波形估计最佳线性估计滤波

1、第四章波形估计(最正确线性估计、滤波)参量估计-静态估计-随机参量，非随机参量 波形估计-动态估计-随机过程线性滤波理论是用来估计信号的波形或系统的状态最正确估计-仅当高斯随机过程的特殊情况线性最正确估计，最正确线性滤波-最小方差准那么最正确线性滤波要解决的问题：给定有用信号与加性噪声混合的信号波形，寻求作用于此混合波形的一种线性运算，得到的结果将是信号与噪声的最正确别离。最正确-使估计的均方误差最小。维纳滤波(Wiener Filtering)-1940平稳随机过程的最正确线性滤波，必需存储所用到的全部数据，计算量太大，不适 于实时处理。卡尔曼滤波(Kalman Filtering)-196

2、0将状态变量引入滤波理论,利用递推算法，便于实时处理，并可处理非平稳随机 过程。§ 4 1、线性变换与正交原理一、线性变换估值方(t)为观测信号Z(t )的线性变换，故可写成：2?(t)二 LZ(t) I( 4 - 1)式中算子L叮表示线性变换，估计准那么是线性最小均方误差因此，定义误差：e(t )= Z(t )- Zt )- -(4 - 2)希望导出估计准那么L叮，使以下均方误差最小：E U (t)|2】=E Z( t) - Z? ( t)彳 I - - ( 4- 3)由于变换是线性的，那么对于所有的常数a1,a2和过程乙(t)和Z2(t)有：假设LJ 和L 2 是两个线性变换，即

3、：那么其差的变换也是线性变换，即：L la1Z1 (t)a2Z2(t)丨二 a1LlZ1 t a2LLZ2 t 丨 - -(4 - 4)L1'a1Z1(t) a2Z2(t)丨二 a1L1 l-Z1 t a2L1 'Z2 t 丨- -(4 - 5)L2 la1Z1(t)a2Z2(t)匚 a丄21-Z1 t 】a2L2Z2 t 丨 - -(4 - 6)L * = L 2_ L X 1 _ _ ( 4 _ 7 )将(4-5)和(4-6)代到(4-7)式中，即可证明，对于线性变换有：E ： L ； = L ' E L-( 4 - 8 )式中算子E 表示数学期望。假设X(t)在区

4、间ti,tf对所有的E与Z( E)正交，即：E Z (), X (t )丨=0 , 一 t i , t f - -(4- 9)那么对于Z( E)的任何线性变换，在区间E sti,tf对X(t)也正交。假设LZ( E)是Z( E) 的线性变换，因为线性变换和期望是可以交换的，故有：E I.Z () 1, X ( t - E ： L I.Z ), X ( t) 1?-L ：E I.Z ( ' ), X ( t - L 0 =0 ,-t i , t f , - - (4 - 10)二、正交原理线性变换L订是最小均方误差估值，当且仅当误差e(t)在区间E sti,tf对Z(E )正交。证明：假

5、假设所有过程 Z(t)=Y(t)+V(t)是实的、平稳的。考虑线性变换 L ，对所有 E ， LZ( j二Y?(t),于是均方误差E卧! et)二Y (t) - Y?(t)是最小，那么L,Z() Y?(t) - -(4 - 11 )是最正确估值，且= Ee2(t)匸 EY(t) - L Z( ) j' 0.(4 - 12)考虑线性变换L2 *，对所有 E ， L 2 'Z( = Y?(t),贝U 误差E *e2 ( he? () = 丫(t) - Y?(t)对所有 E 与数据 Z( E )正交，即：E 'e 2 (t) , Z( ) = E : Y (t Y?(t) ,

6、 Z( j 0 .( 4 - 13 )误差e1(t)可用e2(t)表示，如e“(t)二 Y (t) - LjZ1二 Y (t)L2 !z :- L2 I.Z :- L1 I.Z二 e2(t) L2 'Z 1- L1 I.Z 1=e2(t) L lZ '丨-(4 - 14 )由式(4-7)差的变换也是线性变换。将式(4-14)代入式(4-12)，由最正确估值，线性 均方误差变成：；m二E 7 Y ( t)- L1 Z(')I2f=E'2 ( t )-L Z( )I2f=E le 2 (t J 2 E le 2 ( t ), L Z )1 E Il Z () I2

