电磁场及微波期末复习

1、电磁场与电磁波总复习第一章 矢性函数 场 标量场 矢量场 等值面 矢量线 方向导数 方向余弦 标量场的梯度 哈密尔顿微分算子 矢量场的散度 散度定理 矢量场的旋度 拉普拉斯算子 斯托克斯定理 无散场 无旋场 亥姆霍兹定理 (1)标量函数u在某点沿l 方向的变化率，称为标量场u沿该方向的方向导数。 标量场u在该点的梯度gradu=u，与方向导数的关系为第一章 矢量分析uluul l(2) 矢量A穿过曲面S的通量为。矢量A在某点的散度定义为它是一个标量，表示从该点散发的通量体密度，描述了该点的通量源强度。其散度定理为 (4) 矢量A沿闭合曲线l的线积分 ，称为矢量A 沿该曲线的环量。矢量A在某点的

2、旋度定义为SdAS0ddivlimSVV ASAAVSdVdAASldAlmax0d rotlimlSS AlAAn斯托克斯定理斯托克斯定理()SlddASAl (5) 哈密顿微分算子。 A可以看作两个矢量的标量积， A可以看作两个矢量的矢量积。计算时，先按矢量运算法则展开，然后再作微分运算。 u可以看作矢量与标量相乘。在直角坐标系中，其算子可表示为xyzxyz eee在圆柱坐标系中，其算子可表示为1zz eee在球面坐标系中， 算子可表示为11sinrrrr eee(6)亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理总结了矢量场共同的性质：矢量场可由矢量场的散度和旋度唯一地确定；矢量场的散度和旋度各自对应矢量场中

3、的一种源。所以分析矢量场时，应从研究它的散度和旋度入手，旋度方程和散度方程构成了矢量场的基本特性。第二章 高斯定理 静电场的电位 电偶极子 电偶极距 泊松方程 拉普拉斯方程 边界条件 电场能量 电场能量密度第三章（1） 静电场(1) 在均匀介质中点电荷及分布电荷的电场和电位点电荷：34)(rrrrrEq14)(rrrq3d)(41)(VVrrrrrrEd)(41)(VVrrrr体电荷：面电荷：3d)(41)(SSSrrrrrrEd)(41)(SSSrrrr3d)(41)(llrrrrrrE线电荷：d)(41)(llrrrr(2) 真空中静电场的基本方程0SqdES0ldEl微分形式：0E =0

4、E积分形式：2或02(3) 静电场是有势场，可以用电位j的负梯度表示，即E=电位的微分方程为(4) 用极化强度P描述介质的极化程度电位移矢量定义为D0EP 对于各向同性介质：D01EE 介质中，高斯定理为SdqDS与其相应的微分形式为D(5) 在不同介质界面上，边界条件为在不同介质界面上，边界条件为D2nD1n S 或或 D2n=D1n ( S=0)E2t=E1t 边界条件用电位表示为边界条件用电位表示为Snn1122)0(1122Snn12 或或(6) 静电场的能量存在于场中：静电场的能量存在于场中：12eeVVWdVw dVD E第三章（2） 恒定电场 电流密度 传导电流 运流电流 电荷守

5、恒定律 欧姆定律（微分形式） 焦耳定律 安培定律 毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁通连续性原理 安培环路定律 矢量磁位（磁矢位） 磁偶极子 磁矩 标量磁位 磁场能量 磁场能量密度 (1) 恒定电流的电场和电荷分布不随时间变化，其基本方程为d0d0SSJSEl微分形式为00JE欧姆定律的微分形式：= JEp E J焦耳定律的微分形式：均匀导体中电位满足拉普拉斯方程，即20t 1t2n1n2EEJJ或121122nn不同导体界面上的边界条件为不同导体界面上的边界条件为体电流： 3( ) ()( )4VdVJ rrrB rrr3()( )4lIdlrrB rrr线电流： 3( ) ()( )4SSdSJ

6、rrrB rrr面电流：(3) 均匀介质中线电流或分布电流产生的磁感应强度为(1) 真空中恒定磁场的基本方程。00lSdIdBlBS微分形式：00BJB积分形式：第第三三章章（3） 恒定磁场恒定磁场JH (3) 由 引入磁矢位A，B= A。0 BJA2或02 A(2) 介质在磁场中要产生磁化，用磁化强度M描述磁化程度。磁场强度定义为，对于各向同性介质 。在介质中安培环路定律为 ，其微分形式是MBH0ldIHl0r BHH由线电流或分布电流可以通过积分计算磁矢位：面电流：d)(4)(SSrrrJrAS体电流：d)(4)(VVrrrJrAlId4)(rrlrA线电流：1d2mVWVB H12mw

