二次方程（1）学 习目 标1、使学生了解一元二次方程的意义。2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的实际意义。3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

5、学习重点建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。学习难点在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x米，则列方程得：x(x+10)=900；整理得 x2+10x-900=0【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：5(1+x)2=7.2；整理得 5 x2+10x-2.2=0【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛

6、的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 （x-1）队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：；整理得 x2-x-56=0鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型二、自主交流 探究新知【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式”“分式”“无理式”）；（2）方程整理后含有 一 个未知数；（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。【归纳】1、一元二次方程的定义

7、等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a0时才叫一元二次方程，如果a=0，b0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a0这个条件。【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x32； （）x2；（）5x2-2x-=x2-2x+； （）

8、（x）2（x）；（）x2xx2； （）ax2bxc主体活动，探索一元二次方程的定义及其相关概念判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。三、自主应用 巩固新知【例1】将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：去括号，得：3x2-3x=5x+10移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。【注意】二次项、二

9、次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 【例2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式解：去括号，得：x2+2x+1+ x2-4=1移项合并同类项，得：2x2+2x-4=0其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是-8，常数项是-10。【例3】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程【分析】要证明不论

10、m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170即可证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+1>0，即（m-4）2+10不论m取何值，该方程都是一元二次方程【练习】27 1 2 进一步巩固一元二次方程的基本概念四、自主总结 拓展新知1、a0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第2课时 一元二次方程（2）学 习

11、目 标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一元二次方程解的探索。学习难点一元二次方程近似解的探索。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？x2+4x+=0 x2+3x2= x2x22xy3=0 a x2+bx+c=0复习巩固一元二次方程的相关概念。二、自主交流 探究新知【探究】猜测方程的解是什么？【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次

12、方程的解，又叫作一元二次方程的根【问题3】下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。x2-16=0 (x+3)(x-2)=0 (x-2)2=49 x2-2x+1=25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题解：x2-16=0

13、 (x+3)(x-2)=0x2=16 x+3=0或x-2=0x=±4 x=-3或x=2(x-2)2=49 x2-2x+1=25x-2=±7 (x-1)2=25x=9或x=-5 x-1=±5 x=6或x=-4探究一元二次方程根的概念以及作用进一步巩固方程的根的含义方程的根可以起到检验的作用检验一个数是否是方程的根三、自主应用 巩固新知【例1】若x2是方程的一个根，你能求出a的值吗？【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可解：x2是方程的一个根 ，解之得： a【例2】若x=1

14、是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。解：x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 a+b+c=0 2007(a+b+c)=0【练习】28 1 2 方程的根的另一个作用代入方程使等号成立四、自主总结 拓展新知1、一元二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根；3、要会用一些方法求一元二次方程的根五、课堂作业 P28 3 4 8 （课堂内外对应练习）【补充练习】1、方程x（x-1）=2

15、的两根为【 】 Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2= -1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=22、方程x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值教学理念/教学反思第3课时 解一元二次方程配方法（1）学 习目 标1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习

16、重点掌握直接开平方法解一元二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：10×6x2=1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=±5即x1=5，x2=-5可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容列出方程后，让学

17、生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解二、自主交流 探究新知【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=，x2=。在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x

18、+3=±2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成或的形式，那么可得或鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”把二次降为一次，进而解一元一次方程即可三、自主应用 巩固新知【例1】解下列方程：2y2=8 2(x-8)2=50(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成或的形式，若能，则可运用直接开平方法解。解：2y2=8 2(x-8)2=50 y2=4 (x-8)2=25 y=±2 x-8=±5 y

19、1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5 x1= 13，x2= -3(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 (2 x-1)2=-4<0 (2 x-1)2=0原方程无解 2 x-1=0 x1= x2= 【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）解：设这块绿地的边长增加了x米。根据题意可列方程： （15+x）2=30015+x=±10即15+x=10或15+x=-10x1=-15+102.3，x1=-15-10(负根不合题意，舍去) 答：这这块绿

20、地的边长增加了2.3米。【例3】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率【分析】设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）m2；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 m2解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程： 10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 1+x=±1.2 即1+x=1.2或1+x=-1.2 x1=0.2=20%，x2= -2.2(负根不合题意，舍去)答：每年人均住房面积增长率应为20%【练习】31 1 帮助学生掌握并巩固

