三角形的内角

1、7.2.2 7.2.2 三角形三角形的外角的外角三角形的内角w 三角形内角的和等于三角形内角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考回顾与思考ABC三角形外角定义三角形外角定义: 三角形的一边与另一边三角形的一边与另一边

2、的延长线所组成的角的延长线所组成的角, 叫做三角形的叫做三角形的外角外角.特征特征: (1). 顶点在三角形的一个顶点上顶点在三角形的一个顶点上. (2). 一条边是三角形的一边一条边是三角形的一边. (3). 另一条边是三角形某条边的延长线另一条边是三角形某条边的延长线. 实际上三角形的一个外角实际上三角形的一个外角, 就是三角形一个内角的就是三角形一个内角的邻补邻补角角w如图如图. . ABC 中中,A=70A=70,B=60B=60,ACD,ACD是是ABC的一个外角的一个外角, 能由能由A A , BB 求出求出ACDACD 吗吗?如果能如果能, ACDACD 与与A A , BB 有

3、什么关系有什么关系?你能你能进一步说明进一步说明 ACD ACD与图中的其它角与图中的其它角有什么关系有什么关系?w ACD =A+B.ACD =A+B.wACD+2=ACD+2=1800 ;wACD A;ACD A;wACD B;ACD B;w理由如下:A+B+2=A+B+2=1800(三角形内角和等于三角形内角和等于1800 ),w 1+2=1+2=1800(平角的意义平角的意义),w 1= A+B1= A+B.(等量代换等量代换).w 1A,1B(1A,1B(和大于部分和大于部分).). 探索思考探索思考ABCD12w能说出你的理由吗?w用文字表述为用文字表述为: :w三角形的一个外角等

4、于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. .w三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. .三角形的外角w三角形的一个外角等于与它不相邻的三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和两个内角的和. .w 三角形的一个外角大于与它不相邻的三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角任何一个内角. .wABC中中: : w1=1=A+B;A+B;w1A,1B.1A,1B. 三种语言三种语言ABCD12w这个结论以后可以直接运用.w例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD平分平分 外角外角EAC,B= C.

5、则则AD BC请说明理由请说明理由.w解 EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 例题欣赏例题欣赏w ADBC (内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).w B=C (已知已知),w DAC=C(等量代换等量代换).ACDBE AD平分平分 EAC(已知已知).21C= EAC(等式性质等式性质).21DAC= EAC(角平分线的定义角平分线的定义).例题是运用了“内错角相等,两直线平行”得到了证实.一题多解思维灵活想一想想一想ACDBE B=C (已知),21B= EAC(等式性质). AD平分 EAC(已知).2

6、1DAE= EAC(角平分线的定义). DAE=B(等量代换). ADBC (同位角相等,两直线平行).这里是运用了“同位角相等,两直线平行”得到了证实. 解 EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),w例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD平分平分外角外角EAC,B= C. 则则AD BC,请说明理由请说明理由一题多解思维灵活想一想想一想ACDBE例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 则ADBC.请说明理由. DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (三角形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换

7、). ADBC (同旁内角互补,两直线平行).这里是运用了“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.解:由解法1可得:w例2 已知:如图,在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE. 则 12,请说明理由.w解: 1是ABC的一个外角(已知), 例题欣赏例题欣赏w把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法.w 13(三角形的一个外角大于和与 它不相邻的任何一个内角).w 3是CDE的一个外角 (外角定义).w 32(三角形的一个外角大于和与 它不相邻的任何一个内角).w 12(不等式的性质).CABF1345ED2我能行w已知已知:

8、如图所示如图所示,在在ABC中中,外角外角DCA=100,A=45.w求求:B和和ACB的大小的大小. 随堂练习随堂练习ABCD解解: DCA是是ABC的一个外角的一个外角(已知已知), DCA=100(已知已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和). 又又 DCA+BCA=180(平角意义平角意义). ACB=80(等式的性质等式的性质). A=45(已知已知),你认识外角吗?w已知已知:国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示.w求求:A+B+C+D+E的度数的度数. 随堂练习随堂练习解:1是是

9、BDF的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和性质来求解. 1=B+D(三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和).又又A+1+2=180(三角形内角和等于三角形内角和等于180).又又 2是是EHC的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E =180(等式性质等式性质).你认识外角吗?w已知已知:如图所示如图所示.w求证求证:(

10、1)BDCA;w(2) BDC=A+B+C. 试一试试一试证明证明(1): BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角的定义外角的定义), BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角任何一个外角). BDCA (不等式的性质不等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角的定义外角的定义),BCADE你认识外角吗?w已知已知:如图所示如图所示.w求证求证:(1)BDCA;w(2) BDC=A+B+C. 试一试试一试证明(2):

11、BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角的定义外角的定义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角的定义外角的定义),BCADE回味无穷1.理解几何命题说理的理解几何命题说理的方法方法,步骤步骤,格式格式及及注意事项注意事项.2.2.三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. . ABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.3.3.三角形的三角形的外角外角 (1)(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. . (2)(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的