7、B H(4) 恒定磁场的边界条件：21()SnHHJ210nBB(5) 在线性介质中，一个回路的磁链与引起这个磁链的电流成正比，其比值为电感。电感分为自感和互感。电感仅仅与回路的形状、大小、相对位置及介质特性有关，与磁链和电流无关(6) 磁场能量存在于场中，能量为wm称为磁场能量密度。第三章（4） 时变电磁场 法拉第电磁感应定律 位移电流密度 全电流定律 麦克斯韦方程组（微分、积分形式） 本构关系 线性媒质 各向同性媒质 均匀媒质 非色散媒质 简单媒质 坡印廷定理 坡印廷矢量 正弦电磁场（时谐场） 复振幅 麦克斯韦方程组的复数形式 复坡印廷矢量 复介电常数 等效介电常数 平均坡印廷矢量 波动方

8、程 Slddt ElBS其对应的微分形式为t BE (1) 法拉第电磁感应定律表明时变磁场产生电场的规律。对于电磁场中任意的闭合回路时变电磁场SddddtdtBSE(2) 电位移D的时变率为位移电流密度，即。安培定律中引入的位移电流，表现时变电场产生磁场：dtDJlSddtDHlJS其对应的微分形式为tDHJ可见，包括位移电流在内的全电流是连续的。(3) 麦克斯韦方程组如下： 微分形式 积分形式tDHJlSddtDHlJSt BElSddt BElS0B0SdBSDSdqDS 在时变场情况下,由于 和 有限，两种媒质分界面上电磁场的边界条件与静态场的边界条件形式完全相同 法向分量的边界条件：

9、n(D2D1)=S， n(B2B1)=0 切向分量的边界条件： n(H2H1)=JS， n(E2E1)=0 对于S=0、JS=0的分界面，只需要切向分量的边界条件 在理想导体( =)表面，若n为理想导体的外法向单位矢量，则上列各式中带下标 1 的场量为零。tBtD()meSVVdwwdVdVtEHSJ E表示沿能流方向穿过垂直于S的单位面积的功率的矢量，即功率流密度。(5) 电磁场的能量转化和守恒定律称为坡印廷定理：每秒体积中电磁能量的增加量等于从包围体积的闭合面进入体积的功率。其数学表达式为坡印廷矢量(能流矢量)S=EHav011( )dRe2TttT*SSEH式中1/2(EH*)称为复坡印

10、廷矢量复坡印廷矢量。(6) 正弦电磁场正弦电磁场是电磁场矢量的每个分量都随时间以相同的频率作正弦变化的电磁场，也称为时谐电磁场时谐电磁场。用振幅的复数表示矢量场的每一分量。复矢量是一个矢量的三个分量的复数的组合，是一个简化书写的记号。复矢量仅与空间坐标有关(7) 均匀、线性、各向同性的无耗媒质中，无源区域(J=0， =0)的电场强度矢量E和磁场强度矢量H的波动方程为2220tEE2220tHH坡印廷矢量的时间平均值为第三章 平面电磁波 平面电磁波 均匀平面电磁波 波阻抗（本征阻抗） 相速 波长 波数 电磁波的能速 波矢量（传播矢量） 衰减常数 相位常数 传播常数 集肤效应 集肤深度（透入深度）

11、 电磁波的极化（偏振）线极化波 圆极化波 椭圆极化波 驻波 对于正弦电磁场正弦电磁场，无源、无界、无损耗的简单媒质中的波动方程是复数形式的波动方程。在直角坐标系中，假设均匀平面波沿z方向传播0jkzxxxEE eEee00jkzjkzxyyyEHeH eHeee式中： ,k 00100jjkkkeek rk rkEEHHHeEEeHe Ee H或(1) 均匀平面电磁波在无界理想媒质中传播时，电场强度矢量和磁场强度矢量的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并与电磁波传播方向垂直，三者构成右手螺旋关系。这种均匀平面电磁波可以表示为式中： ,kkk kee0cos()zxmE etzEe0

12、c1cos()|azymE etzHe(2) 均匀平面电磁波在导电媒质导电媒质中传播时，电场强度矢量和磁场强度矢量在空间上仍互相垂直，且与电磁波传播方向三者构成右手螺旋关系；但是电场和磁场的振幅按指数函数衰减，它们在时间上不再同相。此外，电磁波的波长变短，相速减慢。这种电磁波可以表示为cc|jej第四章 传输线理论 长线 短线 集总参数 分布参数 输入阻抗 特性阻抗 负载阻抗 反射系数 传输线工作状态 驻波工作状态 输入阻抗的求解 阻抗圆图特点对于正弦电磁场正弦电磁场，无源、无界、无损耗的简单媒质中的波动方程是复数形式的波动方程。在直角坐标系中，假设均匀平面波沿z方向传播0jkzxxxEE e

13、Eee00jkzjkzxyyyEHeH eHeee式中： ,k 例例1 求矢量场 A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez 在点M(1,0,1)处的旋度以及沿 n=2ex+6ey+3ez 方向的环量面密度。 rot()()()xyzxyzx zyy xzz yx eeeAA解：解： 矢量场 A 的旋度 ()()()xyzzyxzyxeee在点M(1,0,1)处的旋度 2MxyzAeeen方向的单位矢量 2221263(263)777263xyzxyz neeeeee在点M(1,0,1)处沿n方向的环量面密度 26327772631727777Mxyzxyz Aneeeeee 例

