八年级数学期末复习（学案）

1、 2013-2014学年度八年级数学期末复习1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法.它的理论依据就是乘法分配律.多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂. （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式.下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解 （1） （2）2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算3. 在多项式恒等变形中的

2、应用 例：不解方程组，求代数式的值.4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数.5、中考点拨： 例1.因式分解 例2分解因式：题型展示：例1. 计算：例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值.例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由.【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2）（n为正整数） （3） 2. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y.4. 证明：能被45整除. 5. 化简：，且当时，求原式的值.2、运用公式法进行因式分解【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式

3、. 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当时，有 （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式. 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式.但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式. 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用.因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助.下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】 1. 把分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是

4、，求的值.3. 在几何题中的应用.例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状.4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.5、中考点拨： 例1：因式分解：_. 例2：分解因式：_.题型展示： 例1. 已知：， 例2. 已知， 求证： 例3. 若，求的值.【实战模拟】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值.3. 若是三角形的三条边，求证：4. 已知：，求的值. 5. 已知是不全相等的实数，且，试求 （1）的值；（2）的值.4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式.使用这种方法的关键在于分组适当，

5、而在分组时，必须有预见性.能预见到下一步能继续分解.而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键. 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用. 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解.【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ） 例2. 分解因式2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足3. 在方程中的应用例：求方程的整数解4、中考点拨 例1.分解因式：_. 例2分解因式：_ 例3. 分解因式：_5、题型展

6、示： 例1. 分解因式： 例2. 已知：，求ab+cd的值. 例3. 分解因式：【实战模拟】 1. 填空题： 2. 已知：3. 分解因式：4. 已知：，试求A的表达式. 5. 证明：5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解.掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数. 对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为.这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定. 下

7、面我们一起来学习用十字相乘法因式分解.【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：，求x的取值范围. 例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式. 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积. 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数.4、中考点拨 例1.把分解因式的结果是_. 例2.因式分解：_5、题型展示 例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1B. -1C. D. 2 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满

8、足.求证： 例3. 若有一因式.求a，并将原式因式分解.【实战模拟】 1. 分解因式：（1） （2） （3）2. 在多项式，哪些是多项式的因式？3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式.4. 分解因式： 5. 已知：，求的值.7、因式分解小结【知识精读】 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点. 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式

9、，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容.【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解

10、因式3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： 中考点拨： 例1.在中，三边a,b,c满足求证： 例2. 已知：_题型展示： 1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100. 2. 将【实战模拟】 1. 分解因式： 2. 已知：的值.3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积.4. 求证：是6的倍数.（其中n为整数）5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值. 6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小.10、分式的运算【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ； 当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分. 2

11、. 分式的加减法 （1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母. 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： 取各分母系数的最小公倍数； 凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的. （2）同分母的分式加减法法则： （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 分式乘方的法则： （n为正整数） 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用.学习时应注意以下几个问题： （1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关； （2）整式与分式的运算，根据题目特点

12、，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式.下面我们一起来学习分式的四则运算.【分类解析】 例1：计算的结果是（ ） A. B. C. D. 例2：已知，求的值. 例3：已知：，求的值 例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？ 例5：化简： 例6、计算： 例7、已知：，则_.中考点拨： 例1：计算： 例2：若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【实战模拟】 1. 已知：，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，求的值.3. 计算：4. 若，试比较A与B的大小. 5. 已知：，求证：.

13、11、公式变形与字母系数方程【知识精读】 含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零. 公式变形实质上是解含有字母系数的方程 对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下： （1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为： （2）当时，分以下两种情况： <1>若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解； <2>若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解. 含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二

14、）已知方程解的情况，确定字母的条件. 下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程 【分类解析】 1. 求含有字母系数的一元一次方程的解 例1. 解关于x的方程 2. 求含字母系数的分式方程的解 例2. 解关于x的方程 3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件 例3. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件. 4. 在其它学科中的应用（公式变形） 例4. 在物理学中我们学习了公式，其中所有的字母都不为零.已知S、t，试求a. 5、中考点拨 例1. 填空：在中，已知且，则_. 例2.在公式中，已知P、F、t都是正数，则s等于（ ）6、题型展示： 例1. 解关于x的方程 例2. 解关