7、】.(4-15)因为e2(t)对数据Z( E )正交，也就对LZ( E )正交，如方程(4-9)所示，于是E 'e2(t), LZ () = 0.( 4 - 16 )那么最小均方误差简化为：5 = Ee；(t) 1 E XLZ ( ) I2.( 4 - 17 )其中 e e2 (t) 为估计值L 2【J的均方误差。因此= Ee；(t)l E)LZ( )Fx Ee；(t)(4-18)当且仅当非负值E "LZ () l2 为零，即：L“ LJLJJ二 0 - -(4- 19)这就证明了上述正交原理；对于误差与数据正交，线性变换导致最小均方误差线 性估计值，反之亦然。维纳滤波器的推

8、导可以用正交原理的方法，也可采用其他的方法，如变分法等。§ 4-2维纳滤波(平稳随机过程的最正确线性滤波) 滤波的条件及要求：有用信号s(t)是随机过程+加性噪声n(t)输入x(t)并假设s(t),n(t)是联合宽平稳的，具有的自相关函数和互相关函数(或对应的谱密度函数)；滤波器是线性时不变的h(t) H(® )输出是宽平稳的，即稳态滤波的含义。理论上可认为输入信号x(t)是在t=-%时参加的，因此，在任何有限时刻t，输出y(t)是宽平稳的。选取滤波器的h(t)H( 3)，使估计的均方误差最小。:<0 平滑，：=0滤波、去噪，:>0 预测。 滤波器的理想输出为s

9、(t+ ：)，估计的误差为: e(t)=s(t+： )-y(t) (4-20)用变分法：估计误差的平方为：e2(t)二 s2(t ：) - 2s(t ： )y(t) y2(t) - -(4- 21qQ而 y(t)二 _h(u)x(t - u)du -(4 - 22 )代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：E e2h(u)h(v) Rx(v - u)dudv-h(u)Rsx +u)du + Rs(0) (423)_JDO式中：Rs-s(t)的自相关函数Rx-x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数Rs,x-s(t)和x(t)之间的互相关函数假设信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，

10、即En(t)=0 ，那么有:Rx = RsRs,x =RnRs-(4 _24)维纳滤波就是要求出(4-23)式中的h(u)，使得Ee2(t) 1最小，为此可以利用变分法求解。令冲击响应为: h(u)+ ；. (u) (4-25)h(u)最正确冲击响应(u)任意扰动函数-小的扰动因子当->0，冲击响应->h(u)最正确冲击响应。于是我们可以将式(4-25)代入(4-23)式中，那么有:h(u)十八(u) h(v)十八(v) Rx(v u)dudv(u)Rs,x(：u)duRs(0)(4 - 26)_iqO oC- 2h(u)；aO容易看出e e2( t】是的函数，当=0时取最小值，故

11、可求 E *e2 (t )-0 .(;-0改写积分变量后，可得：oO-oO4 - 27 )Rs,x(：(I) I下面分别就物理不可实现 此式的求解问题 一、 物理不可实现(非因果)维纳滤波器qQ"Ih (u ) Rx C - u )du d = 0 .( 4 - 28 ) cO(非因果)和物理可实现(因果)的两种情况，来讨论h () = 0 ,： 0( 4 - 29 )所谓非因果的维纳滤波器，是指不仅要利用过去的数据也要求利用未来的数据，故只可用于事后的数据分析，不适合实时处理。(4-29)式说明对hf )和 () 均没有任何限制。故(4-28)式唯一可能的解，就是式中方括号内的项为

12、零，即:_ . h (u) Rx C - u)d = Rs,x (：-4 - 30 )此为弗雷德霍姆(Fredholm)第一类方程，积分区间为(-：,+ ：),两端求双边拉氏 变换得：H (P)Sx(p)二 Ss,x(P)exp( : p) - -(4 - 31)式中 p = + jSx(p) = LlRx(E)】，Ss,x(P)= LRs,xC )故有：H ( p)Ss,x( p)exp( : p)Sx( p)- - (4 - 32 )当信号与噪声不相关(统计独立)时，由(4-24)式得:H ( p)Ss,x ( P) exp( : p )Ss( P) Sn ( p)代入P = j得非因果维

