绝对值不等式

1、1绝对值不等式重点：形如|ax+b|vc,|ax+b|>c(c>0)的不等式.难点：应用数形结合的思想解不等式，在解决含有字母系数的不等式时，如何进行分类讨论 例题讲解：例1.解下列关于x的不等式：<1>|x|<2<2>|x|<a<3>|x-3|<2<4>|2-3x|>4分析:解含有绝对值号的不等式关键问题是如何去掉绝对值号，从代数形式考虑可利用绝对值的定义，从几何意义入手可利用数轴上点的距离，如果再深入考虑还可利用函数图象去解决问题X<0i jf v 2解:<1>|x|<2可化为下面两

2、个不等式组：>0八2或 的解为OW x<2的解为-2<x<0 |x|<2 的解为-2<x<2.或从绝对值的几何意义去考虑-2 0 2 x|x|<2,即到原点距离小于2的所有点， |x|<2 的解为:-2<x<2.<2> 当 a>0 时,|x|<a 的解为:-a<x<a.Y Q a x当a=0时,|x|<a无解.当a<0时,|x|<a无解.原不等式的解当 a>0 时，为-a<x<a.当aw0寸,为空集.<3>由原不等式可得:-2<x-3<

3、;2 同加3得:1<x<5.<4>由原不等式可得:2-3x>4或2-3x<-4.2解得原不等式的解为：X<- 1或x>2.小结:例 1中从|x|<2到|x|<a应注意|x|<2中2所能代表的一类数，将2换成a以后，右边变成了一个代数式，可代表 任意实数，这时由|x|<2所得结论能否推广到凶<a,是必须考虑的问题.有些学生认为awo时无解就只写a>0时的情况即可，应该认识到无解也是不等式的解的一种情况.另外由|x|<a到|x-3|<2,必须树立换元的思想，通过换元将复杂形式化为简单的形式，通过换元又可

4、将未知的问题转化为已知问题去解决.例1中的几个问题若换个角度从函数图象去考虑也可得到如下解法.解:<1>欲解 |x|<2.作出y=|x|的图象，-/刊！r/i1 1 -2D2兔再作出直线y=2交y=|x|图象于点A,B.此时|x|<2的解即y=|x|的纵坐标小于2时的横坐标的取值范围 |x|<2 的解为-2<x<2.<2><3>略.<4> 欲解 |2-3x|>4.作出y=|2-3x|图象，作出y=4交y=|2-3x|图象于A,B两点.要求|2-3x|>4的解即y=|2-3x|图象的纵坐标大于 4时的横坐标

5、的取值.2将 y=4 代入 y=|2-3x| 求出 A(- 1 ,4)B(2,4).2原不等式的解为：x<- 1或x>2.注:虽然初三学过一些函数及其图象的知识，但在解决新问题时能够应用这些函数及图象知识，对刚入高一的学生而言比较困难，但数形结合的思想，函数的思想是非常重要的数学思想方法，应逐步渗透.例2.解下列关于x的不等式：<1>|2x-1|<a<2>|ax-2| < 1解:<1>当a>0时，原不等式化为：-a<2x-1<a-a1 +a解得：<x<- 当a=0时,无解. 当a<0时,无解.1-a

6、 1 + a当a>0时,原不等式的解1 <x< 1 .a WO寸,原不等式无解.<2>原不等式化为：-1 w ax2 W 1,同加2得:1 w ax< 3.13 当a>0时，二< xW 当a=0时,无解.3 当 a<0 时，一:w xW .小结:解含有字母系数的不等式需要分情况讨论，尤其要注意最后分情况表示解时，有些可以合并成一个形式表达，并且讨论时不要有遗漏，也不要有重复现象出现思考:对于例2中两个问题应用数形结合的方法应如何解决例 3.解不等式：|x-3|+|x+2|>6.分析:<1>解绝对值不等式关键问题是去绝对值号