21、一元二次方程的解法，同时通过教师规范的板书引导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让学生能进行根的取舍。四、自主总结 拓展新知1、用直接开平方解一元二次方程。2、理解“降次”思想。3、理解x2=p或(mx+n)2=p(p0)为什么p0？五、课堂作业 P42 1 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第4课时 解一元二次方程配方法（2）学 习目 标1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点掌握配方法解一元二次方程。学习难点把一元二次方程转化为形如（x-a）2

22、=b的过程。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】填空（1）x2-8x+_16_=（x-_4_）2；（2）9x2+12x+_4_=（3x+_2_）2；（3）x2+px+=（x+）2【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是 ±12 。【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x6）m，根据矩形面积为16 m2，得到方程x（x6）16，整理得到x2+6x160。熟悉完全平方式。实例引入，发现问题。二、自主交流 探究新知【探究】怎样解方程x2+6x-16=0？对比这个方程与

23、前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项得：x2+6x=16两边都加上9即，使左边配成x2+bx+b2的形式，得：x2+6x+9=16+9左边写成平方形式，得：(x+3)2=25开平方，得：x+3=±5 （降次）即 x+3=5或x+3= -5解一次方程，得：x1=2，x2=-8【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一

24、元一次方程三、自主应用 巩固新知【例1】用配方法解下列方程：x2-8x+1=0x2-4x+1=09x2+6x-3=0【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。解：x2-8x+1=0x2-4x+1=0 9x2+6x-3=0移项得： 移项得： 移项得： x2-8x= -1 x2-4x= -1 9x2+6x=3 配方得： 配方得： 配方得：x2-8x+16= -1+16 x2-4x+4= -1+4 9x2+6x+1=3+1即(x-4)2=15 即(x-2)2=3 即(3x+1)2=4两边开平方得： 两边开平方得： 两边开平方得： x-4= x-2= 3x+1

25、=±2x1=4， x1=2 x1=，x2=4 x2=2- x2= -1【例2】如图，在RtACB中，C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半【分析】设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形根据已知列出等式解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半根据题可列方程：（8-x）（6-x）=××8×6 即：x2-14x+24=0（x-7）2=25x-7=±5x1=12，x2=2 x1=12，x

26、2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去 答：2秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半【练习】34 1 2（1 2） 在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后分析归纳利用配方法解方程时应该遵循的步骤。应用提高、拓展创新，培养学生应用意识四、自主总结 拓展新知左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程五、课堂作业 P42 2 3 （1 2） （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第5课时 解一元二次方程配方法（3）学 习目 标1、使学生进一步会用配方法解数字

27、系数的一元二次方程。2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握配方法解一元二次方程。学习难点把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题1】填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。x2+ 6x+ =(x+3)2 x2+8x+ =(x+ )2 x2-12x+ =(x- )2 x2-+ =(x- )2a2+2ab+ =(a+ )2 a2-2ab+ =(a- )2【问题2】解下列方程： x2-4x+7=0 2x2-8x+1=0复习相关内容，实行知识储备。复习基本方

28、法，逐步加深难度。二、自主交流 探究新知【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？3x26x + 4 = 0； 2x2+1=3x (2x-1)(x+3)=5【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解教师书写完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时强调符号，这是易错之处。主体探究、归纳配方法一般过程三、自

29、主应用 巩固新知【例1】用配方法解下列方程：x(2x-5)=4x-10 x2+5x+7=3x+11【例2】绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？解:设绿地的宽是x米，则长是（x10）米，根据题意得:x（x+10）900整理得，配方得解得由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是米，于是绿地的长是米【练习】34 2 应用提高、拓展创新，培养学生应用意识四、自主总结 拓展新知（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程

30、两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解（6）如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程无解。五、课堂作业 P42 3 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第6课时 解一元二次方程公式法（1）学 习目 标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。学习重点求根公式的推导和公式法的应用。学习难点一元二次方程求根公式法的推导。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题】用配方法解方程：x2+3x+2=0 2x2-3x+5

31、=0学生板演，复习旧知二、自主交流 探究新知【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a0）【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。解：移项，得：ax2+bx=-c 因为a0，所以方程两边同除以a得： x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2=a0 4a2>0 当 b2-4ac0时， 0 x+=± 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，

32、当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=（b2-4ac0）就可求出方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。式子b2-4ac0是公式的一部分。解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方。配方到这一步，两边要进行开平方运算。被开方数必须是非负数。所以，要对进行分析。通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式三、自主应用 巩固新知【例】用公式法解下列方程（