15、于x的方程. 例3. 已知，求z.（）【实战模拟】1. 解关于x的方程，其中.2. 解关于x的方程.3. a为何值时，关于x的方程的解等于零？4. 已知关于x的方程有一个正整数解，求m的取值范围. 5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程，无论取何值，它的根总是1，求a、b的值.12、分式方程及其应用【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对

16、于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验. 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意. 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用.【分类解析】 例1. 解方程：例2. 解方程例3. 解方程：例4. 解方程：5、中考题解： 例1若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. B. C. D. 6、题型展示：例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度例2. m为何值时，关于x的

17、方程会产生增根？【实战模拟】 1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程：4. 求x为何值时，代数式的值等于2？ 5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程.已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？13、分式总复习【知识精读】 【分类解析】1. 分式有意义的应用 例1. 若，试判断是否有意义.2. 结合换元法、配方法、拆项

18、法、因式分解等方法简化分式运算. 例2. 计算： 例3. 解方程：3. 在代数求值中的应用 例4. 已知与互为相反数，求代数式的值.4. 用方程解决实际问题 例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题.而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程. 例6. 已知，试用含x的代数式表示y，并证明.6、中考原题： 例1已知，则M_. 例2已知，那么代数式的值是_.7、题型展示： 例1. 当x取何值时，

19、式子有意义？当x取什么数时，该式子值为零？ 例2. 求的值，其中.【实战模拟】1. 当x取何值时，分式有意义？2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的比热为c）3. 计算：4. 解方程：5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？ 6. 已知，求的值.3、三角形及其有关概念【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条

20、角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性. 4. 补充性质：在中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则. 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用.三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边

21、形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形.实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们.因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础. 5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】 例1. 锐角三角形ABC中，C2B，则B的范围是（ ） A. B. C. D. 例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定 例3. 如图，已知：在中，求证：. 例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍.求证：

22、它的最小边在它的周长的与之间.中考点拨： 例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ） A. 50B. 100C. 180D. 200 例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ） A. 大于2B. 小于12C. 大于2小于12D. 不能确定 例3. 已知：P为边长为1的等边内任一点.求证：题型展示： 例1. 已知：如图，在中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点.求证： （1）BECBAC； （2）ABACBEEC. 例2. 已知：如图，在中，是的外角，AF、BF分别平分EAB及ABD.求证：AFB45° 【实战模拟】1. 已知：三角

23、形的三边长为3，8，求x的取值范围. 2. 已知：中，D点在BC的延长线上，使，求和间的关系为？ 3. 如图，中，的平分线交于P点，则 （ ） A. 68°B. 80°C. 88°D. 46° 4. 已知：如图，AD是的BC边上高，AE平分. 求证： 5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半.6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点.互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角.2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形

24、，记作 “ABCABC其中，“”读作“全等于”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素.（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系.通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分

25、析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的.翻折 如图（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；旋转 如图（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；平移 如图（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的.5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :

26、有两边和其中一角对应相等，即SSA.全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具.在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识.【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC（2）证明线段平行例2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中

27、点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE (4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论.5、中考点拨：例1如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证：FA例2 如图，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED题型展示：例1 如图，ABC中，C2B，12.求证：ABACCD【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一

28、边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC求证：OBOC3. 如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点.求证：DCEF是等边三角形.4.如图，在ABC中，AD为BC边上的中线求证：AD<(AB+AC)5. 如图，在等腰RtABC中，C90°，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFC

29、D交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证：BDCG9、等腰三角形【知识精读】（）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用

30、的依据之一.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”.） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2. 定理及其推论的作用. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三

31、角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点. 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定.【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M.求证：M是BE的中点.例2. 如图，已知：中，D是BC上一

32、点，且，求的度数.例3. 已知：如图，中，于D.求证：.4、中考题型： 1.如图，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分别为ABC与ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 2.已知：如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，E、F分别是垂足.求证：AEAF.5、题形展示： 例1. 如图，中，BD平分.求证：.【实战模拟】 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对 2. 如图