13、纳滤波器的传输函数:- (4 - 34)Ss,x( )exp(j)Ss( ) Sn()容易看出SC)较小时H()较大，而在 Sn() 较大时H©)较小。此即维纳滤波器用来抑制噪声复员信号的方法。此时的最小均方误差为，由(4-23)式：E e2 丄 Rs(0) - .h(u)Rs,x(： u)du对于最正确冲+ . .h(u) - Rs,x(： u) _h(v)Rx(u - v)dv du.(4 - 35)击响应，应满足(4-30)式，因此上式中方括号内的项为零，所以最小均方误 差为：e e2min二 Rs(0)- ；h(u)Rs,x(：u)du.(4-36)二、物理可实现(因果)维纳

14、滤波器原 h(u)+ ；. (u)(4-25)h( ) 7 ()70-(4-37)而0,时 ()可为任意函数。比照(4-30)式那么有：J 亦(u) Rx (I -u )du = Rs,x (a + i), -闵 v E v +田.(4 一 30 )qQh(u)Rx(iu)du Rsx(a + i)=0,£ 兰0.(4-38) 此即Wiener-Hopf方程，仅在 - 0成立，求解复杂求解方法有两种，频谱因式分解法，预白化方法。 频谱因式分解法：首先定义一个未知的负时间函数代替(4-38)式的右端a()qQh(u)Rx(- u)du - Rs,x(：J + i)= a(i), _比两

15、端求双边拉氏变换得:H ( P)Sx( p) - Ss,x(P)exp( : p)二 A( p) - -(4 - 41 )现对谱密度Sx( p)进行因式分解得：Sx(p)二 Sx (p)S；(p) - -(4 - 42)Sx ( p)的另极点均在左半平面，对应正时间函数;S-(p)的另极点均在右半平面，对应负时间函数；故有：H (p)Sx (p)Sx"p) - Ss,x(P)exp( : p)二 A(p).( 4 - 43)H (p)Sx(p)二A( p) Ss,x ( P) exp( S/( p )S7( p )U.( 4 - 44 )对于物理可实现的滤波器，hC ) = 0, ：

16、 0 ；即hC )是正时间函数,对应的H(p)的另极点都应在左半平面,H ( p)Sx(p) 亦然。而)为负时间函数，A(p)的另极点均应在右半平面， A(p)/Sx_(p)亦然。同理上 式中右边第二项也可分成分别对应正负时间函数的两项H(p)心Xxd正时间局部-45)先求上式中的逆变换，再求单边拉氏变换得:H ( p)1Sx ( p)0-pt 占c j Ss,x ( P )e ：p c S：(p)e pt dp dt .( 4 46 )E'e 2 Lin 二 Rs(0)此时最小均方误差为:二 h ( ) Rs,x (：)d , 一 0 ( 4 - 47 )物理可实现h ( . ) =

17、 0 , .： 0，故可取消上式- 0条件从而可得与物理不可实现的维纳滤波器相同的结果；上式还可进一步化成具有明显物理意义的的形式(详细推导可见参考文献 1刘有恒p.363)。E '-e2 min 二 Rs(O) -。： R2s,z(：t)dt.(4 - 48)令© G) = Rs,zG)= Es(t), z(t- £)】 -(4 - 49 )那么 Rs,z (o + I ) = © 2+ E )代入(4-48)式得：E '-e2 Lin 二 Rs(O) -2 C t)dt2二 Rs(O) -()d .(4 - 50 )2由于'(t)是非负

18、的，因此、最小均方误差随着值的增大而单调地增大。故可得到如下重要结论：02(t)02( 丁)02(7)a) « >0预测 b)a = 0滤波 c)av0平滑a) : >0,对应于预测情况。其均方误差要比滤波和平滑的情况为大；当。T + °C时E)e2 h 趋于上限Rs(0)，即无限时间预测所对应的 均方误差，等于有用信号 s(t)的均方值。此种情况下，实际滤波器的输出 为零y(t)=0,故有：Ee2 丨=Es2 (t : ) = R s ( 0 )由于当前信号与无限远未来的信号是不相关的， 所以不能根据当前信号来预测无 限远未来的信号。b) : <0,对应