33、1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0【分析】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解解：【说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入x=（b2-4ac0）中，可求得方程的两个根；（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根【练习】37 1 主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式四、自主总

34、结 拓展新知1、求根公式的推导过程；2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解五、课堂作业 P42 5 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第7课时 解一元二次方程公式法（2）学 习目 标使学生能用=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。学习重点使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。学习难点从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？2x2-3x=03x2-2

35、x+1=0 4x2+x+1=0二、自主交流 探究新知【探究】根据问题填写下表：方程b2-4ac的值b2-4ac的符号x1、x2的关系（填相等、不等或不存在）2x2-3x=09>0不相等3x2-2x+1=00=0相等4x2+x+1=0-15<0不存在【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析： 求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b

36、2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解【结论】当=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。当= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2=。当=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根。又合称有实数根；反过来也成立。学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题，同时熟悉一元二次方程的两种解法公式法和配方法，进一步体会一

37、元二次方程的根与b2-4ac的关系三、自主应用 巩固新知【例1】不解方程，判定方程根的情况16x2+8x=-3 9x2+6x+1=0 2x2-9x+8=0 x2-7x-18=0【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。解：【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，方程有两个不相等的实数根？方程有两个相等的实数根？方程没有实数根？解：【例3】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>

38、0的解集（用含a的式子表示）【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围解：关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根 （-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0 a<-2 ax+3>0即ax>-3 x<- 所求不等式的解集为x<-四、自主总结 拓展新知=b2-4ac >0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不

39、相等的实根；=b2-4ac =0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实根；=b2-4ac <0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根及其应用。五、课堂作业 P42 4 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第8课时 解一元二次方程因式分解法学 习目 标1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。学习重点用因式分解法一元二次方程。学习难点理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新

40、知【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：m）为10x-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x-4.9x2=0【思考】除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？【分析】方程的右边为0，左边可以因式分解得：x(10-4.9x)=0于是得x=0或10-4.9x=0x1=0x2=上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。创设问题情境，激发学生兴

41、趣，引出本节内容二、自主交流 探究新知【探究】解下列方程，从中你能发现什么新的方法？（1）2x2-4x0； （2）x2-40【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解法叫做因式分解法在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据三、自主应用 巩固新知【例1】解方程：x2-3x-10=0x2-11x+28=0(x+3)(x-1)=5 5x2-2x-=x2-2x+【说明】用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式。解：【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重

42、要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。 将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。 对两个一元一次方程分别求解。【例2】解方程：x(x-2)+x-2=03x(x+2)=5(x+2)(3x+1)2-5=0x2-6x+9=（5-2x）2【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。解：【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活

43、选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。【练习】40 1 2 应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力四、自主总结 拓展新知1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。2、正确的因式分解是解题的关键。五、课堂作业 P43 6 （课堂内外对应练习）教学理念/教学反思第9课时 一元二次方程的根与系数的关系（1）学 习目 标1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。2、经历一元二次方程

44、根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。学习重点一元二次方程的根与系数的关系及运用。学习难点定理的发现及运用。教 学 互 动 设 计设计意图一、自主学习 感受新知【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1+x2x1·x2 +6x-16=0-2x-5=02-3x+1=05+4x-1=0通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发

45、学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。二、自主交流 探究新知【探究】一般地，对于关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2bxc0的求根公式知x1=，x2=，能得出以下结果：x1x2=，即：两根之和等于 x1x2=，即：两根之积等于 特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：x1x2= -p x1x2= q 如果把方程ax2bxc0(a0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2x0(a0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+x2）xx1x20(a0)让学生自己发现规律，找到成功

46、感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。三、自主应用 巩固新知【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.（1）-6x-15=0 （2）5x-1= 4（3）=4 （4）2=3x（5）-(k+1)x+2k-1=0（x是未知数，k是常数）【例2】已知方程5x2kx-60的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么 x1= 又x1+2= k= 【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x-10的两个根的（1）平方和 （2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= （1） （x1+x2）2= x12+2 +x22 x

47、12+x22=（x1+x2）2-2 = （2） 【练习】42 练习让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（3）、（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。四、自主总结 拓展新知不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。1、先化成一般形式，再确定a,b,c.2、当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和比前面有负号，两个根的积比前面没有负号。五、课堂作业 P43 7 （课堂内外对