经济数学基础积分学部分教学要求与综合练习重点

1、经济数学基础积分学部分教学要求与综合练习大家好！现在是经济数学基础本学期第二次学习辅导活动，欢迎大家参加！第一次辅导活动给出了微分学部分的学习要求和综合练习，应该说它们对您的学 习会有很大的帮助的，希望大家重视。本次活动的主要内容安排了三个，一是对本课 程的期末考试作一些说明，二是对第二部分积分学提出一些学习要求，最后给出积 分学部分的综合练习，希望大家按照这些要求和练习进行复习。考核说明考核对象：本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生.考核依据：以本课程的教学大纲和指定的参考教材为依据制定的本课程指定的 参考教材是由李林曙、黎诣远主编的、高

2、等教育出版社出版的“新世纪网络课程建 设工程一一经济数学基础网络课程”的配套文字教材：经济数学基础网络课程学习指南经济数学基础一一微积分经济数学基础一一线性代数考核方式：本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式考核成 绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占 考核成绩的30%期末考试成绩占考核成绩的70%课程考核成绩满分100分，60分 以上为合格，可以获得课程学分.考核要求：本课程的考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特 征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、 公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练

3、掌握”三个层次.试题类型及结构：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题三种题型分数 的百分比为：单项选择题15%填空题15%，解答题70%.考核形式：期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分.考试时间：90分钟.积分学部分学习要求第1章不定积分1. 理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：(1) 什么是原函数？若函数F(x)的导数等于f(x)，即F(x)=f(x)，则称函数F(x)是f(x)的原函 数。(2) 原函数不是唯一的。由于常数的导数是0,故F(x) c都是f(x)的原函数(其中c是任意常数)。(3) 什么是不定积分？原函数的全体F(x) y (其中c是任意常数)称为f

4、(x)的不定积分，记为f (x)dx =F (x) c。(4) 知道不定积分与导数(微分)之间的关系。不定积分与导数(微分)之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身; 先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即(f(x)dx) = f (x), d( f (x)dx) = f (x)dx,f (x)dx 二 f (x) c， df(x) = f(x) c2 熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有(1) 运用积分基本公式直接进行积分；(2) 第一换元积分法(凑微分法)；(3) 分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分： 幕函数与指数函数相乘； 幕函数与对数函数相乘； 幕函数与

5、正(余)弦函数相乘；第2章定积分1 了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的 结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：a若f (x)是奇函数，则有f (x)dx二0.aaa0若 f (x)是偶函数，则有.(X)dx = 2 p f (X)dx = 2.(X)dx2 熟练掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有(1) 运用积分基本公式直接进行积分；(2) 第一换元积分法(凑微分法)；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值(不要还原成原变量的 函数).(3) 分部积分法，主要掌握被积函数是

6、以下类型的定积分： 幕函数与指数函数相乘； 幕函数与对数函数相乘； 幕函数与正(余)弦函数相乘；3 .知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。第3章积分应用1 .掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。 求平图形面积的一般步骤：(1) 画出所围平面图形的草图；(2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3) 利用定积分的几何意义(即上述各式)，确定代表所求的定积分。熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量 的方法。23.了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解(通解、特解)线性方程等; 掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程

7、的解。综合练习一、单项选择题1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4)的曲线为 2 2A . y = x + 3B. y = x + 4C. y = 2x + 2正确答案：A列等式不成立的是(exdx 二 d(ex)1 一dx 二 d .x2jx).D . y = 4x2.A.C.).B. sinxdx 二 d(cosx)1D. In xdx 二 d()x正确答案：A3.若 f(x)dx - -exA. -e c ,贝U f (x)=(xx一 1 一2C.丄 e 24D.x1 2e4正确答案：D列不定积分中，常用分部积分法计算的是(cos(2x 1)dx4.A.).C.xsin 2x

8、dxB . x J -x2dxxi 2 dx1 x正确答案：C115. 若 f (x)exdx 二ex c ,11A. 1B.-丄xx正确答案：C6. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是则 f (x)=(C.).12xD.).xA .& f (x)ck = F (x)bC. F(x)dx 二 f(b) - f (a) a正确答案：B7.xB. .af(x)dx 二 F(x)-F(a)bD. f (x)dx 二 F(b) - F(a)aF列定积分中积分值为0的是( d x-x1 e -e ,dx2-1B.).1兀 3(x cosx)dx正确答案：A8.下列定积分计算正确的是(1