7、，基本方法之一是应用定义化为同解的不等式组.<2>要去掉两个绝对值号，应分别考虑两个绝对值内式子的符号，其关键是两个绝对值号内式子取零时x的值,这两个值是两个分界点.<3>两个不同的分界点的 x值，将实数轴上的点分为三段，在每一段上都可以去掉两个绝对值号.解:原不等式可化为下面三个不等式组：sC<-2或-2<x<3.3- "x+2 >6 x>3J-34-X+2 必不等式组的解为不等式组的解为不等式组的解为原不等式的解为5:x<-.:无解7:X> -.57:X<-或 X> -.注:<1>原不等式的

8、解是不等式组三个解的并，即三个不等式组的解之间用或”联系.<2>有时学生在分情况去绝对值号时常写成以下形式：5当 x<-2 时,-(x-3)-(x+2)>6, x<-.容易忽略x<-2这个条件，即两不等式之间用且”来联系.<3>此不等式也可用数轴上的点的距离即绝对值几何意义去解.只需将|x-3|和|x+2|分别看到数轴上点到3和到-2两点的距离，所求|x-3|+|x+2|>6的解即到3和到-2两点距离之和大于6的点的x值范围.13例4.如果关于x的不等式|ax+1| wb勺解是-w xW，求a,b的取值.解:当 b<0时，|ax+1|

9、 W无解.当 b>0 时，|ax+1| W化为-bw ax+1w b.则有:-1-bw axw-fl.<1> 当 a>0 时，门 w x< _r3原不等式解为-W x< .则有：-1U1a2-13也2>解得：a = -20"2与b>0,a>0不符,舍去.AT b - <2> 当 a<0 时,.r w XW l!.亠B11 1 a2-1 j_ 严-2由已知则有：_ e2 解得：爪2<3>当a=0时,|ax+1| w只需bl时,x为任意实数与已知13-w xW 不符.二 a=-2,b=2.本周小结：本周主

10、要内容是含绝对值的不等式，应掌握基本方法，注重数形结合.本周参考练习：解下列关于x的不等式：<1>3|2x-1|v|2x-1|+ 1<2>(1+|x |)(| 2x+1|-4)>0叶 2|1<3>一一 W06#v4> "J/ _匚”.>8#<1>分析：首先移项合并，然后求解。<2>分析：首先观察不等式，不难发现3<5>|x-2|+|x+2|v10.本周练习参考答案答案为：-<x< -(1+|x|)是非负的，所以(|2x+1|-4)必须大于0。5解(|2x+1|-4)>0 就可以

11、了。答案：x> 1 或 XV- 1<3>分析：首先观察原不等式，不难得到分母是大于0的，所以只需要解分子 W0就可以了。107<4>分析：不等式两边直接平方就可以了。 答案：XA 1或XW<5>分析：首先寻找零点，就是|x-2|=0和|x+2|=0,得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2WxW和2<x三个区间分别去掉绝对值符号求解。答案：-5VXV5.在线测试A组测试（每小题10分）1. 求不等式的解|2-x|> 9 （）A. x 上1 威X“ B. JT<-7 广 C.x>4 厂 D.x<82不等式V的解是（）

12、13x<0®1 <x<：-C.£juB._D._3.解不等式1 -'j A. x<-6或 x>3 或 1<x<2B. x>3 或 1<x<24.求不等式的（1+|x|）（|2x+1|-4）>0解（）3355A.x> 2B. x> 2 或 x<- 2c. x<- 2C. x>4 或 1<x<2D. x>6 或 1<x<2D. x<-18#B组测试（每小题15分）1.不等式 |x-2|+|x+2|<10的解是（)4kA.x>5“

13、B.x<2rC. -5<x<5厂D. x>7C.a w xw a+1rD.a-1 w xW a2. 解关于x的不等式 x2-2ax w -a 2+1()rrA a-1 w x w a+1B.a+1 w x w a-13. 解不等式二“，-'L ' J （）A.x>2B.x=-2 或 1©勺 r C.D.x=-24. 解不等式："'I （）a.-2"勺或43罚b.-2<x<1c.4<k7#答案与解析9A 组答案：1、A 2、A 3、A 4、BB 组答案：1、C 2、A 3、B 4、AA组解析：解

