matlab数理统计

1、1数学实验第十讲数理统计的matlab求解Matlab介绍一、统计量一、统计量2022-2-15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心4n偏度系数的意义由图偏度系数的意义由图2-12-1可表示出来。可表示出来。 n 图图2-1 10V 10V 10V 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2022-2-15中国人民大学六西格玛质量管理研究中心5n峰度用峰度系数表示：峰度用峰度系数表示：4124()(1)niixxVSn23V 23V 23V 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、基本统计量二、基本统计量对随机变量对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：，计算其基本统

2、计量的命令如下：均值：均值：mean(x)中位数：中位数：median(x)标准差：标准差：std(x) 方差：方差：var(x)偏度：偏度：skewness(x) 峰度：峰度：kurtosis(x)2022-2-157 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.数组的平均值数组的平均值-Y=mean(X)功能：当功能：当X为向量时，输出一个平均数；当为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：平均值，应用嵌套：mea

3、n(mean(X)或或m=mean(X(:)与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum),最大最大(max),最小最小(min)等等2.离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量功能：计算随机值向量X与对应概率向量与对应概率向量P的乘积之和的乘积之和3.连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望功能：用积分计算期望2022-2-158 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例4设随机变量设随机变量X的分布列，求期望。的分布列，求期望。程序：程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8

4、,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p) 1.3750X-1023P1/81/43/81/42022-2-1593.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.5设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：且且EX=3/5，求常数，求常数a,b的值。的值。程序：程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1) EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1) F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=F-1; a,b=solve(f1,f2) a=3/5,b=6/5其他100)(2 xbxaxf2022-2

5、-15103.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.6设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量Y=|X|的期望。的期望。程序：程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf) EY= 1其他05 . 05 . 0)(xeexfxxdxxfxgEY)()(2022-2-1511随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 随机变量的方差随机变量的方差1.统计数据的方差统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当功能：当X为

6、向量时，输出一个标量；当为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：差值，应用嵌套：var(var(X) 缺省缺省1，计算：，计算：否则计算：否则计算：2.统计数据的标准差统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和功能：用法和1的解释同上的解释同上3. 一般随机变量的方差一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算功能：用积分或级数编程计算niixxnS122)(11niixxnS122)(12022-2-1512随机

7、变量的数字特征随机变量的数字特征n 例例3.7设随机变量设随机变量X的分布密度为：的分布密度为：求随机变量求随机变量X的期望和方差。的期望和方差。程序：程序：clear;syms x;fx=2/pi*cos(2*x);EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2 其他2|02cos2)(xxxf2022-2-1513 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差1.二项分布二项分布-E,D=binostat(n,p)说明说明:n,p可以是标量可以是标量,向量向量,矩阵矩阵,则则E

8、,D是对应的标量是对应的标量,向量向量,矩阵矩阵2.超几何分布超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3.泊松分布泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等等等2022-2-1514 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 协方差与相关系数的计算协方差与相关系数的计算1.随机变量的随机变量的协方差协方差-co

9、v(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的随机变量的相关系数相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差统计数据的协方差cov(X)-当当X为向量时为向量时,cov(X)=var(X);当当X为矩阵时为矩阵时,结果为结果为X的协方差矩阵的协方差矩阵.对角线是对角线是X每列的方差每列的方差,Xij为为X的的第第i列和第列和第j列的协方差值。列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量计算向量X和和Y的协方差值的协方差值4.统计数据的相关系数统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与说明与用法与cov()相同相同2022-

10、2-15153.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n 矩的计算矩的计算1.随机变量的随机变量的k阶中心矩阶中心矩-Bk=moment(X,k)2.随机变量的随机变量的k阶原点矩阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X)kniikxxnB1)(1kniikxnA1)(1三三、常见概率分布的函数常见概率分布的函数MATLAB工具箱对每一种分布都提供工具箱对每一种分布都提供5 5类函数，其命令字符为：类函数，其命令字符为：概率密度：概率密度：pdf 概率分布：概率分布：cdf逆概率分布：逆概率分布：inv 均值与方差：均值与方差：stat随机数生成：随机数生成：rnd （当需要一种分

11、布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符（当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可和参数即可. .）例例 2 画出正态分布) 1 , 0(N和)2 , 0(2N的概率密度函数图形.在在MATLAB中输入以下命令：中输入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1密度函数：密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当当mu=0,sigma=1时时可缺省可缺省

12、)如对均值为如对均值为mumu、标准差为、标准差为sigmasigma的正态分布，举例如下：的正态分布，举例如下：3逆概率分布：逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出即求出x ，使得使得PXx=P.此命令可用来求分位数此命令可用来求分位数.2概率分布：概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)4均值与方差：均值与方差：m,v=normstat(mu,sigma)例例5 求正态分布求正态分布N(3,5(3,52 2) )的均值与方差的均值与方差. . 命令为：命令为：m,v=normstat(3,5) 结果为：结果为：m=3,v=255随机数生成：随机数生成：