19、于平滑情况。相当于延时滤波，所得到的均方误差较无延时滤波：=0为小，即延时滤波可以提高估计精度。当时，ee2丨到达下限；这表示输入信号全部参加以后，才开始处理和输出数据，因此是利用了全部输入 信号的信息，有助于提高估计精度，使均方误差到达下限。事实上，这种非实时 处理的情况，相当于物理不可实现的滤波器。对于物理不可实现的滤波器，同理 可以推导出：E e 2 h 二 R s ( 0 )-2 () d . .( 4-51)因此、物理不可实现滤波器的均方误差，是物理可实现滤波器均方误差的下限。所以、讨论较好计算的物理不可实现滤波器均方误差，也是有实际意义的。三、离散时间维纳滤波器上述物理可实现维纳滤

20、波器，都是在连续时间下讨论的，其主要问题可归纳为：如何对输入信号的过去历史进行加权，以实现对当前信号的最正确估计，最正确准那么 是均方误差最小。按照这种思路，可以方便地将维纳滤波器推广到离散情况。 对 输入信号x(t)=s(t)+n(t)进行采样，ti时刻的数据Xi：Xi = x(tj)二 s(tj)n (tj)二 Si山，i = 1,. N (4 - 52 )tN时刻的输出样本yN为以前输入样本的线性加权和：y = Oxk 2 X2. k n x - -(4- 53)其中ki, k 2，k n为权重序列，那么无延时滤波的估计误差：eN = SN 一 y N二 Sn -(k*k?X2kzXN)

21、 - (4 - 54 )E=EU-S N(k1 x 1k2X2+.kN X N)12Es2N打k 12 Ex21 k 1 E 12 'X 21 +.k2N Ex N+2 k 1k 2E1X 1 X 2+2k 1 k 3 E1-X 1 X3 1+ +2 k 1k nEl-X 1 X N 1+2 k 2k 3El-x 2 X 3+2k 2 k 4 ELx 2x 41 '".-2 k2 k NEl-X 2 X N+.+2k n_1 k NEIX 1N _1 X n 12 k1 El-x1 S n+2k2 E l-X 2 SN 1+ .2 kN EX NsN 2.( 4均方误

22、差为：55 )维纳滤波的目的是求权重序列 kk2,kN使得均方误差2'2 1E Bn '到达最小值。分别令 E n对ki , k2 ,. kN的偏导数为零,就可以得到n个求解ki, k2，kN的联立方程，如式(4-56)所示。假定信号与噪声的自相关函数与互相关函数，贝U式中数学期望也，故可解出k1, k.k NEX21 El-x1 x2 1I E 2X1 】 EX：】aa_EXn x J EXn X2 1Exe 1 kiEX2 Xn 】I k?am. * ExN I _-kN _EXiSn 1E【x 2 s nm_ E l-xn Sn(4-56)此即维纳滤波器的形式解。当样本数

23、N有限时，对于非实时处理而言，这种方法仍不失为一种可行的滤波方法。但是、对于实时处理来说，显得不切实际。因为， 随着样本数的增加，计算量迅速增大。如N->(N+1), N X N阶协方差矩阵一->(N+1) X (N+1)阶矩阵，要解N+1个联立方程，计算量猛增。而且、还无法预见哪些数据是以后不需要了可以去掉；新、老数据同样重要，只好保存所有的数据, 故不能实时处理；且也难以推广到多变量同时估计的情况。且看一个比拟算法优劣的简单例子假定一常值信号+噪声Z=m+ni求样本均值作为常值信号的估计方法一、存储所有观测数据，计算步骤如下：存储Zi计算均值估计n?i 二存储Z2计算均值估计n