14、答1 : 2-x > 9或2-x _-9，分别解这两个不等式就可以了应选A解答2 :.原不等式可以化为：然后求解应选A解答3 :原不等式可以化为：5x-6<x2刃-6>然后解这个方程组就可以了 应选A就可以解答4 :首先观察不等式，不难发现(1 + |x|)是非负的，所以(|2x+1|-4) 必须大于0。解(|2x+1|-4)>0了 .应选BB组解析：解答1:首先寻找零点，就是|x-2|=0 和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2 < x< 2和2<x三个区间分别去掉绝对值符号求解。应选C解答2 :原不等式等价于 x2-2a

15、x+a2-1 < 0.2即(x-a)-1 < 0(x-a-1)(x-a+1)< 0.a+1>a-1,原不等式的解集为 a-1 < x w a+1. 应选A.解答3:<=>H：z + 2)<?-4<7+2x+2r-4>-(+2)?+x-2>0O'空x2-x-6<0x £ 或 X i 1=>'-2<j<3=-'应选B.解答4:原不等式O3<|2x-5|<9«-9<2x-5<-W<2x-5<9j -1 ' 1应选 A.绝对值

16、不等式【目的】：理解绝对值的意义、几何表示及绝对值不等式的性质，掌握一些常见类型的绝对值不等式的解法， 并注意对数形结合方法的使用。【重点】：常见类型绝对值不等式的基本解法。【难点】：解法过程的完整与规范及数形结合的方法的实施。【授课内容】：一、理论依据：101实数绝对值的定义:11#>0(1) 代数表达：若(2) 几何表达：数轴上设 P点表示a,则|a表示数轴上P点到原点的距离。I 釘 W a 、*T即：2、最简绝对值不等式的解集：(1) |x|v m(m > 0)二匸一二' t 一 几何意义:#(2) |x>n(n>0) 一 二；厂 一:几何意义:#几何意义

17、:#其功能：(1) 是脱掉绝对值符号的依据。(2) 都有着明显的几何意义。3、一般绝对值不等式的解集：定理1不等式 l/(n|<g耳不等式血)</仃)<血) 同解。定理2：不等式.二二'二八；-/ : -u：.'1同解。二、几种绝对值不等式类型的解法。解含有绝对值的不等式的关键是将它化为与之同解的不含有绝对值的不等式，转化的方法主要有三种:(1) 利用上述的同解定理；(2) 两边平方；(3) 分情况讨论。例i、解不等式k -仁X + 2解：原不等式 於-如x + 2几何意义：#O-U + 2)< r -4 <2 + 2p2 - 4<x + 2

18、O/ -4 > -(x + 2)(2 + x - 2 > 0x2 - x-6 < 0(z<-2s)Sz> 1x = -2BSl< z < 3令肝FT仍计2 在同-坐林紳分雎師 与嗣輟飆JW虑12#几何意义：= P -女 | 乃=6并计算出丹与乃的交点的横坐标.例2、解不等式5x - * > 6解:|5x- H卜x2 -5x|二原不等式o |x2 -5x|>6O xa - 5x6或F -5x*C - 6ox-女+ 6<0或X -5x-6>0O(x- 2)(x -刃<0或(开-6)(盂 + 1)>00*(23U(9T)U

19、©%)'#解：原不等式«>3< |2x-5|<9>-9<2j-5 <-3或九 2托-5<9=兀E C-2JU4f1其几何意义可由同学自己出.I斗1例4、解不等式：-法一：（利用同解原理的方法）x + 32x-1兀+32盂-1原不等式法二：（两边平方的方法）13#v|2a-1|>0.古丁址十（2x-10二原不等式oR + 3U|”i|将式两边平方得疋+ 6賈+ 9 2 4*亠1化简为 3? -10x-8i02 1 1二原不等式的解集为:xeL；£）uG4例5、解不等式： - ' -I - 分析：对于出现了两个绝对值符号的不等式，上述三个最简绝对值不等式的结果还不能使用，只能用 实数绝 对值的定义”去脱掉绝对值符号，把两个绝对值的根，从小到大标在数轴上，两点把数轴分成三部分，将 x的取值 分解情况讨论，这个过程称为 零点分区讨论法”，这样原不等式与三个不等式组的并集同解。解：将一_标在数轴上，-2,3把数轴分成三部分