高等数学：第八章多元函微分(1-5)

1、第八章、多元函数微分学第八章、多元函数微分学推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 对比对比, 区别异同区别异同第一节第一节二、区域二、区域一、多元函数的概念一、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpa

2、ppShr定义定义1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfuxzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三

3、元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo )(0oPPU00 PP二、二、 区域区域1. 邻域邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 ),() ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包

4、含.,0 xx0 yy2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . D(2) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可

5、用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .11oxy 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无三、多元函数的极限三、多元函数

6、的极限 ( (本课程以二元函数为例讲解本课程以二元函数为例讲解) )定义定义2. 设设 二二 元函数元函数( , ),f x y(x,y)A,f无无限限接接近近于于则则则称则称 A 为为函数函数f(x,y)f(x,y)(也称为也称为 二二 重极限重极限)00(x,y)(,)lim( , )x yf x yA 若存在常数若存在常数 A ,记作记作使得使得00( , )(,),x yxy当当00( , )(,)0, )x yxy即即点点到到点点的的距距离离收收敛敛于于00( , )(,),x yxy当当时时的的极极限限例例1. 设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),

7、(lim00yxfyx证证:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx0 ( , )f x y220,xy当当时时22yx 总有注意注意: 若当点若当点( , )x y趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同路径趋于00(,),xy时时不存在 .例例2. 讨论函数函数例例3. 求22222

8、200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函数定义域不包括 x , y 轴,222yxr令则62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注意注意:二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00

9、yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 二 元函数( , )f x y定义在 D 上,0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy 0( , )f x yP在在点点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上00(,),P xyD 点点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 二元函数连续.连续, 例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yx

10、yxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例4. .求222)3arcsin()

11、,(yxyxyxf1322yx4222yx例例5. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2oyx2内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 区域连通的开集2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nRAPfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf3. 多元函数的极限4. 多元函数的连续性1) 函数0( , )f x yP在在连连续续000( , )(,)lim( )()x yx yf Pf P 2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介

12、值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P74 5: (1),(3); 6.课后作业课后作业:思考思考.001ln ()limxyx yxxy 是否存在是否存在？解解:1ln() ,xyxy 利利用用yxx 取取001ln()limxyxyxxy 200limxxx yxy 230limxxxx 230lim()xxx 10 3 3 3 所以极限不存在所以极限不存在. 2. 证明证明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面连续在全平面连续.证证:,)0 , 0(),(处在yx),(yxf为初等函数为初等函数 , 故连续故连续.又又220yxyx

13、yxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函数在全平面连续故函数在全平面连续 .由夹逼准则得由夹逼准则得第二节一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算偏偏 导导 数数 二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数x;),(00yxxz; ),(00yxfx. ),(001yx

14、f )(0 xf)()(00 xfxxfx0limx0ddxxxyxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y或 y 偏导数存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x

15、 , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出)其实从以上定义可以看出,求偏导数时,我们总是把另外的变量看作是常量,例如求:( , ),xfx y时,我们可以把y看作常量,用一元函数求导的方法即可求得偏导数二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的

16、斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M对 y 轴的对于一元函数而言,可导的条件比连续强,就是说要是一个函数在某点可导,那么在该点一定是连续一定是连续注意：注意：函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00但是但是: :但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例例1 . 求223yyxxz解解:xz)2, 1 (xz在点(1 , 2) 处的偏导数.,32yx yzyx23 ,82312)

17、2, 1 (yz72213例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyx

18、fxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:),()(22yxfyzyzyyy类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxzyxe22例例5. 求函数yxez2.

19、23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,

20、022 yx例例6. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域

21、内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),)(xuuf课堂练习课堂练习: 设, )(ufz 方程)(uuxytdtp )(确

22、定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域

23、D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.A xBy (2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxx

24、fyx由微分定义 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即定理定理1 1(必要条件必要条件) )若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzdxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 xzxx0limA(, )( , )xzf xx yf x y 反例反例: 函数),(yxf易知 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)

25、()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx0 00 00( , )( , ),xyff ),(yyxxf定理定理2 (充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(所以函数),(yxfz ),(y

26、xyx在点可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(oxy xxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.yyudzzuduyduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,dduxx dxuddddxyzuuuu 例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udyyd) c

27、os(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez1 dx 可知当二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 例例4.4.计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设,则),(yxfx取则)02. 2,04. 1(04. 102. 2f08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln(

28、, )yf x yx 12,xy 004002.,.xy 1 21 21 2( , )( , )( , )xyffxfy 内容小结内容小结1. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续dz 3. 微分应用微分应用 近似计算近似计算yyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfyx),(),(z (,)f xxyy ( ,)f x y 课堂练习课堂练习zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0

29、 , 0(d)0 , 0 , 0(1. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41同理 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx( L. P245 例2 )注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 答案答案: 2. 已知22dddyxxyzxy arctan,d.xyzzxy 求求第四节第四节: :多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则证证),()(tttu 则则);()(ttt

30、v 一、链式法则，获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一

31、元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),

32、(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu

33、).cossin(vvxeu 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxy

34、f 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyy

35、vdxxvvzduuz .dvvz 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不相同不相同.而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为( )( , , )( ) xu v xxdzfdudxudx( , , )( )( ,