13、normrnd(mu,sigma,m,n).产生产生mn阶的正态分布随机数矩阵阶的正态分布随机数矩阵.例例6 6 命令：命令：M=normrnd(1 2 3;4 5 6,0.1,2,3) 结果为：结果为：M=0.9567 2.0125 2.8854 3.8334 5.0288 6.1191 此命令产生了此命令产生了23的正态分布随机数矩阵，各数分别服从的正态分布随机数矩阵，各数分别服从分布：分布：N(1,0.12), N(2,22), N(3, 32), N(4,0.12), N(5, 22), N(6, 32).1给出数组给出数组data的频数表的命令为：的频数表的命令为： N,X=hist

14、(data,k) 此命令将区间此命令将区间min(data),max(data)分分为为k个小区间（缺省为个小区间（缺省为10），返回数组），返回数组data落在落在每一个小区间的频数每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点和每一个小区间的中点X.2描绘数组描绘数组data的频数直方图的命令为：的频数直方图的命令为： hist(data,k)四、直四、直 方方 图图 的的 描描 绘绘2022-2-1521 随机变量及其分布随机变量及其分布注：注：以后碰到命令末尾为：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数产生随机数X； cdf-产生分布函数产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数产生密度函数p(

15、x)或分布列或分布列Px=PX=xinv-计算计算x=F-1(p) p=F (x)2022-2-1522常见分布的随机数产生常见分布的随机数产生2022-2-1523专用函数计算概率密度函数表专用函数计算概率密度函数表 2022-2-1524专用函数的累积概率值函数表专用函数的累积概率值函数表 2022-2-1525常用临界值函数表常用临界值函数表 2022-2-1526常见分布的均值和方差常见分布的均值和方差 2022-2-1527 随机变量及其分布随机变量及其分布n 例例3.1某人向空中抛硬币某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为次，落下为正面的概率为0.5。这。这100次中正面向上

16、的次数记为次中正面向上的次数记为X：(1)试计算试计算x=45的概率和的概率和x45的概率；的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。绘制分布函数图象和分布列图象。程序：程序：clear;px=pdbinof(45,100,0.5) % 计算计算x=45的概率的概率 px = 0.0485fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算计算x45的概率的概率 fx =0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图分布函数图)2022-2-15283.1 随机变量及其分布随机变量及其分布p2=binopdf(x,1

17、00,0.5);plot(x,p2,*r);title(概率分布图概率分布图)2022-2-15293.1 随机变量及其分布随机变量及其分布n 例例3.2设设XN(2,0.25)(1) 求概率求概率P1X5050），按中心极限定理，它近似地服从正态分），按中心极限定理，它近似地服从正态分布；布；二、使用二、使用MATLAB工具箱中具有特定分布总体的估计命令工具箱中具有特定分布总体的估计命令.（1）muhat, muci = expfit(X,alpha) 在显著性在显著性水平水平alpha下，求下，求指数分布的数据指数分布的数据X的的均值的点估计及其区间估均值的点估计及其区间估计计.（2）la

18、mbdahat, lambdaci = poissfit(X,alpha) 在显著性水平在显著性水平alpha下，求下，求泊松分布的数据泊松分布的数据X的参数的点估的参数的点估计及其区间估计计及其区间估计.（3）phat, pci = weibfit(X,alpha) 在显著性水在显著性水平平alpha下，求下，求Weibull分布的数据分布的数据X的参数的点估计及其区间的参数的点估计及其区间估计估计.六、假设检验六、假设检验 在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验.1总体方差总体方差 已知时，总体均值的检验使用已知时，总体均值

19、的检验使用 z检验检验 h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)检验数据检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为为已知方差，已知方差， alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：的取值：tail = 0，检验假设，检验假设“x 的均值等于的均值等于 m ”tail = 1，检验假设，检验假设“x 的均值大于的均值大于 m ”tail =-1，检验假设，检验假设“x 的均值小于的均值小于 m ”tail的缺省值为的缺省值为 0， alpha的缺

20、省值为的缺省值为 0.05. 返回值返回值 h 为一个布尔值，为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，为假设成立的概率，ci 为均值的为均值的 1-alpha 置信区间置信区间.2 例例7 MATLAB统计工具箱中的数据文件统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国中提供了美国1993年年1月份月份和和2月份的汽油平均价格（月份的汽油平均价格（price1,price2分别是分别是1、2月份的油价，单位为美月份的油价，单位为美分），它是容量为分），它是容量为20的双样本的双样本.假设假设1月份油