24、?2 二存储Z3计算均值估计n?3 二存储Zn计算均值估计n? n =2、测 Z23、测 Z34、测 Zn1、测 ZiZ!(Zi Z2 Z3)/3(Z 1-.- Z N ) / N(ZZ2)/2方法二、每次新的估计仅由上一次估计及新的观测样本构成而与过去的观测样本 无关。计算步骤如下：1、测乙计算均值估计n?i = Zi存储r?i清洗Zi2、测Z2计算n? 2R+ P2存储傀清洗Z2, mLz3存储 n?3清洗乙，n?223、测 Z3 计算 n? 3 二 一 n? 2 +3依次类推那么有：N、测Zn计算n?存储n?N 清洗Zn, n?N -i .显然两种方法计算结果相同，是完全等价的；但是方法

25、二要比方法一简单、优越; 无需存储过去老的数据，仅用前一次的估计值与新的观测数据来计算新的估计- 递推算法。方法一那么要存储过去的所有数据，每观测一个新的数据，都需要和过 去所有的数据一起来计算新的估计值。离散时间维纳滤波器酷似方法一，而卡尔 曼滤波那么相当于后者递推算法一引入了状态变量和状态方程。§ 4- 3卡尔曼滤波最正确线性滤波-II维纳滤波问题即求滤波器的冲击响应， 使估计的均方误差最小；实际是如何最好 地加权过去的输入数据，以决定当前的输出，其权重就是冲击响应。但离散维纳 滤波求解繁琐，计算量大难以实现实时处理以及多个变量同时估计。 i960年后, 航天等应用使人们探索新的

26、算法。卡尔曼滤波是对维纳滤波的一次突破，用状态 空间模型代替相关函数，时域微分方程、递推算法，非平稳等卡尔曼滤波的主要特征：1、随机过程的状态空间模型，矩阵表示，可同时估计多变量2、观测数据提出递推算法，便于实时处理。一、 随机过程的状态空间模型状态变量:动态系统的t = to时刻初始状态以及t - to时的输入的情况 下，确定此动态系统状态的一组最少数目的变量。状态方程：状态变量所满足的一维微分方程。 状态变量举例回路电流i=X1电容电荷q电容电压v=X2=q/C满足微di+dtRi方RCd t假设利用X1 X2作为状态变量，那么可化成两个一阶微分方程:RxRx上式即状态变量所满足的两个一阶

27、微分方程-状态方程。 _巴LC写成矩阵形式为:假设取电阻R两端的电压 或写成矩阵形式的输出方程:y作为输出变量：y=Ri=Rxi般情况以X1, x2 ,XN表示系统的状态变量，那么状态方程:X1 1-x 29=.X N 一-a n 1a 11a 21a 12a 22N 1bnb 21b 12b 22bbb输出方程也可表示为:y ic11c 12c i nx iy 2c21C22c 2 Nx2mgg+gmy LcL1Cl2c L NxN以上状态方程可简记为：X二 A XB UY二 C XX=N x 1,U =M x 1,Y =L x 1,A=N x N,B =N x M,C =L x N.此即随

28、机过程y(t)的连续状态模型。其中X 是状态变量矢量，U是策划噪声矢量-其M个分量都是白噪声过程。此模型的含义是：可以认为随机过程 y(t)是以白噪声输入到某个线性系统 的结果；而状态变量可以看作是为了得到y(t)而引用的中间变量。一般说来，并非所有的随机过程都可以用上述状态模型来描述； 然而、实际应用中确实有许多随机过程可归结为上述状态模型。特别是具有有理功率谱密度的随机过程都可归结为上述状态模 型。其典型推导过程如下：首先对随机过程y(t)的有理功率谱密度Sy(p)进行因式分解，即:Sy(p)二 Sy(p)S；(p)(4 - 57)Sy ( P)的另、极点在左半平面，对应正时间函数；sy(

29、p)的另、极点在右半平面，对应负时间函数u(t)形成滤波器_里* H(p>Sy(p) '然后取Sy(p)作为形成滤波器的传输函数，那么单位白噪声(谱为1) u(t)通过该形成滤波器后，输出即为所求的随机过程 y(t)其有理功率谱密度Sy(p)为形成滤波器的传输函数模平方：H 2 )1 - |s；2 )| 二 s；) s；2 )二 Sy ( )sy(厂 Sy() - -(4 - 58 )传输函数H(p)就可以按照状态空间分析方法，由传输函数导出状态方程，从而得出 y(t)的状态模型。例4-2一随机过程y(t)其功率谱为Sy(jw)16Sy( j )二 44216416代入P二j ，

