应变能与余能

1、 当为静载时，积蓄在弹性体的应变能可由功能原理通过当为静载时，积蓄在弹性体的应变能可由功能原理通过求解外力做功求得，求解外力做功求得， 一、一、 应变能应变能8-2 应变能与余能应变能与余能0PdWU其中：其中： P为广义力，为广义力， 为广义力为广义力P所对应的广义位移所对应的广义位移PO(a)PO(b)比能比能u :单位体积内所贮存的变形能单位体积内所贮存的变形能dVuUdxdxxdydzdy dxxyO(b)O(a) xy xydxdxxdz22212122GGdzdydxdxdydzu正应力引起的：正应力引起的：剪应力引起的：剪应力引起的：22212122EEdzdydxdxdydzu

2、（8-2-2a)1、受拉压杆的弹性变形能（线弹性）、受拉压杆的弹性变形能（线弹性） NP EANll llEAEAlNPU222122NlO(b)Nl(a)O(c)（8-2-1） 弹性变形能为弹性变形能为 0PdWU 2、受扭圆轴的弹性变形能（线弹性）、受扭圆轴的弹性变形能（线弹性） O(c)O(b)l a (a)a m n m n nmP PnGIlm nmPWU2121lGIGIlmUPPn2222代入得代入得 （8-2-3) 0PdWU 3、杆在纯弯曲情况下的弹性变形能（线弹性）、杆在纯弯曲情况下的弹性变形能（线弹性） mP EImllEIEIlmPU222122（8-2-4） 弹性变形

3、能为弹性变形能为 mm22O(c)O(b)m (a)EIml1由由 得得 又又 0PdWU4、杆在横力弯曲情况下的弹性变形能（线弹性）、杆在横力弯曲情况下的弹性变形能（线弹性） dxEIxMdxdAEyIxMdVuUllAV 2)(2)(22（8-2-4） 弹性变形能为弹性变形能为 在一般的细长梁中在一般的细长梁中,剪力引起的弹性变形能远小剪力引起的弹性变形能远小于弯矩所引起的弹性变形能于弯矩所引起的弹性变形能,剪力引起的弹性变形剪力引起的弹性变形能可忽略不计。能可忽略不计。ppnGIlmGIlm22U22解解：法法 1 运用扭转变形能公式运用扭转变形能公式例例 8-1 在线弹性在线弹性 范围

4、内工作的杆，范围内工作的杆， 已知：已知： m、G、l、d 。 求：在加载过程中所积蓄的应变能求：在加载过程中所积蓄的应变能 U。mld法法 2 由比能求应变能由比能求应变能 pIm GImGuP222222 mld)2(2GuGImGImGImPlAPPAlVldAdAdxdVu2222222222)(U解：解：法法 1 运用功能原理求应变能运用功能原理求应变能)2(2444334lxlxlxEIqlv 挠曲线方程挠曲线方程例例8-2 已知：图示抗弯刚度为已知：图示抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁，受均布荷载受均布荷载 q作用。求：应变能作用。求：应变能xvqyABlqdxdxdxqvWl02

5、1EIlqdxlxlxlxEIqlWl240)2(242U52443304外力做功外力做功应变能应变能22)(2qxxqlxM EIlqEIdxxMl2402522 U法法 2 运用弯曲变形能公式运用弯曲变形能公式xqyABl例例 8-3 水平杆系如图所示水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为，两杆的长度均为 l,横截面面积横截面面积 为为A，弹性模量为，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在，且均为线弹性。试计算在P1作用下的作用下的应变能。应变能。P1llA111解：解：P与与 的关系的关系由由A点平衡得点平衡得 222PltgPPN sin ll2llll2222 相比为高阶微量可略去不计相比

6、为高阶微量可略去不计2llNP2 EAlN222 EAlP)(3 ll 2与与得得 )(EANll EANll 22得得 代入得代入得 PANN113410041413U11)(PEAlEAddPWl由于由于P与与的非线性关系的非线性关系,求能量需用积分。求能量需用积分。P二、二、 余能余能1、基本公式、基本公式PdP1P1PdPWC102、与应变能的关系、与应变能的关系 PdP10 10Pd=矩形面积矩形面积+矩形面积WCCU即即二、线弹性材料的几何线性问题二、线弹性材料的几何线性问题UU CPUUC21P1P1UUCB BD D1,1 nkn1P1 1 o例例8-4 已知两杆的长度均为已知

7、两杆的长度均为 l、横截面面积均为、横截面面积均为A、材料、材料单轴拉伸时的单轴拉伸时的 曲线如图所示。曲线如图所示。 求：荷载求：荷载 P1作用下的余能作用下的余能 Uc dVucc U1 B BD D1,1 nkn1P1 o解解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。 duc)(kn )1()(110011 nKdkdunnnc由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此11)cos()1()2()2(nnncVcCPnkAllAudVuU)cos2()1(111APnkunnc AN11

8、 cos211PN B BD D1P)1(11 nKunnc补充题补充题1:拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度EI，受到，受到 P1，P2两个力作用。两个力作用。(1) 若先在若先在B截面加截面加P1 ，然后在，然后在C截面加截面加P2；(2) 若先在若先在C截面加截面加P2 ，然后，然后B截面加截面加P1。分别计算两种加力方法拉杆的应变能。分别计算两种加力方法拉杆的应变能。ABCabP1P2(1) 先在先在B截面加截面加P1，然后在，然后在C截面加截面加P2ABCabP1 在在B截面加截面加P1， B截面的位移为截面的位移为EAaPB11外力作功为外力作功为EA

9、aPPWB22121111 再在再在C上加上加P2P2C截面的截面的位移为位移为EAbaPC)(22P2 作功为作功为EAbaPPWc2)(2122222 在加在加P2 后，后，B截面又有位移截面又有位移在加在加P2过程中过程中P1作功作功EAaPPPWB21213所以应变能为所以应变能为321UWWWWEAaPPEAbaPEAaP2122212)(2ABCabP1P2EAaPB22ABCabP1P2(2) 若先在若先在C截面加截面加P2 ，然后，然后B截面加截面加P1。 在在C截面加截面加P2 后，后， P2 作功作功EAbaP222)( 在在B截面加截面加P1后，后， P1作功作功EAaP221 加加 P1引起引起C截面的位移截面的位移EAaP1在加在加P1 过程中过程中P2作功作功EAaPP21BPcPBPW2122112121 UEAaPPEAbaPEAaP212221