蒙特卡洛方法与定积分计算

1、蒙特卡洛方法与定积分计算By 邓一硕 2010/03/08 关键词：Monte-Carlo, 定积分, 模拟, 蒙特卡洛 分类：统计计算作者信息：来自中央财经大学;统计学专业。版权声明：本文版权归原作者所有，未经许可不得转载。原文可能随时需要修改纰漏，全文复制转载会带来不必要的误导，若您想推荐给朋友阅读，敬请以负责的态度提供原文链接；点此查看如何在学术刊物中引用本文 常规引用方式邓一硕. 蒙特卡洛方法与定积分计算. 统计之都, 2010.03. URL: /2010/03/monte-carlo-method-to-compute-integration/.BibT

2、eX引用ARTICLE, AUTHOR = 邓一硕, TITLE = 蒙特卡洛方法与定积分计算, JOURNAL = 统计之都, YEAR = 2010, month = 03, URL = /2010/03/monte-carlo-method-to-compute-integration/,本文讲述一下蒙特卡洛模拟方法与定积分计算，首先从一个题目开始：设，用蒙特卡洛模拟法求定积分的值。随机投点法设服从正方形 上的均匀分布，则可知 分别服从0,1上的均匀分布，且相互独立。记事件 ，则的概率为即定积分 的值 就是事件出现的频率。同时，由伯努利大数定律，我们可以用重复

3、试验中出现的频率作为 的估计值。即将看成是正方形内的随机投点，用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值。这种方法就叫随机投点法，具体做法如下：图1 随机投点法示意图1、首先产生服从 上的均匀分布的 个随机数（ 为随机投点个数，可以取很大，如 ）并将其配对。2、对这对数据 ，记录满足不等式的个数，这就是事件 发生的频数，由此可得事件 发生的频率 ，则 。举一实例，譬如要计算，模拟次数时，R代码如下：n=104; x=runif(n); y=runif(n); f=function(x) exp(-x2/2)/sqrt(2*pi) mu_n=sum(y<f(x); J=mu_n/n; J模

4、拟次数 时，令,其余不变。定积分的精确值和模拟值如下：表1精确值0.34134470.3420.3440.341870.3415390.341302注：精确值用integrate(f,0,1)求得扩展如果你很细心，你会发现这个 方法目前只适用于积分区间 ，且积分函数 在区间上的取值也位于 内的情况。那么，对于一般区间 上的定积分 呢？一个很明显的思路，如果我们可以将 与 建立代数关系就可以了。首先，做线性变换，令 ，此时，,。进一步如果在区间上有 ，令，则。此时，可以得到 。其中,。这说明，用随机投点法计算定积分方法具有普遍意义。举一个实例，求定积分 。显然，由于在 上时单调减函数，所以 ，。

5、R中代码为a=2; b=5; g=function(x) exp(-x2/2)/sqrt(2*pi); f=function(y) (g(a+(b-a)*y)-c)/(d-c); c=g(5);d=g(2);s_0=(b-a)*(d-c); n=104; x=runif(n);y=runif(n); mu_n=sum(y<=f(x); J=mu_n/n; J_0=s_0*J+c*(b-a);定积分 的精确值和模拟值如下：表2真实值0.022749850.023327920.023117360.022626590.022841520.02278524注：精确值用integrate(g,2,

6、5)求得)平均值法蒙特卡洛模拟法计算定积分时还有另一种方法，叫平均值法。这个原理也很简单：设随机变量 服从上的均匀分布，则 的数学期望为所以估计 的值就是估计 的数学期望值。由辛钦大数定律，可以用 的观察值的均值取估计 的数学期望。具体做法：先用计算机产生 个服从上均匀分布的随机数： 。对每一个 ，计算 。计算。譬如，计算 ，R中的代码为n=104; x=runif(n); f=function(x) exp(-x2/2)/sqrt(2*pi) J=mean(f(x);其精确值和模拟值如下：表3真实值0.34134470.34058310.34107390.34144430.34140660.3413366平均值法与随机投点法