30、得：C1616S y ( p)= P 4 4 P 21 - p3,V p3Sy(P)二 Sy (P)S；(P)P2 2P 44P2 - 2P 4H ( P)_ Sy ( p)_ p2 2P 4此即形成滤波器的传输函数，于是可由传输函数求状态方程。那么有：丫(pH (P)U (P p2 . 2(PP) 4有拉氏变换:丫( P )L !-y (t) 1, ,U ( p )二 L 'u (t) 1(P 22 P 4)Y ( p ) = 4U ( p)求拉氏反变换可得状态变量应满足的微分方程:=I+IM2 一-4-2 一* 一'1 一yXi0X 1IX 21.4011 U ®

31、u(t)引进状态变量xim,令y = 4论，禺=X2 (此假定不是唯一)X = X 2x? = -4Xi - 2X2 u那么有；此即前述形式的状态模型。实际上，随机过程的状态模型适用的范围很广，不仅限于上述有理谱的情况，任何通过线性微分方程与白噪声发生关系的随机过 程都可以表示成为状态模型。 如维纳过程及具有随机幅度就相位 的简谐运动的过程等等。状态方程的时域解： 最简单的一维状态方程(标量)x 二 ax bu ( 4 - 59 )dx (t)dt-atax (t) bu (t).( 4 - 60 )两边同乘 ee _at dX (t) - ae at x(t) = be u (t).( 4

32、- 61 ) dtde atx(t) = be atu(t)心和*dt两边积分得：tttax(t) += beu ) d Tt 0t 0+te x (t) - e " 0 x (t0 ) = be " u ( )d tox(t) = e a (t0)x (10 ) e at be 一3 u ( )dt 0=ea(t-to)x(to )be a (t _)u ( ) d .( 4 - 62 )t 0同理对于写成矩阵形式的状态方程：X 二 A X B U -( 4 - 63 )得：tX (t)二 eA(t_to)X (t0 ) eA(t)B(. )U ( )d ( 4 - 64

33、 )t 0此式有时又称为状态转移方程，式中矩阵eAt是与A同阶的矩阵，通常称为状态转移矩阵，并记为 ：J (t)故有：X (t)二：(t - t°)X (t°)(t - )B ( )U ( )d .(4 - 65 ) t0随机过程的离散状态模型可从连续过程进行采样的方式导出， 详细推导可见刘有恒书 p.389。I960年初卡尔曼那么是先提出离 散时间的卡尔曼滤波的递推算法，然后再导出连续形式的算法。XKT = X ( t K 1 ),其中：*WkX X (tK ) K+1,K =(tK+1 t K )*HHHtK -1,二 t j (tK 1 一 )B ( )U ( )d

34、t K、离散时间卡尔曼滤波的三个过程消息过程、观测过程、估计过程相应的模型X K 1 二二消息模型：即为前述离散状态模型-(4 - 67 )Zk 二 H k X k Vk - -4 - 68 Z K - tK时刻的观测矢量Mx 1,其中：Vk -测量噪声矢量Mx1,H K -观测矩阵MxN ，及V K = 0时Z K二X K的变换策划噪声矢量 WK和测量噪声矢量 Vk各自的协方差矩阵均已 知，两者都是零均值，且两者不相关，即：TQ K，i = k/EW K W i=-(4-6 9)k 0 ,ik R “ ，i = k/EV K V i=*r x-(4-7 0 )0 , i丰 kEwkVt =0

35、,.Vi , K ( 4 7 1 )】估计模型：XV对x K在tK时刻以前的预测估计先验估计 e/二X k - X?Q预测误差零均值那么对预测误差的协方差矩阵为：= EeK-e = EXk - X?KXk - X?KT.4 - 727 -作为卡尔曼滤波最正确线性估计的出发点，一般假定Xk和Pk是的，假设实际情况下不能确切地求出，但是如果其均值为零的话，那么可令：=0，PK= E X K Xj 有了预测估计 XK以后，我们就可以利用tK时刻的- ?观测矢量Zk来改善对X K的估计，tK时刻的估计记为 X K，称为更新估计:二 X?K Kk(Zk - H kXK) - -(4 - 73)Kk 为待