14、例 2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为0的电荷，试求任意点的电场强度。 3002344arEr故 3020()3raErar解：解： 球对称的电荷分布，所以电场仅含径向分量Er，则可取球面为高斯面。当ra时，高斯面上的电场大小相等，方向与S的法线方向相同 001SVddVES30203rarEe当r0 的结论。 对z轴上的任意点， 电位为 22 1/20( )()2Szazz解解：由面电荷产生的电位公式：cos sin zxyzreree22 1/2()zdSddrr222 1/222 1/20000( )()4()2aSSdzdazzz 例例 4 设同轴线的内导体半径为a, 外导体的

15、内半径为b，内、 外导体间填充电导率为 的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电导。图 3-5 同轴线横截面 解解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴向方向单位长度(L=1)从内导体流向外导体的电流为I，则在媒质内(ara 时， 积分回路包围的电流为 I ； 当 ra 时，包围电流为 Ir2/a2。 所以当 ra 时， 200222 2IrIrBrBaa当 ra 时， 002 2IBrIBr写成矢量形式为 020 2 2IrraaIrareBe例例 6 在无源的自由空间中，已知磁场强度 592.63 10cos(3 1010 ) (A/m)ytzHe 解：解：

16、无源的自由空间中J=0, 式(5 - 22)变为 tDH492002.63 10sin(3 1010 ) (A/m )xyzdyyxxtxyzHHtzz eeeDJHee求位移电流密度Jd。例例 7 已知在无源的自由空间中， 0cos()xEtzEe其中E0、为常数，求磁场强度H。 00 xyzxxyzEeeeE解：解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0, =0。由麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律t BE0t H上式左边0sinyEtz= e00sin()yxxyyzzEtzHHHt eeee由上式可以写出： 0,0 xzHH 00sin()yHEtzt则00cos()

17、yEHtz 上式两边积分得00cos()yEtz He写成矢量形式 例例8 将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。 0000(1) (2) (3) cos2sinxjkzxxyEjE eEtkzEtkzEeEeEee200(2) , , ,Recos2jkzj txxx y z tE eeEtkzEee 2003 , , ,Re2jt kzjt kzxyx y z tE eE eEee00(1) , , ,Recosxjj txxxx y z tE eeEtEee解解：0, ,2jkzxyx y zj E eEee所以 解： (1) 由 E=j0H得00011( )( )0

18、0 xyzjk zzzjjxyzE e eeeHE00jk zxkEe e例例 9 已知无源( =0，J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量E(z)=eyE0ejkz (V/m)式中，k、E0为常数。求：(1) 磁场强度复矢量；(2) 坡印廷矢量的瞬时值；(3) 平均坡印廷矢量。(3) 平均坡印廷矢量：2200( , )( , )( , )cos ()zkEz tz tz tt kzSEHe00( , )Re( )cos()j txkEz tz etkz HHe0av0022000011Re( )( )Re2211Re22jkzjkzyxzzkEzzE eekEkE SEHeeee所

19、以，坡印廷矢量的瞬时值为0( , )Re( )cos()j tyz tz eEtkzEEe(2) 电场、磁场的瞬时值为 例例10 已知无界理想媒质( =90, =0， =0)中正弦均匀平面电磁波的频率 f =108 Hz， 电场强度 333 V/mjkzjjkzxyeeEee试求： 均匀平面电磁波的相速度vp、波长l、相移常数k和波阻抗； 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式； (3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。 解解： (1) 1pvrrc 883 1010 m/s9pvfl8810101 mk (2)磁场强度的复振幅jHE31(43) (A/m)jkzjjkzyxeeee

20、334jkzjjkzxyjjkejkeeepv2 rad/m相移常数波阻抗0rru1120940 3430 xyzjkzjjkzjxyzeeeee88( )Re4cos(2102)3cos 2102 (V/m)3j txytetztzEEee88( )Re31cos(2102)cos 2102 (A/m)40310j txytetztzHHee电场强度和磁场强度的瞬时值为（3）复坡印廷矢量：*3321131432240105 W/m16j kzj kzjkzjkzxyxyzeeee SE Heeeee（）例例 11 判断下列平面电磁波的极化形式： 000(1)()(2)(2)(3)(3)jkzxyjkzxyjkyxzEjeEjjeEjeEeeEeeEee 解：解：(1) E=jE0(jex+ey)e-jkz，Ex和Ey振幅相等，且Ex相位超前Ey相位/2，电磁波沿+z方向传播，故为右旋圆极化波。 (2) E=jE0(ex-2ey)ejkz，Ex和Ey相位差为，故为在二、四象限的线极化波。(3) EzmExm，Ez相位超前Ex相位/2，电磁波沿+y方向传