9、A. 2xdx=2C.一兀).x-xe e dx2(x2 sin x)dx-n16.斗血胡54( ).C. - D.:22C. sin xdx =02正确答案：D9.下列无穷积分中收敛的是(xA. In xdx B. e dx MJ0正确答案：C亠.110 .无穷限积分3 dx =1 x1A. 0B. 一应该填写：2 + 3q三、计算题2正确答案：CD.si nxdx=0-3T).：1 -: 1C. 1 -2dxD. L 干 dxxVx21 .521 .6二、填空题21. d e 丄 dx =应该填写：e去dx2.函数f(x) =sin 2x的原函数是应该填写：1-cos2x + c ( c是

10、任意常数)3.若f (x)存在且连续，则.df(x)应该填写：f (x)4. 若 f(x)dx =(x 1)x -4 dx c，贝U f (x)二应该填写：2(x 1)5. 若 f(x)dx 二 F(x) c，则 ef (e)dx=.应该填写：-F(e) - cd e 26. ln (x1)dx =.dx 1应该填写：07.积分1dx应该填写：08. 无穷积分Jdx是.(判别其敛散性)0 (x+1)2 应该填写：收敛的设边际收入函数为R (q) = 2 + 3q,且R (0) = 0,则平均收入函数为21 .#2.计算41 2dx= (x-2)dx= x -2x c22.1sin $dx x3

11、.4.1si n11一尹 dx 二- sin d()xxx2、x dx 计算2 dx2 xdxx 2 2 xd(、x)二 x计算 xsin xdx5.1二 cos cx-2 cln2xsin xdx - -xcosx 亠 icosxdx - -xcosx sin x c计算(x 1)l nxdx(x 1)l nxdx = 1(x 1)2l nx1 (x 1)2-dx x1 2=(x2 2x)l nx 212ex2dxx6.计算$112竺7e21Ldx1 x、1 l n xe 17.8.解:9.解法12 1 dx=- 1 exd()| xx1 ln xn2 xcos2xdxe21. 1 ln71

12、 1旷込2沁=产也1=e _e21=d(1 +lnx) =2U1 + 1 n x x2:=2( .31)-1f2 sin 2xdx =一 cos2x 04JI2e 4o ln(x 1)dxe4一 ,o ln (x 1)dx=xl n(x 1)eJ_x_x 1dx =e _1 _ ；J(1 _)dxe T -x Tn(x 1)0 = ln e=1解法二令U = X 1，则8e丄o In(x 1)dx =-e e 1f In udu=ulnuf udu=e u Jl1 Jl u四、应用题1 投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C (x) =2x + 40(万元/百台).试求产量由4百台

13、增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达 到最低当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为6:C = j (2x 40)dx = (x6 一+ 40x) = 100 (万兀)49x又 C(x)0C (x)dx Cox2 40x 36c 36=x 40xxx令 C(x) = 3； = 0 ,解得 x = 6. x2x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2已知某产品的边际成本CH(x)=2 (元/件)，固定成本为0，边际收益R (x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润

14、将会发生什么变化？解因为边际利润L (x)二 R(x) -C (x)=12-0.02x = 10-0.02x令 L (x) = 0，得 x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为500件时，利润最 大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5502550L = 00(100.02x)dx = (10x0.01x2) 500 =500 - 525 = - 25 (元) 即利润将减少25元.3 生产某产品的边际成本为C (x)=8x(万元/百台)，边际收入为R (x)=100-2x (万元/百台)，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产

15、量 再生产2百台，利润有什么变化？解 L (x) = R (x) - C (x) = (100 -2x) -8x =100 T0x令 L (x)=0,得 x = 10 (百台)又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点,即当产量为10 (百台)时，利润最大.1210 一2012 12 - 又 L = oLF(x)dx =仁(100 10x)dx = (100x 5x2)即从利润最大时的产量再生产 2百台，利润将减少20万元.4.已知某产品的边际成本为C (q) = 4q - 3(万兀/百台)，q为产量(百台)，固定 成本为18(万元)，求最低平

16、均成本.解：因为总成本函数为C(q)二(4q -3)dq = 2q2 - 3q c当 q = 0 时，C(0) = 18,得 c =18即C(q)=2q2 -3q 18又平均成本函数为C(q)18A(q)2q - 3 qq令A(q| =0 ,解得q = 3 (百台)q该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当q = 3时，平均成本最低.最底平均成 本为A(3) = 2 3 -39 (万兀/百台)5设生产某产品的总成本函数为 C(x) =3 - x(万元)，其中x为产量，单位：百吨.销售x百吨时的边际收入为R(x)=15_2x (万元/百吨)，求：(1) 利润最大时的产量；在利润最大时的产量的基础上再生