21、价的标准偏差是每加仑月份油价的标准偏差是每加仑4分币分币（ =4），试检验），试检验1月份油价的均值是否等于月份油价的均值是否等于115.解解 作假设：作假设：m = 115.首先取出数据，用以下命令：首先取出数据，用以下命令： load gas然后用以下命令检验然后用以下命令检验 h,sig,ci = ztest(price1,115,4)返回：返回：h = 0，sig = 0.8668，ci = 113.3970 116.9030.检验结果检验结果: 1. 布尔变量布尔变量h=0, 表示不拒绝零假设表示不拒绝零假设. 说明提出的假设均值说明提出的假设均值115 是合理的是合理的. 2. s

22、ig值为值为0.8668, 远超过远超过0.5, 不能拒绝零假设不能拒绝零假设 3. 95%的置信区间为的置信区间为113.4, 116.9, 它完全包括它完全包括115, 且精度很且精度很 高高. 2总体方差总体方差 未知时，总体均值的检验使用未知时，总体均值的检验使用t 检验检验 h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail)检验数据检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：的取值：tail = 0，检验假设，检验假设“x 的均值

23、等于的均值等于 m ”tail = 1，检验假设，检验假设“x 的均值大于的均值大于 m ”tail =-1，检验假设，检验假设“x 的均值小于的均值小于 m ”tail的缺省值为的缺省值为 0， alpha的缺省值为的缺省值为 0.05. 返回值返回值 h 为一个布尔值，为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，为假设成立的概率，ci 为为均值的均值的 1-alpha 置信区间置信区间.2返回：返回：h = 1，sig = 4.9517e-004，ci =116.8 120.2.检验结果检验结果: 1.

24、 布尔变量布尔变量h=1, 表示拒绝零假设表示拒绝零假设. 说明提出的假说明提出的假 设油价均值设油价均值115是不合理的是不合理的. 2. 95%的置信区间为的置信区间为116.8 120.2, 它不包括它不包括 115, 故不能接受假设故不能接受假设. 3. sig值为值为4.9517e-004, 远小于远小于0.5, 不能接受零不能接受零 假设假设. 例例8 试检验例试检验例8中中2月份油价月份油价price2的均值是否等于的均值是否等于115.解解 作假设：作假设：m = 115m = 115，price2为为2 2月份的油价，不知其方差，故用以下命令检验月份的油价，不知其方差，故用以

25、下命令检验h,sig,ci = ttest( price2 ,115)3两总体均值的假设检验两总体均值的假设检验使用使用 t 检验检验 h,sig,ci = ttest2(x,y,alpha,tail)检验数据检验数据 x ，y 的关于均值的某一假设是否成立，其中的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：的取值：tail = 0，检验假设，检验假设“x 的均值等于的均值等于 y 的均值的均值 ”tail = 1，检验假设，检验假设“x 的均值大于的均值大于 y 的均值的均值 ”tail =-1，检验

26、假设，检验假设“x 的均值小于的均值小于 y 的均值的均值 ”tail的缺省值为的缺省值为 0， alpha的缺省值为的缺省值为 0.05. 返回值返回值 h 为一个布尔值，为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，为假设成立的概率，ci 为为与与x与与y均值差的的均值差的的 1-alpha 置信区间置信区间.返回：返回：h = 1，sig = 0.0083，ci =-5.8,-0.9.检验结果检验结果:1. :1. 布尔变量布尔变量h=1, h=1, 表示拒绝零假设表示拒绝零假设. . 说明提出的说明提

27、出的 假设假设“油价均值相同油价均值相同”是不合理的是不合理的. . 2. 95%的置信区间为的置信区间为-5.8,-0.9,说明一月份油说明一月份油 价比二月份油价约低价比二月份油价约低1至至6分分. 3. sig-值为值为0.0083, 远小于远小于0.5, 不能接受不能接受“油价均油价均 相同相同”假设假设. 例例9 试检验例试检验例8中中1月份油价月份油价price1与与2月份的油价月份的油价price2均值是否相同均值是否相同.解解 用以下命令检验用以下命令检验h,sig,ci = ttest2(price1,price2)4非参数检验：总体分布的检验非参数检验：总体分布的检验MAT

28、LAB工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令:（1）h = normplot(x)（2）h = weibplot(x) 此命令显示数据矩阵此命令显示数据矩阵x的正态概率图的正态概率图.如果数据来自如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线性形态于正态分布，则图形显示出直线性形态.而其它概率分而其它概率分布函数显示出曲线形态布函数显示出曲线形态. 此命令显示数据矩阵此命令显示数据矩阵x的的Weibull概率图概率图.如果数据如果数据来自于来自于Weibull分布，则图形将显示出直线性形态分布，则图形将显示出直线性形态.而而其它概率分布函数将显示出曲线形态其

29、它概率分布函数将显示出曲线形态.返回返回例例10 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障.故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同.工作人员是工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的通过检查零件来确定工序是否出现故障的.现积累有现积累有100次故障纪录，故障出次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：现时该刀具完成的零件数如下： 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 5