33、，是等边三角形，则的度数是_.3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 4. 中，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：.14、如何做几何证明题【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系.这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题. 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结

34、论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的. 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形.在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的.【分类解析】1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系.很多其它

35、问题最后都可化归为此类问题来证.证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到. 例1. 已知：如图所示，中，. 求证：DEDF 例2. 已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF.求证：EF2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置.证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明.证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证. 例3. 如图所示，设BP、CQ是的内角平

36、分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线.求证：KHBC 例4. 已知：如图4所示，ABAC，. 求证：FDED3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段.（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O.求证：ACAECD （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段.（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，.求证：EFBEDF 4、中考题：如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEBD

37、，连结CE、DE.求证：ECED题型展示： 证明几何不等式：例题：已知：如图所示，.求证：【实战模拟】 1. 已知：如图所示，中，D是AB上一点，DECD于D，交BC于E，且有.求证： 2. 已知：如图所示，在中，CD是C的平分线.求证：BCACAD 3. 已知：如图13所示，过的顶点A，在A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ.设M为BC的中点. 求证：MPMQ 4. 中，于D，求证：15、三角形总复习【知识精读】 1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定； 4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）

38、； 5. 直角三角形的性质与判定. 三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位.从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题.因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具.因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力.【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点. 求证： 2. 三角形三边关系的应用 例2. 已知：如图2，在

39、中，AM是BC边的中线. 求证： 3. 角平分线定理的应用 例3. 如图3，BC90°，M是BC的中点，DM平分ADC.求证：AM平分DAB. 4. 全等三角形的应用 （1）构造全等三角形解决问题 例4. 已知如图4，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角（BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN.求证：的周长等于2. （2）“全等三角形”在综合题中的应用 例5. 如图5，已知：点C是FAE的平分线AC上一点，CEAE，CFAF，E、F为垂足.点B在AE的延长线上，点D在AF上.若AB21，AD9

40、，BCDC10.求AC的长.5、中考点拨 例1. 如图，在中，已知B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若BDCE9，则线段DE的长为（ ） A. 9B. 8C. 7D. 66、题型展示 例1. 已知：如图6，中，ABAC，ACB90°，D是AC上一点，AE垂直BD的延长线于E，.求证：BD平分ABC 例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛.如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PBAB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件ADBD，DBPDBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问BPD为多

41、少度时，才能达到上述要求？【实战模拟】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为_. 2. 在锐角中，高AD和BE交于H点，且BHAC，则ABC_. 3. 如图所示，D是的ACB的外角平分线与BA的延长线的交点.试比较BAC与B的大小关系.4. 如图所示，ABAC，BAC90°，M是AC中点，AEBM.求证：AMBCMD 5. 设三个正数a、b、c满足，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长.16：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】

42、 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x>3 B、x3 C、 x>4 D 、x3且x42、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009，则x+y= 举一反三：1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值

43、3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。17：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3）和的运算结果

44、都是非负的【典型例题】 【例4】若则 举一反三：1、若，则的值为 。2、已知为实数，且，则的值为（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y的长满足x240，则第三边长为.4、若与互为相反数，则。 （公式的运用）【例5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式: = ；= 2、 化简：=_ （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是（ ）A、 B、 C、D、 举一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a<0，那么2a可化简为（ ） Aa Ba C3a D3a3、若，则等于（ ）A. B. C. D

45、. 4、若a30，则化简的结果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a5、化简得（ ） （A）2（B）（C）2（D）6、当al且a0时，化简 7、已知，化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 举一反三：若，则的取值范围是（

46、）（A） （B） （C） （D）【例10】化简二次根式的结果是（ ）（A） (B) (C) (D)举一反三：1、把二次根式化简，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2、把根号外的因式移到根号内：当0时， ； 。18：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号2、同类二次根式（可合并的根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】 【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)举一反三：1、中的最简二次根式是 。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）ABCD3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化为最简二次根式： (1) (2) (3)【例12】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D. 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ； ；中，能与合并的二次根式是 。3、如果最简二次根式与能够合