36、定的增益矩阵 式中第一项为哪一项预测估计；第二项是代表tK时刻，由观测值Zk得到的关于 XK的 最新信息。而更新估计误差的协方差矩阵为：H k X?K)Pk = E( X k - X?K) - K k ( H k X k Vk(X k - X? K) - K k ( H k x k V K - H K X? K ) T .( 4 - 74 )尔曼滤波的目的也是使估计误差的均方值最小，即是使得更新估计X K为最,同样是采用维纳滤波的准那么：最小均方误差。由此即可求解出最正确增益矩阵。推导过程略，详见刘有恒书 p.394-396 ):：K = PJHkT(HkPJHkT + 最正确增益矩阵亦称卡尔

37、曼增益矩阵 是否合理来看：当测量-1- / TRk)(4 - 75)其物理意义，可从各个变量相对变化的趋 噪声增加时，由式(4-70)可知，即E V kV< 对=R K -应最正确增益矩阵时的误差的协方差矩阵为:(4 - 76 )(I - K K H K )Pk易看出，卡尔曼滤波是具有“反应校正作用的，即:测估计+校正的新信息=更新估计估计已经很准确的时候，那么PJ就会很小了，就是增益矩阵 Kk也很小了,时新的观测数据Zk的校正作用意义就不大了。假设Pk= 0那么即:K = 0，这就说明X K已经到达准确值了。下面可写成一个离散卡尔曼 波的框图：而可以看出Pk* 起且 始始K值J卫-kP

38、 j P此时也就没有新的信息再作更新校正的 预测误差协方差矩阵计矩阵j +5环iKKhHX0最新K .当噪声继续增加，直到前面的分析可以看出，当测量噪声增加时，最正确增益矩阵下降。再由式(4-76)作用了，迭代终止三、离散时间卡尔曼滤波的应用离散时间卡尔曼滤波的应用非常广泛，航天、导航、自动控制、通信、冶金、电力、化工、气象、水文、地质等领域。美国阿波罗登月方案，GPS系统，巡航导弹的雷达信号处理及控制都是卡尔曼滤波成功应用的例子。卡尔曼滤波应用的一些限制：二模型问题：近似的状态模型-估计的精度，简化计算近似程度-估计误差及迭代收敛、发散二实时处理能力：计算量的大小-改良计算技术、减少状态的维

39、数、采用近似的增益矩阵等。发散问题：模型的选择及有限字长等问题。许多的研究工作继续在开展进行-卡尔曼滤波的生命力。例4-2、 负载预测BSTJ(Bell System Technical Journal)1982No.1 是卡尔曼滤波应用于 网络预测的专刊，其中有一篇是关于 干线用户需求量的短期预测的文章。3C0C25003C0C23002000 i口干线很供的负找童 o 年间韶预测<500 1137519-99图9>5 电活干线负载数据口干线提供的负我量。年间陥预测?200019751976197719781979a迷慈线用户需求量的短期预测的文章。 干线负载数据上图是某条 干线

40、数年间的负载数据，其中方形点代表 佃75年佃79年实际负载数据。数据曲线是周期性起伏的， 在每年年底至年初期间 负载到达顶峰。曲线近似于是在 正弦曲线上叠加一个逐年线性增长的趋势，正弦局部和线性 局部都有一些噪声叠加其上。故可采用以下模型拟合系统的 状态：线性局部x= fi(t),振荡局部y+32y= f2(t)fl(t), f2(t)是统计独立的白噪声过程，定义状态变量：X厂 X,X2 二 X,X3 二 y,X4 二 y由此可以写成以下状态方程：Xi1 101100 X11 1 101 1-X2 _0000 X2fi(t)X301001X31 1 3 101 .X4.00-©20X4-f2(t)矩阵形式为：Xax u此为连续时间的状态变量模型。经过用时间间隔T的抽样观测，可得离散的消息模型：Xk !kXk Wk根据相应的公式可以求出1